一類二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解公式

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方程y???py??qy?e?x(Acos?x?Bsin?x)的一個特解公式

邢進喜

黑龍江農(nóng)業(yè)經(jīng)濟職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，黑龍江，牡丹江，157041

摘要本文給出了方程y???py??qy?e(Acos?x?Bsin?x)的一個特解公式，并舉例說明白該公式在求某些微分方程特解時的便利快捷之功能。

關(guān)鍵詞微分方程特解公式

對于微分方程

y???py??qy?e?x?x(Acos?x?Bsin?x)，（1）

2其中p,q,A,B,?,?均為常數(shù)，且??0，記

???2?p??q??，??(2??p)?，（2）

2則有

引理???i是方程（1）的特征根?????0?p??2?且q??證

???i是方程（1）的特征根

?(???i)?p(???i)?q?0?(?22??.

2?p??q??)?[(2??p)?]i?0

22?????0?2??p?0且??p??q??22?0

?p??2?且q????.

2定理方程（1）在???i不是其特征根時有一特解為

y*?e?x?A??B??B??A???cos?x?sin?x222?2?，（3）??????????BA???cos?x?sin?x??.（4）2?2???在???i是其特征根時有一特解為

y*?xe?x公式（3）與（4）可運用我們熟知的待定系數(shù)法并結(jié)合引理推得，也可將（3）（4）式

直接代入方程（1）并利用引理驗證其正確性.

例1求微分方程y???5y??6y?e解運用公式（3），

222x(4cos3x?7sin3x)的一個特解.

??2?5?2?6?3?11，??(2?2?5)?3?27，y*?e2x7?11?4?27?4?11?7?27?cos3x?sin3x??222211?27?11?27?2937??cos3x?sin3x?.??170?170?3x?e2x例2求微分方程y???6y??25y?e解由于所以由公式（4）得

y*?xe3x(5cos4x?8sin4x)的一個特解.

2?2???2?3??6?p，???2?3?422?25?q，

85???cos4x?sin4x??xe?2?4?2?4?3x5???cos4x?sin4x?.?8??下面針對方程（1）的兩種常見特別情形給出定理的兩個推論.

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xingjinxi

在定理中令??0，B?0，可得

推論1方程y???py??qy?Acos?x在??i不是其特征根時有一特解為

??y*?A??2????2cos?x?????22?2sin?x???q??（其中，??p?），（5）??2在??i是其特征根時（此時p?0，q??）有一特解為

y*?A2?xsin?x.（6）

特別地，當??1時，公式（5）（6）分別變?yōu)?/p>

??q?1p?，（5/）y*?A?cosx?sinx2222??(q?1)?p?(q?1)?p?2例3求微分方程y???5y??6y?4cos3x的一個特解.

y*?Axsinx.（6）

/

解運用公式（5），

??6?3??3，??5?3?15，

??3y*?4?2?(?3)?1522cos3x?15(?3)?1522?210sin3x???cos3x?sin3x.

3939?例4求微分方程y???36y?5cos6x的一個特解.解顯然?6i是特征根，故由公式（6）得

2?612與推論1類似，在定理中令??0，A?0，可得

推論2方程y???py??qy?Bsin?x在??i不是其特征根時有一特解為

y*?5xsin6x?5xsin6x.

???y*?B??2????2cos?x?????22?2sin?x???q??（其中，??p?），（7）??B2?在??i是其特征根時有一特解為

y*??xcos?x.（8）

特別地，當??1時，公式（7）（8）分別變?yōu)?/p>

???pq?1/

y*?B?cosx?sinx，（7）?2222(q?1)?p?(q?1)?p?y*??B2xcosx.（8）

/

例5求微分方程y???6y??4y?7sinx的一個特解.

解顯然?i不是特征根，故由公式（7/）得

3147??6?y*?7?2cosx?sinx??cosx?sinx.?22215153?6?3?6?例6求