本構(gòu)關(guān)系的教案

本構(gòu)關(guān)系的教案第1頁/共103頁目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第2頁/共103頁本章重點Chapter51.廣義胡克定律2.應(yīng)變能，應(yīng)變余能3.各向異性材料的彈性常數(shù)第3頁/共103頁5.1引言Chapter5.1

應(yīng)力張量s

應(yīng)力平衡方程：位移矢量u

應(yīng)變張量e

幾何方程：

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

第4頁/共103頁本構(gòu)關(guān)系材料的變形與所受應(yīng)力之間的關(guān)系；是材料本身所固有的性質(zhì)；本構(gòu)關(guān)系的研究是固體力學(xué)最重要的課題之一。Chapter5.15.1引言第5頁/共103頁5.2彈性的定義Differencebetweensolidsandfluids.MechanicsofSolids,TheNewEncyclopediaofBritannica,15thedition,Vol.23,pp.734-747,2002.“Amaterialiscalledsolidratherthanfluidifitcanalsosupportasubstantialshearingforceoverthetimescaleofsomenaturalprocessortechnologicalapplicationofinterest.”

J.R.Rice3Chapter2.1Chapter5.1第6頁/共103頁金屬材料變形5.1引言Chapter5.1第7頁/共103頁單軸拉伸沖壓軋制5.1引言Chapter5.1金屬材料變形第8頁/共103頁5.1引言記憶合金材料Chapter5.1第9頁/共103頁高分子材料5.1引言Chapter5.1第10頁/共103頁5.1引言巖土、混凝土、磚Chapter5.1第11頁/共103頁5.1引言生物材料Chapter5.1第12頁/共103頁目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第13頁/共103頁Chapter5.25.2彈性的定義

實驗中加載到A點后卸載，如果加載與卸載路徑并不完全重合，亦即應(yīng)力與應(yīng)變之間不是單值對應(yīng)的關(guān)系。OBACO稱為滯后回線。其所包含的面積稱為滯后面積。第14頁/共103頁Chapter1彈性變形：卸載時，沿加載路徑返回，沒有殘余變形非彈性變形：卸載時，力-位移曲線與加載時不重合。彈性變形&非彈性變形5.2彈性的定義第15頁/共103頁Chapter1彈性性質(zhì)：卸載時，沿加載路徑返回，沒有殘余變形；在經(jīng)歷一個加載循環(huán)后，物體吸收和釋放的能量互相抵消；在加載過程中的任意狀態(tài)，外力與位移之間（或每一點的應(yīng)力和應(yīng)變之間）存在一一對應(yīng)關(guān)系；存在應(yīng)變能W或者應(yīng)變余能Wc，使得：5.2彈性的定義第16頁/共103頁5.2彈性的定義Chapter5.2

對大多數(shù)材料來講，當(dāng)應(yīng)力加載幅值較小時，滯后回線非常窄小，可以認(rèn)為加載與卸載是重合的。因此應(yīng)力與應(yīng)變間可看作是單值對應(yīng)關(guān)系。第17頁/共103頁5.2彈性的定義彈性本構(gòu)關(guān)系：

其中F為變形梯度張量。4Chapter2.1Chapter5.2第18頁/共103頁Chapter5.25.2彈性的定義彈性本構(gòu)關(guān)系：應(yīng)力與應(yīng)變率無關(guān)，也不依賴于變形歷史；沒有遲滯效應(yīng)。 小變形彈性本構(gòu)關(guān)系

均勻材料的小變形彈性本構(gòu)關(guān)系

均勻材料的小變形線彈性本構(gòu)關(guān)系6第19頁/共103頁Chapter5.25.2彈性的定義兩個假設(shè)彈性體的響應(yīng)僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)；彈性體當(dāng)前狀態(tài)可以用一個張量來表示。7Chapter21

超彈性（Green）第20頁/共103頁Chapter5.25.2彈性的定義7Chapter21

超彈性（Green）第21頁/共103頁Chapter5.2線彈性:

廣義胡克定律:8

超彈性（Green）5.2彈性的定義第22頁/共103頁,155.2彈性的定義

晶體Chapter5.2第23頁/共103頁,165.2彈性的定義三斜單斜正交三角四方六方正方

晶體Chapter5.2立方

四方

正交

單斜三斜

三角

六方第24頁/共103頁5.2彈性的定義17

長鏈高分子Chapter5.2第25頁/共103頁目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第26頁/共103頁目錄Chapter55.3廣義胡克定律I.各向同性材料第27頁/共103頁Chapter5.2

各向同性彈性體假設(shè)物體是均勻、連續(xù)、各向同性的，應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系只決定于物體的物理性質(zhì)，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系與坐標(biāo)的位置和方向無關(guān)。下面所研究的物體僅限于完全彈性體，即當(dāng)物體除去外力后變形完全消失而恢復(fù)原狀，而且應(yīng)力與應(yīng)變間成單值的線性關(guān)系。5.2彈性的定義第28頁/共103頁5.3廣義胡克定律Chapter5.3

單向應(yīng)力狀態(tài)時的胡克定律是

式中E稱為彈性模量，對于一種材料在一定溫度下它是個常數(shù)。

楊氏模量第29頁/共103頁Chapter5.3

在單向拉伸時，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對縮短和縱向相對伸長成正比，因縮短與伸長的符號相反，有：5.3廣義胡克定律

其中是彈性常數(shù)，稱為泊松比。

泊松比第30頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律

彈性模量&泊松比第31頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律

先考慮在各正應(yīng)力作用下沿x軸的相對伸長，它由三部分組成，即

線彈性疊加原理第32頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律其中是由于x的作用所產(chǎn)生的相對伸長

是由于y的作用所產(chǎn)生的相對縮短

是由于z的作用所產(chǎn)生的相對縮短第33頁/共103頁Chapter5.3

將上述三個應(yīng)變相加，即得在x、y、z同時作用下在x軸方向的應(yīng)變

同理可得到在y軸和z軸方向的應(yīng)變5.3廣義胡克定律第34頁/共103頁Chapter5.3

根據(jù)實驗可知，xy只引起xy坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起xz、yz，于是可得5.3廣義胡克定律或第35頁/共103頁Chapter5.3于是，得到各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：5.3廣義胡克定律第36頁/共103頁Chapter5.3此式可以改寫為：5.3廣義胡克定律第37頁/共103頁Chapter5.3楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系為

將彈性本構(gòu)關(guān)系寫成指標(biāo)形式為5.3廣義胡克定律第38頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律第39頁/共103頁Chapter5.3如用應(yīng)變第一不變量代替三個正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量表示三個正應(yīng)力之和，則5.3廣義胡克定律其中稱為體積模量。第40頁/共103頁Chapter5.3∵∴令則5.3廣義胡克定律第41頁/共103頁Chapter5.3彈性關(guān)系的常規(guī)形式為

其中G和稱為拉梅常數(shù)（Laméconstants）。5.3廣義胡克定律第42頁/共103頁Chapter5.3

將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得

由于偏量和球量相互獨立，所以有5.3廣義胡克定律第43頁/共103頁Chapter5.3

第一式：彈性體的體積應(yīng)變與平均應(yīng)力0之間的關(guān)系，相應(yīng)的彈性常數(shù)K稱為體積模量。(體積變化)5.3廣義胡克定律

第二式：彈性體的形狀畸變與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化)第44頁/共103頁常用的三套彈性常數(shù)5.3廣義胡克定律E、ν單拉測定Lamé常數(shù)：G、λK、G靜水壓、純剪（扭轉(zhuǎn)）測定Chapter5.3第45頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律各向同性材料的線彈性、小應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系：第46頁/共103頁Chapter5.3

對于給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗測定E和；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)試驗來測定G；用靜水壓試驗來測定K。實驗表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的，所以5.3廣義胡克定律第47頁/共103頁Chapter5.3故要上式成立必要求：5.3廣義胡克定律∵即第48頁/共103頁Chapter5.3

若設(shè)＝0.5，則體積模量K＝，稱為不可壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為對實際工程材料的測定值都在的范圍內(nèi)。5.3廣義胡克定律第49頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律材料楊氏模量(Gpa)橡膠（微小應(yīng)變）0.01~0.1低密度聚乙烯0.2聚苯乙烯3~3.5尼龍2~4橡木（顆粒表面）11高強度混凝土30金屬鎂45鋁69黃銅和青銅103~124碳纖維強化塑料150鋼190~210鎢

(W)400~410碳化硅（SiC）450鉆石1,050~1,200第50頁/共103頁目錄Chapter55.3廣義胡克定律II.各向異性材料第51頁/共103頁Chapter5.3

各向異性彈性體

對于各向同性材料，逆彈性本構(gòu)關(guān)系表明，正應(yīng)力只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。對于各向異性材料的一般情況，任何一個應(yīng)力分量都可能引起任何一個應(yīng)變分量的變化。廣義胡克定律的一般形式是：實體形式5.3廣義胡克定律第52頁/共103頁Chapter5.3

由于應(yīng)力應(yīng)變都是二階張量，且上式對任意的kl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個四階張量，稱彈性張量，共有81個分量。

彈性張量的Voigt對稱性5.3廣義胡克定律WoldemarVoigt(1850-1919)第53頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律下節(jié)中將證明第54頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律獨立的彈性常數(shù)由81個降為36個第55頁/共103頁Chapter5.1

式中即c的下角標(biāo)1、2、3、4、5、6分別對應(yīng)于C的雙指標(biāo)11、22、33、12、23、31。應(yīng)該指出，改寫后的cmn(m,n＝1~6)并不是張量。由于存在Voigt對稱性，所以對于最一般的各向異性材料，獨立的彈性常數(shù)共有21個。5.3廣義胡克定律m11223312,2123,3213,31第56頁/共103頁Chapter5.3(1)一般各向異性線彈性：無彈性對稱面21

abc

例：三斜晶體5.3廣義胡克定律第57頁/共103頁Chapter5.3彈性對稱面5.3廣義胡克定律如果材料存在一個對稱面，則：關(guān)于該平面對稱的應(yīng)力分量只產(chǎn)生關(guān)于該平面對稱的應(yīng)變分量；關(guān)于該平面反對稱的應(yīng)力分量只產(chǎn)生關(guān)于該平面反對稱的應(yīng)變分量第58頁/共103頁Chapter5.3沿i和j方向性質(zhì)相同5.3廣義胡克定律則：彈性張量中對應(yīng)的分量相等第59頁/共103頁5.3廣義胡克定律Chapter5.3(2)具有一個彈性對稱面的各向異性線彈性體：13

bae2ce1e3e‘3例：單斜晶體(正長石和云母等)e1,e2平面為彈性對稱面第60頁/共103頁5.3廣義胡克定律Chapter5.3(3)正交各向異性線彈性體：9

例：正交晶體(各種增強纖維復(fù)合材料、木材等)互相正交的e1-e2，e2-e3,

e1-e3平面為彈性對稱面ce1e3e2e’1ab第61頁/共103頁Chapter5.3(4)橫觀各向同性線彈性體： 55.3廣義胡克定律例：六方晶體aaac第62頁/共103頁aaa將坐標(biāo)系沿

旋轉(zhuǎn)5.3廣義胡克定律Chapter5.3第63頁/共103頁5.3廣義胡克定律Chapter5.3第64頁/共103頁Chapter5.35.3廣義胡克定律(5)各向同性線彈性體： 2金屬（隨機排列晶體）、短纖維增強復(fù)合材料顆粒增強復(fù)合材料第65頁/共103頁Chapter5.32個金屬拉壓：2個

剪切：1個各向同性地殼、六方晶體拉壓：4個

剪切：2個5個橫觀各向同性正交晶體拉壓與剪切不耦合剪切為對角陣9個正交各向異性單斜晶體13個有一個彈性對稱面三斜晶體6×6對稱21個一般情況例獨立的彈性常數(shù)小結(jié)5.3廣義胡克定律第66頁/共103頁目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第67頁/共103頁5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter5.4

應(yīng)變能如果載荷施加得足夠慢，物體的動能以及因彈性變形引起的熱效應(yīng)可以忽略不計，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變形位能而儲存在彈性體內(nèi)。彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，卸載后物體恢復(fù)到未變形前的初始狀態(tài)，變形位能將全部釋放出來。第68頁/共103頁Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第69頁/共103頁Chapter5.4

非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第70頁/共103頁Chapter5.4

正應(yīng)力11僅在正應(yīng)變11上做功，其值為：其他應(yīng)力分量ij也都只與之對應(yīng)的應(yīng)變分量ij上做功。把這些功疊加起來，并除以微元體積dV，得5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第71頁/共103頁Chapter5.4

引進應(yīng)變能密度函數(shù)W(ij)，使即則

其中，W(0)和W(ij)分別為物體變形前和變形后的應(yīng)變能密度。一般取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，令W(0)＝0。格林(Green,G.)公式5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第72頁/共103頁Chapter5.4應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功。應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而變形歷史無關(guān)，即是一個狀態(tài)函數(shù)。應(yīng)變能是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達形式，當(dāng)W(ij)的具體形式給定后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也惟一確定。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第73頁/共103頁Chapter5.4∵又∴廣義格林公式

5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第74頁/共103頁Chapter5.4

彈性應(yīng)變能密度——關(guān)于應(yīng)變的單調(diào)增函數(shù)5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第75頁/共103頁Chapter5.4

線彈性情況在無應(yīng)變自然狀態(tài)(ij=0)附近把應(yīng)變能函數(shù)W(ij)對應(yīng)變分量展開成冪級數(shù)：其中5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第76頁/共103頁Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第77頁/共103頁

W是應(yīng)變分量ij的二次齊次式，有：

由此證明彈性張量C對雙指標(biāo)ij和kl具有對稱性。Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第78頁/共103頁Chapter5.4

對于各向同性材料，有

對于非線性彈性材料，還應(yīng)考慮應(yīng)變能冪級數(shù)表達式中的高階項。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第79頁/共103頁Chapter5.4

應(yīng)變余能

仿照應(yīng)變能的定義式，可以定義應(yīng)變余能Wc

它是應(yīng)變分量ij的函數(shù)，具有如下類似性質(zhì)：5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第80頁/共103頁Chapter5.4對上式分部積分得：5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第81頁/共103頁Chapter5.4

面積。全功中只有一部分(圖中的曲邊三角形OAP)轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能W，剩余部分(曲邊三角形OBP)就是余能Wc。上式給出了應(yīng)變能和應(yīng)變余能對全功的互余關(guān)系。

右端第一項ijij稱為全功，它相應(yīng)于圖中矩形OAPB的5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第82頁/共103頁Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第83頁/共103頁Chapter5.4對于線彈性材料，應(yīng)變余能為應(yīng)變余能的值和應(yīng)變能的值相等，如圖。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第84頁/共103頁Chapter5.4

注應(yīng)變余能并不儲存在彈性體內(nèi)。例如：設(shè)在彈性懸臂梁的自由端突然加一塊砝碼。當(dāng)梁通過其靜態(tài)平衡位置時，砝碼所做的功為全功，其中只有一半轉(zhuǎn)化為儲存在梁內(nèi)的應(yīng)變能；另一半應(yīng)變余能則表現(xiàn)為動能，它導(dǎo)致梁－砝碼系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)附近的自由振動。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第85頁/共103頁目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第86頁/共103頁5.5應(yīng)變能的正定性Chapter5.5熱力學(xué)第一定律:

其中dT和dE分別是動能和內(nèi)能增量，dA是外力對系統(tǒng)所做的功，dQ是系統(tǒng)從外界吸收的熱量。熱力學(xué)第二定律:

其中為溫度，S為熵。第87頁/共103頁Chapter5.5代入

這是自然界中一切熱力學(xué)過程都必須滿足的方程。其中等號僅適用于可逆過程。5.5應(yīng)變能的正定性第88頁/共103頁Chapter5.5

對于dS＝0的等熵(絕熱)過程對于等熵過程，內(nèi)能E=U，于是：5.5應(yīng)變能的正定性第89頁/共103頁Chapter5.5

把加載前物體所處的熱力學(xué)平衡狀態(tài)選為無應(yīng)變自然狀態(tài)。加載后的平衡狀態(tài)稱為變形狀態(tài)和干擾狀態(tài)。下面來證明只要自然狀態(tài)是物體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則應(yīng)變能是正定的?？紤]由自然狀態(tài)到變形狀態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，這時動能dT＝0。因準(zhǔn)靜態(tài)過程是可逆的，所以5.5應(yīng)變能的正定性第90頁/共103頁Chapter5.5

由于從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)到相鄰的干擾狀態(tài)外力必須做正功，即dA>0，所以上式要求令自然狀態(tài)的應(yīng)變能為零，則變形狀態(tài)的應(yīng)變能必正定。5.5應(yīng)變能的正定性第91頁/共103頁Chapter5.5

應(yīng)變能的正定性限制了彈性常數(shù)的取值范圍。將各向同性彈性材料的比應(yīng)變能公式改寫為：

其中，