中考圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)

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中考圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)

初中圓復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；

2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、垂直平分線(xiàn)：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（也叫中垂線(xiàn)）；3、角的平分線(xiàn)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；

4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；

5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；A

2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與圓相離dr無(wú)交點(diǎn)；2、直線(xiàn)與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線(xiàn)與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；

相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)dRr；

圖1

圖2

圖4

圖5

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五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CDD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的

弧相等，弦心距相等。此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角

B∴AOB2ACB

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓

周角所對(duì)的弧是等?。?/p>

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直

角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑BA

推論3：若三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

BA

∴△ABC是直角三角形或C90

注意：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。

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八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180

DAEC

九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理

1、切線(xiàn)的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過(guò)半徑OA外端∴MN是⊙O的切線(xiàn)2、性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)。推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線(xiàn)，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最終一個(gè)。

十、切線(xiàn)長(zhǎng)定理

切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)

相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線(xiàn)∴PAPB；PO平分BPA

十一、圓冪定理

1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等。

D

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，B

∴PAPBPCPD推論：假使弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑

所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，A

∴CE2AEBE

2、切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)

段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)∴PA2PCPB

3、割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等（如右圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線(xiàn)∴PCPBPDPE

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十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線(xiàn)垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)

∴O1O2垂直平分AB

十三、圓的公切線(xiàn)

兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式：

（1）公切線(xiàn)長(zhǎng)：Rt

O1O2C中，ABCO

2

21

（2）外公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之和

十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt

BOD中進(jìn)行：OD:BD:OB2；

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt

OAE中進(jìn)行，OE:AE:OA：（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt

OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA2.

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式

nR

1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：l；

180

nR21

lR（2）扇形面積公式：S

3602

O

l

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

2、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開(kāi)圖D1S表S側(cè)2S底=2rh2r2

C1

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（2）圓柱的體積：Vr2h

3、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2

1

（2）圓錐的體積：Vr2h

3

十六、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

abc

（2）△ABC中，∠C=90，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。

2

1

（3）S△ABC=r(abc)，其中a，b，c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。

2

（4

如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。

練習(xí)題

1．若⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是()

A．點(diǎn)A在圓內(nèi)B．點(diǎn)A在圓上c．點(diǎn)A在圓外D．不能確定2．已知⊙O的半徑為5,弦AB的弦心距為3,則AB的長(zhǎng)是

3．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30，B為AN弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求PA+PB的最小值

__N

D

圖2

_

4如圖2，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60，則∠DBC的度數(shù)為5．與直線(xiàn)L相切于已知點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是______．

6．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它的外接圓半徑R=______，內(nèi)切圓半徑r=______．7．⊙O的半徑為6，⊙O的一條弦AB為63，以3為半徑的同心圓與直線(xiàn)AB的位置關(guān)系是．8．PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)是A、B，∠APB=50，過(guò)A作⊙O直徑AC，連接CB，則∠PBC=______．

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9．如圖4，AB是⊙O的直徑，弦AC、BD相交于P，則CD∶AB等于

A．sinBPC

B．cosBPC

C．tanBPC

D．cotBPC

圖4圖5

10．如圖5，點(diǎn)P為弦AB上一點(diǎn)，連結(jié)OP，過(guò)PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，則PC的長(zhǎng)是

A．2

B．2

C．22

D．3

11．圓的最大的弦長(zhǎng)為12cm，假使直線(xiàn)與圓相交，且直線(xiàn)與圓心的距離為d，那么

A．d6cmC．d≥6cm

B．6cmd12cmD．d12cm

12．如圖6，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，設(shè)AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為_(kāi)_____．

圖6圖7

13．如圖7，PE是⊙O的切線(xiàn)，E為切點(diǎn)，PAB、PCD是割線(xiàn)，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，則PA=______．14．如圖8，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30，求證：DC是⊙O的切線(xiàn)．

圖8

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15.如圖，AB既是⊙C的切線(xiàn)也是⊙D的切線(xiàn)，⊙C與⊙D相外切，⊙C的半徑r=2，⊙D的半徑R=6，求四邊形ABCD的面積。

16．如圖10，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，切線(xiàn)DE平分AC于E，求證：

(1)AC是⊙O的切線(xiàn)．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直徑．(12分)

圖10

17．如圖11，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2=PEPO．(1)求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；(2)若OE∶EA=1∶2，PA=6，求⊙O的半徑；(3)求sinPCA的值．(12分)

圖11

18．如圖，⊙O的兩條割線(xiàn)AB、AC分別交圓O于D、B、E、C，弦DF//AC交BC于C．（1）求證：ACFGBCCG；

（2）若CF＝AE．求證：△ABC為等腰三角形．

B

O

A

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19.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；（2）若BC=3，sinP=

20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)，∠PAC＝∠B．（l）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）假使弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，

求AB的長(zhǎng)和∠ECB的正切值．

FA

EO

P

3

，求⊙O的直徑。5

B

21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，∠A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，

求證：（l）AC是⊙D的切線(xiàn)；

（2）AB＋EB＝AC．

B

D

AE

22．如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O1；與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E．（l）求證：AD＝DC；

（2）求證：DE是⊙O1的切線(xiàn)；

（3）假使OE＝EC，請(qǐng)判斷四邊形O1OED是什么四邊形，并證明你的結(jié)論．

考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用

A

O1

B

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利用與圓相關(guān)的概念來(lái)解決一些問(wèn)題是必考的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)中確鑿理解與圓有關(guān)的概念，注意分清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

1.運(yùn)用圓與角（圓心角，圓周角），弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題

已知：如下圖，在△ABO中，∠AOB=90，∠B=25，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，求弧AD的度數(shù).

如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，∠AOC=100，則∠ABC的度數(shù)為（）.Ａ.30Ｂ.45Ｃ.50Ｄ.60

2.利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

已知⊙O的半徑為3cm，A為線(xiàn)段OM的中點(diǎn)，當(dāng)OA滿(mǎn)足：（1）當(dāng)OA=1cm時(shí)，點(diǎn)M與⊙O的位置關(guān)系是.

（2）當(dāng)OA=1.5cm時(shí)，點(diǎn)M與⊙O的位置關(guān)系是.（3）當(dāng)OA=3cm時(shí)，點(diǎn)M與⊙O的位置關(guān)系是.

⊙O的半徑為4，圓心O到直線(xiàn)l的距離為3，則直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系是（）.Ａ.相交Ｂ.相切Ｃ.相離Ｄ.無(wú)法確定

兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是______________.

3.正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

已知正六邊形的周長(zhǎng)為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積.

4.運(yùn)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算

如圖，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為（結(jié)果保存）.

5.運(yùn)用圓錐的側(cè)面弧長(zhǎng)和底面圓周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是.

考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見(jiàn)類(lèi)型1.利用垂徑定理解題

垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過(guò)圓心，它們?cè)趫A內(nèi)往往構(gòu)成圓周角、等分線(xiàn)段、直角三角形等，從而可以應(yīng)用相關(guān)定理完成其論證或計(jì)算.

在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，夾角為30，且分直徑為1∶5兩部分，AB=6，則弦CD的長(zhǎng)為.Ａ.2

Ｂ.4

Ｃ.4

Ｄ.2

2.利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角〞解題

“直徑所對(duì)的圓周角是直角〞是十分重要的定理，在解與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往添加

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輔助線(xiàn)構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，以便利用上面的定理.

如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD=∠OCB.

3.利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角關(guān)系解題

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，這是圓內(nèi)接四邊形的重要性質(zhì)，也透露了確定四點(diǎn)共圓的方法.

如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若∠C＝45，AB＝2，則點(diǎn)B到AE的距離為_(kāi)_______.

4.判斷圓的切線(xiàn)的方法及應(yīng)用判斷圓的切線(xiàn)的方法有三種：

（1）與圓有惟一公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；

（2）若圓心到一條直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，則該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；（3）經(jīng)過(guò)半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30，BC=4，D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn).

（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn).

如圖，已知O為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F，求證CD與⊙O相切.

如圖，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且有∠BAP=∠BDA.求證：AP是半圓O的切線(xiàn).

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一.選擇題：

1.⊙O的半徑為R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點(diǎn)［］A.在⊙O內(nèi)或圓周上B.在⊙O外

C.在圓周上D.在⊙O外或圓周上

2.由一已知點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為［］A、2或3B、3C、4D、2或43.如圖，⊙O中，ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∠BOC=110，則∠BDC的度數(shù)是［］

A.110B.70C.55D.125

4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一條半徑，則劣弧AB的度數(shù)等于［］A.30B.120C.150D.60

5.直線(xiàn)ａ上有一點(diǎn)到圓心O的距離等于⊙O的半徑，則直線(xiàn)ａ與⊙O的位置關(guān)系是［］Ａ、相離Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交6、如圖，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于點(diǎn)Ｂ、Ｃ，若PA＝5，PB＝BＣ，則ＰＣ的長(zhǎng)是［］Ａ、10Ｂ、5Ｃ、52Ｄ、53

7．如圖，某城市公園的雕塑是由3個(gè)直徑為1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點(diǎn)到地面的距離為［］A．

2332232

B.C.D.2222

2

8、已知兩圓的圓心距是9，兩圓的半徑是方程2x－17x+35=0的兩根，則兩圓有［］條切線(xiàn)。

A、1條B、2條C、3條D、4條

9、假使等腰梯形有一個(gè)內(nèi)切圓并且它的中位線(xiàn)等于20cm，則梯形的腰長(zhǎng)為［］

Ａ、１０ｃｍＢ、１２ｃｍＣ、１４ｃｍＤ、１６ｃｍ

10、如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，且AO1、AO2分別是兩圓的切線(xiàn)，A是切點(diǎn)，若⊙O1的半徑r=3，⊙O2的半徑R=4，則公共弦AB的長(zhǎng)為［］A、2B、4.8