《1.1.1 正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE11附件1-4第二屆湘西州中小學(xué)青年教師教學(xué)競(jìng)賽教學(xué)設(shè)計(jì)表學(xué)：高中 科：數(shù)學(xué) 編： （委會(huì)寫(xiě)）標(biāo)題1.1.1正弦定理學(xué)情分析此前，學(xué)生已經(jīng)有了有關(guān)三角形邊角關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，即任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，并且在初中比較深刻地研究了直角三角形中邊與邊的關(guān)系，即勾股定理，但對(duì)三角形中邊與角的關(guān)系的準(zhǔn)確量化還缺乏認(rèn)識(shí).雖然學(xué)生有一定的觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)他們來(lái)說(shuō)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，尤其是學(xué)生對(duì)一般三角形中的邊與角的關(guān)系由直觀表象上升到抽象公式有相當(dāng)大的難度.因此，根據(jù)以上特點(diǎn)，本節(jié)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—類(lèi)比—猜想—證明—應(yīng)用”的過(guò)程，讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)從特殊到一般，從直觀到抽象的知識(shí)形成過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、推導(dǎo)、比較、由特殊到一般歸納出正弦定理；在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到正弦定理可以解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，不斷提高自身的文化素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的猜想與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明.教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話(huà)故事.明月高懸，我們仰望夜空，會(huì)有無(wú)限遐想，不禁會(huì)問(wèn)，遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？其實(shí)，早在1671年，法國(guó)著名天文學(xué)家拉朗德和他的學(xué)生拉卡伊就測(cè)出了地球與月球之間的距離.他們當(dāng)時(shí)利用幾乎位于同一子午線(xiàn)的柏林與好望角,與月球上的一點(diǎn)，在當(dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)條件下，只能測(cè)出之間的距離以及和的大小.兩位天文學(xué)家就僅僅用這三個(gè)條件就計(jì)算出了地球與月球之間的距離.問(wèn)題1：兩位天文學(xué)家是怎么計(jì)算出地球與月球的距離？問(wèn)題2：同學(xué)們觀察圖1，你們可以抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？已知有哪些？要求解什么？圖1學(xué)情預(yù)設(shè)：已知在中，已知邊的長(zhǎng)，以及和的大小，求或的長(zhǎng)．問(wèn)題3：我們由實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象得到了圖2的三角形，這個(gè)三角形我們直接求解不出來(lái)，該怎么辦？圖2問(wèn)題4：很明顯在這個(gè)問(wèn)題中涉及到三角形的邊角關(guān)系.三角形的邊角關(guān)系有哪些？這樣的定性結(jié)論已經(jīng)不能滿(mǎn)足要求，所以要探究其定量關(guān)系.學(xué)情預(yù)設(shè)：在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)地月距離的問(wèn)題情景，提出相應(yīng)的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生從天文學(xué)的應(yīng)用角度，初步感知新知所蘊(yùn)含的強(qiáng)大應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值．設(shè)置探索三角形邊角關(guān)系的環(huán)節(jié)，為本節(jié)課的任務(wù)挖掘出“正弦定理”作鋪墊.另一方面，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).（二）問(wèn)題初探，提出猜想問(wèn)題1：三角形以角來(lái)劃分，有哪些類(lèi)型的三角形？學(xué)情預(yù)設(shè)：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形問(wèn)題2：直角三角形中存在哪些邊角數(shù)量關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角函數(shù)等.教師活動(dòng)：展示,由學(xué)生對(duì)問(wèn)題2的回答引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)在中有這一美妙的邊角數(shù)量關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生共同感受所得關(guān)系的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)、統(tǒng)一之美.問(wèn)題3：上述結(jié)論在一般三角形中是否也成立？學(xué)情預(yù)設(shè)：在銳角三角形和鈍角三角形中也成立.設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,便于學(xué)生完成對(duì)新知識(shí)的遷移.帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美是一項(xiàng)潛移默化的長(zhǎng)期任務(wù)，應(yīng)借此培養(yǎng)他們主動(dòng)感受和挖掘更多數(shù)學(xué)美的習(xí)慣，并鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，從而引入下一環(huán)節(jié).教師活動(dòng)：將研究對(duì)象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察幾何畫(huà)板所展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對(duì)應(yīng)的每組邊與所對(duì)應(yīng)角的正弦值比值的特點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：由三角形有成千上萬(wàn)來(lái)初步凸現(xiàn)分類(lèi)討論的必要性；并利用幾何畫(huà)板展示素材的直觀性、任意性、可測(cè)性等優(yōu)點(diǎn),通過(guò)直觀的“形變神不變”和分情況演示證實(shí)關(guān)系可能在一般三角形中成立,從而加強(qiáng)學(xué)生的猜想.（三）深入思考，證明猜想問(wèn)題1：要確認(rèn)結(jié)論是否成立單靠猜想還不夠，應(yīng)該證明.如何證明?如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來(lái)?學(xué)情預(yù)設(shè)：作高設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用化歸的思想，通過(guò)作輔助線(xiàn)的方法，把非直角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形.注意引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地判斷出“作高”，“作高”是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形的關(guān)鍵.通過(guò)設(shè)置問(wèn)題滲透分類(lèi)討論的思想，體驗(yàn)定理的探究、證明以及定理的應(yīng)用的聯(lián)系，從而形成數(shù)學(xué)定理．問(wèn)題2：作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來(lái)?需要作多少條高便可證明出結(jié)論?學(xué)生活動(dòng)：1、2組嘗試銳角三角形的證明,3、4組嘗試鈍角三角形的證明,帶著提供的思考問(wèn)題和提示,共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況.教師活動(dòng)：教師巡視,必要時(shí)給予啟發(fā)指導(dǎo),尋找能夠證明出來(lái)的同學(xué),請(qǐng)兩位同學(xué)分別代表小組分享證明思路,由學(xué)生展示證明情況,由教師詳細(xì)板演,強(qiáng)調(diào)思路的關(guān)鍵點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：作高法是學(xué)生從認(rèn)知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法,符合學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展.分組讓學(xué)生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況,可提高學(xué)生課堂的參與度,確保學(xué)生的主體地位.由于此方法與教科書(shū)所涉及的方法大同小異,是面向全體學(xué)生的證明過(guò)程，且為了讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯演繹過(guò)程,采用學(xué)生表述、教師板演,以更好地讓大多數(shù)學(xué)生理解掌握.（四）歸納概括，得到定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.解三角形：一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.教師活動(dòng)：簡(jiǎn)單介紹與正弦定理相關(guān)的數(shù)學(xué)文化關(guān)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認(rèn)為是中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布瓦法（Abul-Wefa，940-998）提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁-圖西（Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274）給出的．我國(guó)清代數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633-1721）在他的著作《平三角舉要》中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整形式．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)滲透數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)的熱情，體會(huì)到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中，所有的數(shù)學(xué)人，不分國(guó)界，不分時(shí)代，共同推動(dòng)著數(shù)學(xué)不斷向前．（五）強(qiáng)化理解，簡(jiǎn)單應(yīng)用教師活動(dòng)：回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問(wèn)題，教師與學(xué)生共同探討解題思路，尋找隱含條件，應(yīng)用定理解決問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決課前提出的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，而且課堂整體前后呼應(yīng)，渾然一體．例1：在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=30°,B=45°,a=6cm，解三角形.例2：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=30°，a=1，b=cm，解三角形.注意：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，注意解的情況有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)無(wú)解.問(wèn)題：正弦定理在解三角形問(wèn)題中能解決哪幾類(lèi)問(wèn)題？學(xué)情預(yù)設(shè)：(1)已知三角形兩個(gè)角和一條邊,求其它邊和角；(2)已知三角形兩條邊和其中一邊的對(duì)角,求其它邊和角.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的分析與講解，進(jìn)一步深化對(duì)正弦定理的認(rèn)識(shí)和理解，并通過(guò)教師的板演進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生解題的規(guī)范性.（六）練習(xí)反饋，鞏固提高1、在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=30°,C=45°,b=10cm，解三角形.2、在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知C=60°,a=2,c=cm，解三角形.設(shè)計(jì)意圖：加深體會(huì)正弦定理的應(yīng)用，反饋矯正解三角形中的問(wèn)題.（七）歸納總結(jié)，明確要點(diǎn)教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)收獲、方法收獲等方面進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)（八）布置作業(yè)，能力提升作業(yè)本：課本第10頁(yè)習(xí)題1.1A組第1,2題．自主探究題：向量法、坐標(biāo)法等如何證明正弦定理.設(shè)計(jì)意圖：課本習(xí)題，通過(guò)它來(lái)反饋知識(shí)掌握效果，鞏固所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化基本技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)；自主探究題是為了給學(xué)有余力的學(xué)生留出自由發(fā)展的空間，符合因材施教的新課標(biāo)的思想，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽