離散數(shù)學群與環(huán)

離散數(shù)學群與環(huán)1第1頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一半群、獨異點與群的定義半群、獨異點、群的實例群中的術語群的基本性質10.1群的定義與性質2第2頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一半群、獨異點與群的定義定義10.1(1)設V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算，如果°運算是可結合的，則稱V為半群.(2)設V=<S,°>是半群，若e∈S是關于°運算的單位元，則稱V是含幺半群，也叫做獨異點.有時也將獨異點V記作V=<S,°,e>.(3)設V=<S,°>是獨異點，eS關于°運算的單位元，若aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.3第3頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨異點.(2)設n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法.(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合對稱差運算.(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，為模n加法.(5)<AA,?>為半群，也是獨異點，其中?為函數(shù)的復合運算.(6)<R*,?>為半群，其中R*為非零實數(shù)集合，?運算定義如下：x,yR*,x?y=y.4第4頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一例2

設G={e,a,b,c}，G上的運算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabc

eabcaecbbceacbae實例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運算結果都等于剩下的第三個元素5第5頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一有關群的術語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.6第6頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一有關群的術語實例：<Z,+>和<R,+>是無限群.<Zn,>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實可逆矩陣集合關于矩陣乘法構成的群是非交換群.7第7頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一定義10.3

設G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群中元素的冪群中元素可以定義負整數(shù)次冪.在<Z3,>中有

23

=(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3

=23=2+2+2=6

8第8頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一元素的階定義10.4

設G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.

若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元.例如，在<Z6,>中，

2和4是3階元，

3是2階元，

1和5是6階元，

0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.

9第9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：冪運算規(guī)則定理10.1

設G為群，則G中的冪運算滿足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.10第10頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.證a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b

同理可證ba1是方程ya=b的惟一解.11第11頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：方程存在惟一解例3

設群G=<P({a,b}),>，其中為對稱差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}=解X={a}1={a}={a}，

Y={a,b}1={a,b}={a}12第12頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G

有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.例4

設G={a1,a2,…,an}是n階群，令

aiG={aiaj

|j=1,2,…,n}證明aiG=G.證由群中運算的封閉性有aiGG.假設aiGG，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得

aiaj

=aiak

（j≠k）由消去律得aj

=ak,與|G|=n矛盾.13第13頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：元素的階證(1)充分性.由于r|k，必存在整數(shù)m使得k=mr，所以有ak

=amr

=(ar)m

=em=e.必要性.根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得

k=mr+i,0≤i≤r1從而有e=ak

=amr+i=(ar)mai=eai

=ai因為|a|=r，必有i=0.這就證明了r|k.定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設k是整數(shù)，則(1)ak=e當且僅當r|k

(2)|a1|=|a|14第14頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一群的性質：元素的階證(2)由(a1)r

=(ar)1=e1=e可知a1的階存在.令|a1|=t，根據(jù)上面的證明有t|r.

a又是a1的逆元，所以r|t.從而證明了r=t，即|a1|=|a|.定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設k是整數(shù)，則(1)ak=e當且僅當r|k

(2)|a1|=|a|15第15頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例5

設G是群，a,b∈G是有限階元.證明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|證(1)設|a|=r，|b1ab|=t，則有從而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知

r|t.從而有|b1ab|=|a|.16第16頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例(2)設|ab|=r，|ba|=t，則有由消去律得(ab)t=e，從而可知，r|t.同理可證t|r.因此|ab|=|ba|.17第17頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一10.2

子群與群的陪集分解定義10.5

設G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關于G中的運算構成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當n≠1時,nZ是Z的真子群.

對任何群G都存在子群.

G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

18第18頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當且僅當(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.證必要性是顯然的.為證明充分性，只需證明e∈H.因為H非空，存在a∈H.由條件(2)知a1∈H，根據(jù)條件(1)aa1∈H，即e∈H.

19第19頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一子群判定定理2定理10.6

（判定定理二）設G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab1∈H.

證必要性顯然.只證充分性.因為H非空，必存在a∈H.根據(jù)給定條件得aa1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H

得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H，知b1∈H.再利用給定條件得a(b1)1∈H，即ab∈H.綜合上述，可知H是G的子群.20第20頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一子群判定定理3定理10.7

（判定定理三）

設G為群，H是G的非空有窮子集，則H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab∈H.證必要性顯然.為證充分性，只需證明a∈H有a1∈H.任取a∈H,若a=e,則a1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，則SH.由于H是有窮集，必有ai

=aj（i<j）.根據(jù)G中的消去律得aji

=e，由a≠e可知ji>1，由此得aji1a=e

和aaji1=e從而證明了a1=aji1∈H.21第21頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一典型子群的實例:生成子群定義10.6

設G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則

am(al)1=amal

=aml∈<a>根據(jù)判定定理二可知<a>≤G.實例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是

<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.

22第22頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一典型子群的實例:中心C定義10.7

設G為群,令C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有

(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1

=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax1)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理二可知C≤G.對于阿貝爾群G，因為G中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G.但是對某些非交換群G，它的中心是{e}.23第23頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一典型子群的實例:子群的交例6

設G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群.(2)H∪K是G的子群當且僅當HK或KH.證(1)由e∈H∩K

知H∩K非空.任取a,b∈H∩K，則a∈H,a∈K,b∈H,b∈K.必有ab1∈H和ab1∈K，從而ab1∈H∩K.因此H∩KG.24第24頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一典型子群的實例:子群的交例6

設G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群.(2)H∪K是G的子群當且僅當HK或KH.證(2)充分性顯然，只證必要性.用反證法.假設H?K且K?H，那么存在h和k使得

h∈H∧hK,k∈K∧kH推出hkH.否則由h1∈H得k=h1(hk)∈H，與假設矛盾.同理可證hkK.從而得到hkH∪K.與H∪K是子群矛盾.

25第25頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一圖1定義10.8

設G為群,令

L(G)={H|H是G的子群}則偏序集<L(G),>稱為G的子群格.子群格實例：Klein四元群的子群格如下：

26第26頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一陪集定義與實例定義10.9

設H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個，即H和{b,c}.27第27頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例(2)設A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}

f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關于函數(shù)的復合運算構成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下:

Hf1={f1f1,f2f1}=H,Hf2={f1f2,f2f2}=H

Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5},Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3}

Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6},Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}結論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.28第28頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一陪集的基本性質定理10.8

設H是群G的子群，則(1)He=H(2)a∈G有a∈Ha證(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H

(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha29第29頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一定理10.9

設H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質證先證a∈Hb

ab1∈H

a∈Hb

h(h∈H∧a=hb)

h(h∈H∧ab1=h)

ab1∈H

30第30頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一定理10.9

設H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質證再證a∈Hb

Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h1a

任取h1a∈Ha，則有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb

從而得到HaHb.反之，任取h1b∈Hb，則有

h1b=h1(h1a)=(h1h1)a∈Ha從而得到HbHa.綜合上述，Ha=Hb得證.31第31頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一定理10.10

設H是群G的子群，在G上定義二元關系R:a,b∈G,<a,b>∈R

ab1∈H則R是G上的等價關系，且[a]R=Ha.陪集的基本性質證先證明R為G上的等價關系.

再證明：a∈G，[a]R

=Ha.

任取b∈G，

b∈[a]R

<a,b>∈R

ab1∈H

Ha=Hb

b∈Ha32第32頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一推論推論設H是群G的子群,則(1)a,b∈G，Ha=Hb

或Ha∩Hb=

(2)∪{Ha|a∈G}=G

證明：由等價類性質可得.定理10.11

設H是群G的子群，則

a∈G，H≈

Ha

33第33頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一左陪集的定義與性質設G是群，H是G的子群，H的左陪集，即

aH={ah|h∈H}，a∈G

關于左陪集有下述性質：(1)eH=H(2)a∈G，a∈aH

(3)a,b∈G，a∈bH

b1a∈H

aH=bH(4)若在G上定義二元關系R，

a,b∈G，<a,b>∈R

b1a∈H

則R是G上的等價關系，且[a]R

=aH.(5)a∈G，H≈aH34第34頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Lagrange定理定理10.12

（Lagrange）設G是有限群，H是G的子群，則|G|=|H|·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)數(shù)，稱為H在G中的指數(shù).證設[G:H]=r，a1,a2,…,ar分別是H的r個右陪集的代表元素，G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,…,r,得

|G|=|H|·r=|H|·[G:H]35第35頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Lagrange定理的推論推論1

設G是n階群，則a∈G，|a|是n的因子，且有an

=e.證任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的階是n的因子.<a>是由a生成的子群，若|a|=r，則

<a>={a0=e,a1,a2,…,ar1}即<a>的階與|a|相等,所以|a|是n的因子.從而an

=e.36第36頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Lagrange定理的推論推論2

對階為素數(shù)的群G，必存在a∈G使得G=<a>.證設|G|=p，p是素數(shù).由p≥2知G中必存在非單位元.任取a∈G，a≠e，則<a>是G的子群.根據(jù)拉格朗日定理，<a>的階是p的因子，即<a>的階是p或1.

顯然<a>的階不是1，這就推出G=<a>.

37第37頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Lagrange定理的應用命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群.證設a為G中任意元素，有a1=a.任取x,y∈G，則

xy=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.38第38頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Lagrange定理的應用例8

證明6階群中必含有3階元.證設G是6階群，則G中元素只能是1階、2階、3階或6階.若G中含有6階元，設為a，則a2是3階元.若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元.如若不然，G中只含1階和2階元，即a∈G，有a2=e，由命題知G是Abel群.取G中2階元a和b，a

b，令H={e,a,b,ab}，則H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾.

39第39頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一例9

證明階小于6的群都是Abel群.Lagrange定理的應用證1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群.2,3和5都是素數(shù)，由推論2它們都是單元素生成的群，都是Abel群.設G是4階群.若G中含有4階元，比如說a，則G=<a>，由上述分析可知G是Abel群.若G中不含4階元，G中只含1階和2階元，由命題可知G也是Abel群.40第40頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一10.3

循環(huán)群與置換群定義10.10

設G是群，若存在a∈G使得G={ak|k∈Z}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

循環(huán)群的分類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群.

設G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無限階元，則

G={a0=e,a±1,a±2,…}稱G為無限循環(huán)群.

41第41頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一循環(huán)群的生成元定理10.13

設G=<a>是循環(huán)群.

(1)若G是無限循環(huán)群，則G只有兩個生成元，即a和a1.

(2)若G是n階循環(huán)群，則G含有(n)個生成元.對于任何小于n且與n互質的數(shù)r∈{0,1,…,n-1},ar是G的生成元.(n)稱為歐拉函數(shù)，例如n=12，小于或等于12且與12互素的正整數(shù)有4個：

1,5,7,11，所以(12)=4.42第42頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一證明證(1)顯然<a1>G.ak∈G，

ak=(a1)k

<a1>，因此G<a1>，a1是G的生成元.再證明G只有a和a1這兩個生成元.假設b也是G的生成元，則

G=<b>.由a∈G可知存在整數(shù)t使得a=

bt.由b∈G=<a>知存在整數(shù)m使得b=am.從而

a=bt=(am)t=amt由G中的消去律得

amt1=e因為G是無限群，必有mt1=0.從而證明了m=t=1或m=t=1，即b=a或b=a1.43第43頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一(2)只須證明：對任何正整數(shù)r(r≤n)，

ar是G的生成元

n與r互質.

充分性.設r與n互質，且r≤n，那么存在整數(shù)u和v使得ur+vn=1從而a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u這就推出ak∈G，ak

=(ar)uk∈<ar>，即G<ar>.另一方面，顯然有<ar>G.從而G=<ar>.必要性.設ar是G的生成元，則|ar|=n.令r與n的最大公約數(shù)為d，則存在正整數(shù)t使得r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.從而證明了d=1.證明44第44頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例10(1)設G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，則(12)=4.小于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理10.13可知a,a5,a7

和a11是G的生成元.(2)設G=<Z9,>是模9的整數(shù)加群，則(9)=6.小于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設G=3Z={3z|z∈Z},G上的運算是普通加法.那么G只有兩個生成元：3和3.45第45頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一循環(huán)群的子群定理10.14

設G=<a>是循環(huán)群.

(1)設G=<a>是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群.(2)若G=<a>是無限循環(huán)群，則G的子群除{e}以外都是無限循環(huán)群.(3)若G=<a>是n階循環(huán)群，則對n的每個正因子d，G恰好含有一個d階子群.46第46頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一證明證(1)設H是G=<a>的子群，若H={e}，顯然H是循環(huán)群，否則取H中的最小正方冪元am，下面證明H=<am>.易見<am>H.下面證明H<am>.為此，只需證明H中任何元素都可表成am的整數(shù)次冪.任取al∈H，由除法可知存在整數(shù)q和r，使得l=qm+r，其中0≤r≤m1ar=alqm=al(am)q由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H.因為am是H中最小正方冪元，必有r=0.這就推出

al

=(am)q∈<am>47第47頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一證明(2)設G=<a>是無限循環(huán)群，H是G的子群.若H≠{e}可知H=<am>，其中am為H中最小正方冪元.假若|H|=t，則|am|=t，從而得到amt

=e.這與a為無限階元矛盾.48第48頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一證明(3)設G=<a>是n階循環(huán)群，則G={a0=e,a1,…,an1}下面證明對于n的每個正因子d都存在一個d階子群.易見是G的d階子群.假設H1=<am>也是G的d階子群，其中am為H1中的最小正方冪元.則由

(am)d=e

可知n整除md，即n/d整除m.令m=(n/d)·l，l是整數(shù)，則有

這就推出H1H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.

49第49頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例11(1)G=<Z,+>是無限循環(huán)群，其生成元為1和1.

對于自然數(shù)m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z

<m>={mz|z∈Z}=mZ，m>0(2)G=Z12是12階循環(huán)群.12正因子是1,2,3,4,6和12，G的子群:

1階子群<12>=<0>={0}

2階子群<6>={0,6}

3階子群<4>={0,4,8}

4階子群<3>={0,3,6,9}

6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}

12階子群<1>=Z12

50第50頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一n元置換及乘法定義10.11

設S={1,2,…,n},S上的任何雙射函數(shù)σ:S→S稱為S上的n元置換.例如S={1,2,3,4,5},下述為5元置換定義10.12

設σ,τ是n元置換,σ和τ的復合σ

°τ也是n元置換,稱為σ與τ的乘積,記作στ.例如51第51頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一n元置換的輪換表示定義10.13

設σ是S={1,2,…,n}上的n元置換。若

(i1)=i2,(i2)=i3,…,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持S中其它元素不變，則稱σ是S上的k階輪換.記作(i1

i2…ik)。若k=2，稱σ是S上的對換.52第52頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一n元置換的輪換表示設S={1,2,…,n}，對于任何S上的n元置換,存在著一個有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,(可以取i1=1)使得(i1)=i2,(i2)=i3,…,(ik1)=ik,(ik)=i1令1=(i1

i2…ik)是分解的第一個輪換.將寫作1,

繼續(xù)對分解.由于S只有n個元素,經(jīng)過有限步得到

=

1

2…

t53第53頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一n元置換的輪換表示輪換分解式的特征輪換的不交性分解的惟一性:若

=12…t

和

=12…s

是的兩個輪換表示式，則有

{1,2,…,t}={1,

2,…,s}54第54頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一例12

設S={1,2,…,8},

則輪換分解式為：

=(15236)(4)(78)=(15236)(78)

=(18342)(567)實例55第55頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一置換的對換分解設S={1,2,…,n}，

=(i1

i2…ik)是S上的k階輪換，

可以進一步表成對換之積，即

(i1

i2…ik)=(i1

i2)(i1i3)…(i1

ik)任何n元置換表成輪換之積，然后將每個輪換表成對換之積.例如8元置換

=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78)=(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)56第56頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一對換分解的特征對換分解式中對換之間可以有交，分解式也不惟一.

例如4元置換

可以有下面不同的對換表示：

=(12)(13)，

=(14)(24)(34)(14)表示式中所含對換個數(shù)的奇偶性是不變的.

如果n元置換可以表示成奇數(shù)個對換之積，則稱為奇置換，否則稱為偶置換.

不難證明奇置換和偶置換各有n!/2個.57第57頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一n元置換群所有的n元置換構成的集合Sn關于置換乘法構成群，

稱為n元對稱群.n元對稱群的子群稱為n元置換群.例13

設S={1,2,3}，3元對稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)58第58頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Sn的子群n元交錯群An是Sn的子群，An是所有的n元偶置換的集合.證恒等置換(1)是偶置換，所以An非空.根據(jù)判定定理三，只需證明封閉性：任取,∈An，,

都可以表成偶數(shù)個對換之積，那么

也可以表成偶數(shù)個對換之積，所以

∈An.59第59頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一Sn的子群實例：S3的子群格S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A3={(1),(123),(132)},{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)}.60第60頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一10.4環(huán)與域

定義10.12

設<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構成交換群(2)<R,·>構成半群(3)·運算關于+運算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).通常稱+運算為環(huán)中的加法，·運算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1.對任何元素x，稱x的加法逆元為負元，記作x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.61第61頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一環(huán)的實例例15(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集和復數(shù)集關于普通的加法和乘法構成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R和復數(shù)環(huán)C.(2)n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣的加法和乘法構成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關于集合的對稱差運算和交運算構成環(huán).(4)設Zn＝{0,1,...,n－1}，和分別表示模n的加法和乘法，則<Zn,,>構成環(huán)，稱為模n的整數(shù)環(huán).62第62頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一定理10.16

設<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈R，a0=0a=0

(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab

(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca

(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)

環(huán)的運算性質

63第63頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一

環(huán)的運算性質

證(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0

由環(huán)中加法的消去律得a0=0.同理可證0a=0.

(2)a,b∈R，有

(a)b+ab=(a+a)b=0b=0

ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0

(a)b是ab的負元.由負元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab

.64第64頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一同理可證,b1,b2,...,bm有

(4)證明思路：用歸納法證明a1,a2,...,an有于是證明(4)65第65頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例16

在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2

66第66頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一特殊的環(huán)定義10.13

設<R,+,·>是環(huán)(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán).(2)若環(huán)中乘法·存在單位元，則稱R是含幺環(huán).(3)若a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無零因子環(huán).(4)若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán).(5)設R是整環(huán)，且R中至少含有兩個元素.若a∈R*，其中R*=R{0}，都有a－1∈R，則稱R是域.67第67頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一例17(1)整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實數(shù)環(huán)R、復數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán).除了整數(shù)環(huán)以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構成交換環(huán)和無零因子環(huán).但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)設nZ,n2,則n階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣加法和乘法構成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無零因子環(huán)，也不是整環(huán).(4)<Z6,,>構成環(huán)，它是交換環(huán),含幺環(huán),但不是無零因子環(huán)和整環(huán).23=32=0，2和3是零因子.注意：對于一般的n,Zn是整環(huán)當且僅當n是素數(shù).實例68第68頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一實例例18

設p為素數(shù)，證明Zp是域.證p為素數(shù)，所以|Zp|≥2.易見Zp可交換，單位是1,對于任意的i,j∈Zp,i≠0有

ij=0

p整除ij

p|j

j=0所以Zp中無零因子，Zp為整環(huán).

下面證明每個非零元素都有逆元.任取i∈Zp，i≠0，令

iZp={ij|j∈Zp}則iZp=Zp，否則j,k∈Zp，使得ij=ik，由消去律得j=k.由1∈Zp，存在j∈Zp，使得ij=1.由于交換性可知j就是i的逆元.69第69頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一練習11.判斷下列集合和運算是否構成半群、獨異點和群.(1)a

是正整數(shù)，G={an|nZ},運算是普通乘法.(2)Q+是正有理數(shù)集，運算為普通加法.(3)一元實系數(shù)多項式的集合關于多項式加法.解(1)是半群、獨異點和群(2)是半群但不是獨異點和群(3)是半群、獨異點和群方法：根據(jù)定義驗證，注意運算的封閉性70第70頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一2.設V1=<Z,+>,V2=<Z,>,其中Z為整數(shù)集合,+和

分別代表普通加法和乘法.判斷下述集合S是否構成V1和V2的子半群和子獨異點.(1)S={2k|kZ}(2)S={2k+1|kZ}(3)S={1,0,1}解(1)S關于V1構成子半群和子獨異點，但是關于V2僅構成子半群(2)S關于V1不構成子半群也不構成子獨異點，S關于V2構成子半群和子獨異點(3)S關于V1不構成子半群和子獨異點，關于V2構成子半群和子獨異點練習271第71頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一3.設Z18

為模18整數(shù)加群,求所有元素的階.解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18.練習3說明：群中元素的階可能存在，也可能不存在.對于有限群，每個元素的階都存在，而且是群的階的因子.對于無限群，單位元的階存在，是1；而其它元素的階可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的階都存在，但是群還是無限群）.72第72頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一4．證明偶數(shù)階群必含2階元.

由x2=e

|x|=1或2.換句話說,對于G中元素x，如果|x|>2,必有x1

x.由于|x|=|x1|，階大于2的元素成對出現(xiàn)，共有偶數(shù)個.那么剩下的1階和2階元總共應該是偶數(shù)個.1階元只有1個，就是單位元，從而證明了G中必有

2階元.練習473第73頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一有關群性質的證明方法有關群的簡單證明題的主要類型:證明群中的元素某些運算結果相等證明群中的子集相等證明與元素的階相關的命題.證明群的其它性質，如交換性等.常用的證明手段或工具是:算律：結合律、消去律和特殊元素相關的等式，如單位元、逆元等冪運算規(guī)則和元素的階相關的性質.特別地，a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.74第74頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一證明方法證明群中元素相等的基本方法就是用結合律、消去律、單位元及逆元的惟一性、群的冪運算規(guī)則等對等式進行變形和化簡.證明子集相等的基本方法就是證明兩個子集相互包含證明與元素的階相關的命題，如證明階相等，階整除等.證明兩個元素的階r和s相等或證明某個元素的階等于r，基本方法是證明相互整除.在證明中可以使用結合律、消去律、冪運算規(guī)則以及關于元素的階的性質.特別地，可能用到a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.75第75頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一練習55．設G為群，a是G中的2階元，證明G中與a可交換的元素構成G的子群.證令H={x|xGxa=ax},下面證明H是G的子群.首先e屬于H，H是G的非空子集.任取x,yH，有

(xy1)a=x(y1a)=x(a1y)1=x(ay)1

=x(ya)1

=xa1y1

=xay1=axy1

=a(xy1)因此xy1屬于H.由判定定理命題得證.分析：證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二.證明的步驟是：驗證H非空任取x,yH，證明xy1H76第76頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一6.(1)設G為模12加群,求<3>在G中所有的左陪集;(2)設X={x|xR,x0,1},在X上如下定義6個函數(shù)：

f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1x,f4(x)=1/(1x),f5(x)=(x1)/x,f6(x)=x/(x1),

則G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}關于函數(shù)合成運算構成群.求子群H={f1,f2}的所有的右陪集.練習677第77頁，共87頁，2023年，2月20日，星期一練習6解(1)<3>={0,3,6,9},<3>的不同左陪集有3個，即

0+<3>=<3>,1+<3>=4+<3>=7+<3>=10+<3>={1,4,7,10},2+<3>=5+<3>=8+<3>=11+<3>={2,5,8,11}.(2){f1,