離散變量的優(yōu)化方法

離散變量的優(yōu)化方法第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.1引言一.變量類型：

工程實(shí)際問題中不是單一的連續(xù)變量，經(jīng)常是各種類型變量的混合。有：連續(xù)變量確定型整型變量離散變量隨機(jī)變量不確定型混合變量所以需要相應(yīng)的優(yōu)化方法。第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.1引言（續(xù)）二.工程實(shí)際設(shè)計(jì)的需要：

例：決定修建一條防洪堤壩。根據(jù)歷年的水文資料，臺(tái)風(fēng)的年最大風(fēng)速：

現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)堤壩的截面尺寸b和h，在保證不受災(zāi)害的概率不低于99.9%，堤壩不受沖壓損壞的概率不低于99.0%的要求下，使投資最小。第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.1引言（續(xù)2）三.傳統(tǒng)方法的局限：

例，求離散問題的最優(yōu)解，傳統(tǒng)的方法是先用連續(xù)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)方法求連續(xù)變量的最優(yōu)解，然后圓整到離散值上。弊病：可能得不到可行最優(yōu)解，或所得的解不是離散最優(yōu)解?！駒*●X(1)●X(2)●X(3)x*是連續(xù)變量最優(yōu)點(diǎn)；

x(1)是圓整后最近的離散點(diǎn)，但不可行；

x(2)是最近的可行離散點(diǎn)，但不是離散最優(yōu)點(diǎn)；

x(3)是離散最優(yōu)點(diǎn)。x10x2第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.2

離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念一.設(shè)計(jì)空間：1、一維離散設(shè)計(jì)空間：

在xi坐標(biāo)軸上有若干個(gè)相距一定間隔的離散點(diǎn)，組成的集合稱為一維離散設(shè)計(jì)空間。2、P維離散設(shè)計(jì)空間：

P個(gè)離散設(shè)計(jì)變量組成P維離散設(shè)計(jì)空間。每個(gè)離散變量可取有限個(gè)（l）數(shù)值，這些數(shù)值可用矩陣Q來表達(dá)。注：①因?yàn)殡x散變量是有限個(gè)，所以離散空間是有界的。②某個(gè)離散變量的取值不足l個(gè)，其余值可用預(yù)先規(guī)定的自然數(shù)補(bǔ)齊。qij-1

●qij

●qij+1

●Xi第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.2離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念(續(xù)）3、N-P維連續(xù)設(shè)計(jì)空間：N個(gè)設(shè)計(jì)變量中有P個(gè)離散變量，此外有個(gè)N-P連續(xù)變量。N-P維連續(xù)設(shè)計(jì)空間:4、N維設(shè)計(jì)空間：其中：離散設(shè)計(jì)空間為：連續(xù)設(shè)計(jì)空間為：若Rp為空集時(shí)，Rn為全連續(xù)變量設(shè)計(jì)問題；若Rp-n為空集時(shí)，Rn為全離散變量設(shè)計(jì)問題。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.2離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念二.整型變量和連續(xù)變量的離散化：——是均勻離散1、整型變量的離散：

整型變量可看作為是離散間隔恒定為1的離散變量。是離散變量的特例。2、連續(xù)變量的離散化：

有時(shí)為了提高優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算效率，將連續(xù)變量轉(zhuǎn)化為擬離散變量。

方法：第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.3離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型注：設(shè)計(jì)空間有離散空間部分。但約束面不離散，也不一定分布有離散點(diǎn)。K-T條件不再適用。D第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.4離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及收斂條件一、離散單位鄰域UN(x)和坐標(biāo)鄰域UC(x)：例，二維離散空間中，離散單位鄰域共3n個(gè)點(diǎn)，UN(x)={x,A,B,C,D,E,F,G,H}；離散坐標(biāo)鄰域共2n+1個(gè)點(diǎn)：UC(x)={x,B,D,E,G}。

x●

B●●GD●E●A●●FC●●

Hεiεi0x1x2第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.4離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及收斂條件(續(xù))二、離散最優(yōu)解：三、收斂準(zhǔn)則：

設(shè)當(dāng)前搜索到的最好點(diǎn)為x(k)，需要判斷其是否收斂。在x(k)的單位鄰域中查3n–1個(gè)點(diǎn)，若未查到比x(k)的目標(biāo)函數(shù)值更小的點(diǎn)，則收斂，x*=x(k)。DDD第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.4離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及收斂條件(續(xù)2）四、偽離散最優(yōu)解和擬離散最優(yōu)解：1、偽離散最優(yōu)解：

在判斷x(k)是否收斂時(shí)，只在x(k)的坐標(biāo)鄰域中查點(diǎn)，所得到的最優(yōu)點(diǎn)是偽離散最優(yōu)點(diǎn)。2、擬離散最優(yōu)解：

用以連續(xù)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)的“擬離散法”、“離散懲罰函數(shù)法”等，先求得連續(xù)變量最優(yōu)解（A點(diǎn)），再圓整到可行域內(nèi)最近的離散點(diǎn)（C點(diǎn)）,是擬離散最優(yōu)點(diǎn)。B點(diǎn)才是離散最優(yōu)點(diǎn)。第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.5隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念一、隨機(jī)變量的概率特性（略）：二、隨機(jī)變量：

隨機(jī)現(xiàn)象的每一個(gè)表現(xiàn)，通稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件可用數(shù)值表示，隨著觀察的重復(fù)，可獲得一組不同的數(shù)值。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象作觀察，測(cè)量的變化量稱為隨機(jī)變量。例如，加工了3000根直徑為的軸。抽取測(cè)量了300根軸的直徑，直徑值的分布情況如圖，在公差范圍內(nèi)的有297根軸。

加工直徑為d的軸，是一個(gè)隨機(jī)事件；直徑d為隨機(jī)變量；加工3000根軸，是事件的總體；測(cè)量300根軸的直徑，是事件的樣本空間。合格99%是事件的概率。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.5隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本（續(xù)）三、隨機(jī)參數(shù)：

已知分布類型和分布參數(shù)（或特征參數(shù)），且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。在優(yōu)化過程中，隨機(jī)參數(shù)的分布類型及分布參數(shù)是不隨設(shè)計(jì)點(diǎn)的移動(dòng)而變化的。隨機(jī)參數(shù)的向量表示如下：TTTT第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.5隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念（續(xù)2）四、隨機(jī)設(shè)計(jì)變量：

在優(yōu)化過程中，隨機(jī)變量的分布類型及分布參數(shù)（或特征參數(shù)）需要通過調(diào)整變化來求得最優(yōu)解，而且是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量。隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的向量表示方法如下：五、分布類型及其參數(shù)的確定：

方法一：由試驗(yàn)或觀察，測(cè)量得到隨機(jī)變量的相關(guān)數(shù)據(jù)，作出樣本的直方圖，然后選擇分布類型，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和分布參數(shù)的估計(jì)。T第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.5隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念（續(xù)3）

方法二：根據(jù)樣品試驗(yàn)、同類事件的數(shù)據(jù)或以往積累的經(jīng)驗(yàn)，先推斷一種分布類型，再調(diào)整分布參數(shù)或特征值。

一般認(rèn)為：加工誤差服從正態(tài)分布；壽命服從指數(shù)分布或威布爾分布；合金鋼的強(qiáng)度極限服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。若已知離差系數(shù)cx，則可根據(jù)直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通過調(diào)整均值和離差系數(shù)求得最優(yōu)解。②若xi服從正態(tài)分布，一般容差同樣可直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通過調(diào)整均值和容差求得最優(yōu)解。第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.6隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型一、隨機(jī)設(shè)計(jì)特性：

當(dāng)設(shè)計(jì)特性或技術(shù)指標(biāo)表示為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量和隨機(jī)參數(shù)的函數(shù)時(shí)，稱為隨機(jī)設(shè)計(jì)特性。二、目標(biāo)函數(shù)：由隨機(jī)設(shè)計(jì)特性定義優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)。注：工程問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，根據(jù)工程實(shí)際情況選擇目標(biāo)函數(shù)的類型。第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.6

隨機(jī)變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型（續(xù)）三、約束函數(shù)：四、隨機(jī)型優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：說明：①min.和s.t.只能從概率空間的意義來理解；②采用不同的樣本組，最優(yōu)點(diǎn)x*(ω)是不同的；③模型的類型有很多種，最有實(shí)際意義的是概率約束型。TTT第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.7

隨機(jī)變量概率約束問題的優(yōu)化

設(shè)計(jì)模型及最優(yōu)解一、概率約束問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型：T第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一§7.7隨機(jī)變量概率約束問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)

模型及最優(yōu)解二、概率約束模型的最優(yōu)解：在概率空間（Ω，T，P）內(nèi)，存在一個(gè)用均值表示的設(shè)計(jì)點(diǎn)x*，x*=μx*∈X∈Da，使不等式E{f(x*,ω)}<E{f(x,ω)}對(duì)于某個(gè)鄰域Nδ(x)內(nèi)的所有x都成立，則稱x*為概率約束問題的最優(yōu)點(diǎn)，E{f(x*,ω)}為最優(yōu)均值。三、概率約束模型的幾何解釋1、概率約束的幾何解釋：p{gu(x,ω)≤0}–αu=0是概率約束超曲面。p{g