合情推理與演繹推理

/合情推理與演繹推理目標要求:1。了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)展中的作用。2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.考查角度［合情推理］1。（201４·課標全國卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過Ａ，B,C三個城市時，甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市；乙說:我沒去過C城市;丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可判斷乙去過的城市為___＿__＿_．解：由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A,Ｃ城市，而乙沒去過C城市,說明乙去過城市A,由此可知，乙去過的城市為A?！敬鸢浮浚?.（2０13·陜西高考)觀察下列等式：(1+1)=2×１，(2+1)(2＋2）＝22×１×３,（3＋1)（3+２）(３＋3）=23×1×3×5，……照此規(guī)律，第n個等式可為__＿＿____。解：從給出的規(guī)律可看出,左邊的連乘式中,連乘式個數(shù)以及每個連乘式中的第一個加數(shù)與右邊連乘式中第一個乘數(shù)的指數(shù)保持一致，其中左邊連乘式中第二個加數(shù)從1開始，逐項加1遞增,右邊連乘式中從第二個乘數(shù)開始,組成以１為首項，2為公差的等差數(shù)列，項數(shù)與第幾等式保持一致，則照此規(guī)律,第n個等式可為（n＋1)（n＋２）…（n＋n)=２n×１×3×…×（2n－1）．【答案】（ｎ+1）（n＋2）…（n+n)＝2ｎ×1×3×…×（2n—1）３．（２013·湖北高考）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)１，3,6,１0，…,第n個三角形數(shù)為ｅq＼f（nn+1,2）=ｅq＼f（１，2）n2+eq\f(１，2）ｎ．記第n個k邊形數(shù)為N(n,k）（k≥3）,以下列出了部分k邊形數(shù)中第ｎ個數(shù)的表達式：三角形數(shù)Ｎ(ｎ,3)=ｅq\f（1，2）n2＋ｅq\f（1，２）ｎ，正方形數(shù)Ｎ（n，４)＝ｎ２，五邊形數(shù)Ｎ（n，5)=eq＼ｆ(３，2）ｎ2-eq＼ｆ(1，2）ｎ,六邊形數(shù)Ｎ(n，6)＝2n2—n，……可以推測N(ｎ，k)的表達式，由此計算N(1０，24）＝＿_＿_＿__＿。解：由N(n，4)＝n2，Ｎ(n,6）=2n2－n,…，可以推測:當k為偶數(shù)時，N（n,ｋ）=eｑ\ｂ\lc＼(\ｒc\）（＼a\ｖs４\al\co1(＼f(k,2)-1）)n2—eq\b\lc\(\rc\)（\ａ\vs4\al\ｃo1(\f（k，2）-2))n，于是Ｎ（ｎ，24)=１1ｎ2－10ｎ．故N(10,２4）＝11×１02—10×１0＝１00０.【答案】1000［命題規(guī)律預(yù)測］命題規(guī)律從近幾年的高考試題看,對本節(jié)內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在以下兩個方面：1．對歸納推理的考查是命題的熱點,對類比推理的考查相對較弱．2。題型主要以填空題的形式出現(xiàn),難度中高檔.考向預(yù)測預(yù)測2016年高考仍將以考查歸納推理和類比推理為主,估計試題難度稍大,對學生的數(shù)學能力的考查是重點考查方向．考向一歸納推理【例１】(2０14·陜西高考)已知f（ｘ）＝eｑ\f(x,1+x），x≥0，若f1（x）=f（ｘ),fn+１（ｘ)＝f（ｆn（x)),n∈N＋,則f20１4（x)的表達式為___＿__＿_。由fｎ＋1（x)=f（ｆn(x））分別求出ｆ2（x)，f３(x),然后觀察f1(x），f2（x）,f3（x)中等式的分子與分母系數(shù)間的關(guān)系,猜想f２014(x)的表達式．解:f1(x)=eq＼ｆ（ｘ,1+x）,ｆ2(x）＝ｅq\ｆ（\ｆ(ｘ,1+ｘ),1＋\f（x，1+x））=eｑ＼f（ｘ，1＋２ｘ)，f３(ｘ)＝eq＼ｆ(\ｆ(x，1+2x）,1＋＼f（x,1+2x））＝ｅq\f（x,１+3x),…，由數(shù)學歸納法得f2014(ｘ）=eｑ＼f（x，1＋２014ｘ）?！敬鸢浮浚妫?１４（ｘ)＝eｑ\f（x，１+201４ｘ）常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1）數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納,解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系,同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2）形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納.［對點練習]如圖11-2.１所示，一個質(zhì)點在第一象限和坐標軸上運動,在第一秒鐘內(nèi)它由原點運動到點（０，1)，然后按圖中所示在與x軸、y軸平行的方向上運動,且每秒移動一個單位長度,那么20０0秒后,這個質(zhì)點所處位置的坐標是（）圖１1。2。１A.（44,25)Ｂ.（45，2５)C．（25，45)?D．（2４，4４）【解析】質(zhì)點到達點(1,1）處，走過的單位長度是2，接下來質(zhì)點運動的方向與y軸方向相反;質(zhì)點到達點(2，2)處，走過的單位長度是６＝2＋4,接下來質(zhì)點運動的方向與x軸方向相反；質(zhì)點到達點（3，3）處,走過的單位長度是１2=2+4＋6，接下來質(zhì)點運動的方向與y軸方向相反;質(zhì)點到達點（4,4)處，走過的單位長度是2０＝2+4＋６+8，接下來質(zhì)點運動的方向與ｘ軸方向相反;……猜想：質(zhì)點到達點（n，n)處，走過的單位長度是２+4+6＋…＋2n=n（n+１),且ｎ為偶數(shù)時，接下來質(zhì)點運動的方向與x軸方向相反;ｎ為奇數(shù)時,接下來質(zhì)點運動的方向與y軸方向相反。所以2000秒后是指該質(zhì)點到達點(4４，44）后,繼續(xù)移動了２0個單位，由圖中規(guī)律可得該質(zhì)點沿與x軸相反的方向前進了20個單位，即該質(zhì)點所處位置的坐標是（24，44)．【答案】D考向二類比推理【例２】(1)（2014·鄭州模擬)已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，若am=ａ，an=b（n-m≥１,m,n∈N＊),則ａm＋ｎ=eｑ\f(nb－ma,n－m）.類比等差數(shù)列{an｝的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(ｂn＞0，n∈N＊)，若ｂm＝ｃ,ｂn＝d（n-ｍ≥2,ｍ，n∈N＊），則可以得到bm＋n=________。(2)（2014·南昌模擬)在平面上，若兩個正三角形的邊長為１∶2，則它們的面積比為1∶4,類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為___＿＿__＿．（1）類比等差和等比數(shù)列的性質(zhì)求解；（２)類比平面圖形與空間圖形的內(nèi)在聯(lián)系求解．解：法一:設(shè)數(shù)列{an｝的公差為d１，則d1＝eq\ｆ(an—ａm,ｎ－m)＝eｑ＼f(b－a,n-m）。所以am＋n=am＋nd1＝ａ+n·ｅq\f（b－a，n-ｍ）＝ｅq\ｆ（bｎ—aｍ,n-m)。類比推導(dǎo)方法可知：設(shè)數(shù)列｛bn}的公比為q,由bn＝bmｑn－ｍ可知ｄ＝cqｎ－m,所以q＝eｑ\r(n－m，\f（d，c)),所以ｂm+ｎ＝bmqn＝c·eｑ＼r（n-m，\b＼ｌc\(\ｒｃ\）（\a＼vs4＼al＼cｏ1(\f(d，c））)ｎ）＝ｅq\ｒ(n－m,\ｆ(dｎ,ｃm））．法二：設(shè)數(shù)列{an｝的公差為d1，數(shù)列{bn}的公比為ｑ,在等差數(shù)列中,aｎ=a1＋（n-１)ｄ1，在等比數(shù)列中，bｎ＝b1qn-1,因為am＋ｎ=eq＼ｆ（ｎb—mａ，ｎ－ｍ)，所以bｍ+n＝eｑ\r(n-m，\f(dｎ，cm)）.（2)∵兩個正三角形是相似三角形，∴它們的面積比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8。【答案】(1）eq＼r(ｎ－m，\ｆ（dn,ｃm）)（2)1∶8類比推理的分類及處理方法類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法:(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解;（2)類比性質(zhì):從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手,提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別,深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵;(3)類比方法:有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中,注意知識的遷移。［對點練習］在平面上,設(shè)hａ、hb、hc是三角形ABC三條邊上的高,P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa,Pb，Pc,我們可以得到結(jié)論：eｑ\f（Ｐa,ha）＋eq\ｆ（Pb，hb）+eq\f（Pc,hc)＝1。把它類比到空間,則三棱錐中的類似結(jié)論為________．解：設(shè)ha,ｈｂ，hc，hd分別是三棱錐Ａ-BCD四個面上的高，P為三棱錐A-BＣD內(nèi)任一點，Ｐ到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Ｐb,Ｐc，Pｄ.于是我們可以得到結(jié)論：ｅｑ\f（Pa,ha)＋eq\f（Pb，ｈb）+eq＼f(Pc，hｃ)+eq\f(Pd，hd）＝1．【答案】ｅq＼f(Pa，ha）＋eq\f（Pb,ｈb）＋eq\f(Pc，hｃ）＋eq\f(Pd，hｄ）=1考向三演繹推理【例３】數(shù)列{ａn｝的前n項和記為Sn，已知a1=1，an+1=eq\f（n+２，n）Sｎ(ｎ∈Ｎ＊）,證明:(1）數(shù)列eq\b\lc\{\rｃ＼｝（\a\vs4\ａl\ｃo1（＼f(Sn，n）））是等比數(shù)列；（2）Sn+１=４ａn．按照“三段論”的模式給予求解．證明:(1）∵aｎ＋1=Ｓn+１-Sn，aｎ+1＝eq\ｆ(n＋２，n)Sn,∴（n＋2)Sn＝n(Sn＋１－Sn），即nＳｎ+１=2（n+1)Ｓn.故eq\ｆ（Ｓn＋1，n+1）＝２·ｅｑ＼f（Sｎ，n)(小前提）故eq＼b\lc＼{\rc\}（＼ａ\vs4\al\cｏ１(\f（Sｎ，n))）是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列．（結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了）．（2)由（1)可知eq\f（Ｓn+1，ｎ+1）=４·eq\f（Sｎ－１,ｎ－1)(n≥2），∴Sn+1＝4(ｎ+1)·eq\ｆ(Sn－１，n—１）=4·eq\f（n－１+２,n－1)·Ｓn-１=4an（n≥2)．(小前提）又∵a2＝3S1＝3，S2=ａ1+a２=1+3＝４＝4ａ1,（小前提)∴對于任意正整數(shù)n,都有Ｓn+1=４ａｎ。(結(jié)論）演繹推理的結(jié)構(gòu)特點：（1）演繹推理是由一般到特殊的推理,其最常見的形式是三段論,它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的.三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提,它提供了一個一般的原理;第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況。這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷:結(jié)論．（２）演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系,解題時要找準正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，一般可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．［對點練習］如圖１1。２。２所示，Ｄ，E,F分別是BC，CA,AＢ上的點，∠BFD＝∠A，且DE∥ＢA。求證:EＤ=ＡF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論，并最終把推理過程用簡略的形式表示出來）.圖１1。２。2證明：（1）同位角相等，兩條直線平行,（大前提）∠BFD與∠A是同位角，且∠BＦD＝∠A,（小前提)所以ＤＦ∥EA。(結(jié)論)(2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提)DE∥ＢA且DＦ∥ＥA，(小前提）所以四邊形ＡＦＤE為平行四邊形。(結(jié)論)(３）平行四邊形的對邊相等,(大前提)ED和AF為平行四邊形的對邊，（小前提)所以EＤ=AＦ。（結(jié)論）上面的證明可簡略地寫成：ｅq\b\lc\＼rc\｝(\a\vｓ4＼ａl\co1（∠BFＤ=∠A?ＤF∥EA，DE∥BA））?四邊形AFDE是平行四邊形?ED＝ＡF。【例】（2014·臨沂模擬）如圖1１。２.３所示,坐標紙上的每個單元格的邊長為1,由下往上的六個點：１，2，3,4,5，6的橫、縱坐標分別對應(yīng)數(shù)列{an}（ｎ∈N＋）的前12項(即橫坐標為奇數(shù)項，縱坐標為偶數(shù)項），按如此規(guī)律下去，則a２013＋a20１4＋ａ2015等于(）圖11.2。3A．1０05B．10０６Ｃ。1007Ｄ.２０１5解:觀察點坐標的規(guī)律可知,偶數(shù)項的值等于其序號的一半，奇數(shù)項的值有正負之分.則ａ4n—3＝n，a4n－1=—n，ａ2ｎ＝n．此處在求解時常因找不出a４ｎ—３與a４ｎ-1的關(guān)系,導(dǎo)致結(jié)論錯誤.又２013=4×５０４－3,201５=4×５04－1,∴ａ2０1３=50４，a20１5=－５04,a２014＝1007，∴ａ20１3+a2014＋a20１5＝10０7.【答案】Ｃ(1)正確書寫數(shù)列｛aｎ｝的前n項，為歸納探索項與項間的關(guān)系作出鋪墊．（2）仔細觀察數(shù)列｛aｎ｝中各項的特征,明確“a2n＝n，a４n-３+a4n-1＝０"是解題的關(guān)鍵所在．[對點練習]（２01４·荊州模擬)如圖１1。2。4是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第１行;數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6,5，4(從左至右)出現(xiàn)在第３行;數(shù)字７,8，9,10出現(xiàn)在第4行，依次類推，則(1）按網(wǎng)絡(luò)運作順序第ｎ行第1個數(shù)字（如第2行第1個數(shù)字為2，第3行第1個數(shù)字為4，…）是________；（2）第63行從左至右的第3個數(shù)字應(yīng)是__＿___＿_.圖１1。2.4解:設(shè)第n行的第１個數(shù)字構(gòu)成數(shù)列{an｝，則an+1－ａn＝n,且a1＝1,∴an＝eq\ｆ（n2—n＋2，2)，而偶數(shù)行的順序從左到右,奇數(shù)行的順序從右到左，第6３行的第1個數(shù)字為19５4,從左至右的第3個數(shù)字是從右至左的第61個數(shù)字，從而所求數(shù)字為1954＋60=201４?！敬鸢浮縠ｑ＼f（n2—n+2，2）２0141。下面幾種推理過程是演繹推理的是（)A．某校高三有８個班,1班有51人，2班有5３人，3班有52人,由此推測各班人數(shù)都超過５0人B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分D。在數(shù)列｛an｝中，a１=１，an＝eｑ\ｆ（１,2)（an-1＋eq\f（1,an-１))，由此歸納出{an｝的通項公式解：A、D是歸納推理，B是類比推理；Ｃ運用了“三段論”是演繹推理．【答案】C2．觀察（ｘ2)′=2x,（x4)′=4ｘ3,(cosx）′=—sinx，由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足ｆ（—x）=f(ｘ）,記ｇ(x)為ｆ（x）的導(dǎo)函數(shù),則g（-x）＝（）Ａ．f（x)Ｂ.-f（ｘ）C．g（x）D。－ｇ(ｘ)解：由所給等式知，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．∵f(－x）=f（ｘ),∴f（ｘ）是偶函數(shù),從而ｇ(x）是奇函數(shù)．∴g（—ｘ）=-g(ｘ)．【答案】D3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，ｆ（x）＝sｉn（x２+1）是正弦函數(shù)，因此f（ｘ）＝sin(ｘ2＋1）是奇函數(shù)，以上推理(）A。結(jié)論正確B．大前提不正確C．小前提不正確D．全不正確解:∵ｆ(ｘ)＝sin（x2+1)不是正弦函數(shù)，∴上述推理過程中小前提不正確．【答案】C４．通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中,以正方形的面積為最大,最大值為2R2”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為(）A．半徑為Ｒ的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為2R２Ｂ．半徑為Ｒ的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大，最大值為3R3C.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為eq\ｆ（4＼ｒ（3)R3，9)D．半徑為R的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為ｅq＼ｆ（8＼r（3）R3，9）解：正方形類比到空間的正方體，即半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大，此時正方體的棱長a＝ｅｑ\f（２Ｒ，\r（3)）,故其體積是ｅｑ\b\lc\（＼ｒc\)（\a\ｖｓ4\ａｌ＼co1(＼ｆ（2R，\r（３）)）)3＝eｑ\f(8\r（3)R3,9）。故選D.【答案】D合情推理與演繹推理練習一、選擇題１。如圖11。2.5是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(）圖１1.2-5解：該五角星對角上的兩盞花燈依次按順時針方向亮兩盞，故下一個呈現(xiàn)出來的圖形是Ａ.【答案】A2．數(shù)列2，5,11,2０,32，ｘ,…中的x等于(）A。28B．32C。3３D．４7解：由數(shù)與數(shù)間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)間依次相差“３,６，9,1２,15,…"．故x＝32＋１5＝47．【答案】D3.觀察下列各式：１＝１2，２+3+4＝３２，3＋4＋５＋6＋7=52，4+5+6+7＋8＋9＋１0＝7２，…可以得出的一般結(jié)論是()Ａ.n＋（n＋1）+(n+2)+…＋(３n－２）=ｎ2B.ｎ＋（n＋1）+（n＋2)＋…＋(３ｎ-2)＝(2ｎ－1)２Ｃ。n＋(n＋１）+(n+２)+…＋（3n－1)＝n2D。n+（n＋1)+（n＋2）＋…＋（3n－1）=(2n-1)2解:由前四個等式我們發(fā)現(xiàn)第n個等式左邊共有2ｎ-1項，故為n＋(n＋１）＋…＋（3n－2）=(2n－１)2．【答案】B4。定義一種運算“*":對于自然數(shù)ｎ滿足以下運算性質(zhì)：（1）１］()A．nＢ．n+1Ｃ.n—1Ｄ．ｎ2解：由（n＋１)＊1＝n*1＋1，得n*1＝（n—１）*1+１=(n－2)＊1＋2=…=1]【答案】A5.(２014·銀川模擬)當x∈（0，＋∞）時可得到不等式x＋ｅq\f（1，x)≥２,x+ｅq＼f(4,x2)=ｅq＼f（ｘ,2)+ｅq\ｆ（ｘ,2）＋eq\ｂ\lc＼（＼ｒｃ＼）(\ａ\vs４\aｌ＼ｃo1(\f(2,ｘ）））2≥3,由此可以推廣為x＋ｅq\ｆ（p，xn）≥ｎ+1,取值p等于（）A．nnB。n２Ｃ．nD。n＋1解：∵ｘ∈（0,+∞）時可得到不等式ｘ+eq＼f(1，x）≥２，x+eｑ\f(４,ｘ２)=eq＼f（x，2）＋ｅq\ｆ(x，２）+eq\b\lc\(＼ｒｃ\）(＼ａ\vs4\aｌ\cｏ1（\f（2，x))）2≥3,∴在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母ｘｎ的指數(shù)n的指數(shù)次方，即p＝nn．【答案】A６．(20１４·長春模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)：Ｓ（ｘ)＝ａx－a－x，C(x）＝ax＋a-x，其中a〉0，且a≠１,下面正確的運算公式是（）①S（ｘ＋ｙ)=S（x）Ｃ（y)+Ｃ（x)S(ｙ)；②Ｓ（x-y）=S（x)C（y)—C（x)S(ｙ)；③２S（x+y）＝S(x）C（y）+C（x）Ｓ(y);④2Ｓ(x－ｙ)＝S（x)C（y）－C(x)S（ｙ).Ａ.①②Ｂ.③④Ｃ.①④D。②③解:經(jīng)驗證易知①②錯誤．依題意,注意到２S（x+y)＝2(ax+y-a－x—y)，S（x)C(y）+C（x)S（ｙ）＝2（ax+ｙ-a—x－y）,因此有２Ｓ（x＋y）＝S（x）C（y)+Ｃ(x)S（y）;同理有２S(x—y）=S(x）Ｃ（y)—C（ｘ）S（y）。綜上所述，選Ｂ?！敬鸢浮緽二、填空題７．(2014·陜西高考）觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)（V）棱數(shù)(E）三棱柱５69五棱錐6610立方體6８１2猜想一般凸多面體中F,V，Ｅ所滿足的等式是________.解：觀察分析、歸納推理．觀察F，Ｖ，E的變化得Ｆ+V－E=2.【答案】Ｆ＋V－E＝28.(2014·安徽高考)如圖11.2-6，在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=2eq＼r（2）,過點A作BC的垂線，垂足為Ａ1，過點A１作ＡＣ的垂線,垂足為A2；過點A2作Ａ1C的垂線，垂足為Ａ3；…，依此類推，設(shè)BA＝a1,AA1＝a２，A1Ａ2=a３,…，A5A6＝a7，則a7＝＿___＿＿__。圖１１-2。6解：根據(jù)題意易得a1=2,a2=eq\ｒ（2），ａ3＝1,∴｛ａn｝構(gòu)成以a1=2,q＝eｑ\f(\r（2)，2)的等比數(shù)列，∴a７＝a1q6=2×eq＼b\lｃ\(\rc\）（\a\ｖs4＼ａl\cｏ1（\f(\ｒ（２)，2）））6=eq＼ｆ（１,4）．【答案】eq\f(１，4)9.二維空間中圓的一維測度(周長）l＝2πr，二維測度（面積)S=πr２,觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l;三維空間中球的二維測度（表面積）S＝4πr2，三維測度(體積)V=eq\f（４,３)πr３，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝Ｓ.則四維空間中“超球”的四維測度Ｗ＝２πr4，猜想其三維測度V＝_______＿．解:由已知，可得圓的一維測度為二維測度的導(dǎo)函數(shù)；球的二維測度是三維測度的導(dǎo)函數(shù)。類比上述結(jié)論,“超球”的三維測度是四維測度的導(dǎo)函數(shù)，即V＝W′=(2πr4）′=８πr３.【答案】８πr3三、解答題1０。（２012·福建高考）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①ｓiｎ２13°＋coｓ２17°-sin13°cos１7°；②ｓin２１5°+cos２1５°－sｉn15°cos１5°;③sｉn218°＋cos212°—ｓｉn18°ｃos12°;④ｓｉn2（-18°)＋cｏｓ2４8°-ｓｉn（-18°)cos４8°;⑤ｓin2(-25°)+cos255°－sin（—25°）ｃos55°．(1）試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);(２)根據(jù)(1）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解:（1）選擇②式，計算如下：ｓｉn２15°+cos215°－sin15°cｏs15°＝1－eｑ\f（1，2)sin３0°＝eq\f（3,4)．（2)歸納三角恒等式sin2α+ｃｏs２（3０°－α)－ｓinαｃos(30°—α）＝ｅq＼f(3,4）.證明如下:sin2α＋ｃos２（30°—α)－sinαcos（3０°-α）＝eq\f（1－cos2α,2）+eｑ＼f(1＋cos6０°－2α,2）—sinα（cos30°cosα＋ｓin３0°ｓinα）=eq\f(１,２)—eq\f（1,2）ｃos2α+eｑ\f(1,2)＋eq\f(1,2）（cｏs60°ｃos2α+sin６0°sin2α)—eq\ｆ（＼r(3)，2)sinαcosα－eｑ\f（1,2）sin2α＝eq\f(1,２）－ｅｑ\f(1,2)cos2α＋eq＼f（１，2)+eq＼f（1，4）ｃos2α＋eｑ\f(\r（3）,4）sin2α－eq\ｆ(＼ｒ(３),4)ｓｉn2α-eq＼f（1，4）（1－cｏs2α)=1－eq＼ｆ(１,4)cos2α－eq\f(１，4)＋eq\f（1,4）cos2α=eｑ\f（3,4）.1１.（2014·阜陽模擬)在Ｒt△AＢC中，ＡB⊥AＣ,AD⊥BC于D，求證:ｅq\f(1，AD2）＝eq\f（１，ＡＢ2)＋ｅｑ\f（１,AC２），那么在四面體ABCＤ中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.證明：如圖所示，由射影定理AD2＝ＢD·DC，AＢ2＝BD·BC,AC２＝BC·DＣ，∴eq\f(1,ＡＤ2)＝eq\f(1，BD·DC）=eq\f（BC2,BＤ·BC·DC·ＢC)=eq＼f（BＣ2，AB2·AＣ２）。又BＣ2＝AB2+AC2，∴ｅq\ｆ（1，ＡD2）=eq\f(AB2+ＡＣ2，AＢ２·AＣ２）=eq\f（1，AB2)+eq\f（1，AＣ2)。猜想，四面體ABCD中，ＡB、AC、AＤ兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq＼ｆ(1，AE2）=ｅq＼f（1,AB2）＋eq＼f(1,AC2)+eq\f（1，AＤ2).證明:如圖，連接BＥ并延長交CD于F,連接ＡF．∵AＢ⊥ＡC,ＡＢ⊥AD，∴AB⊥平面AＣD?！郃B⊥ＡF.在Ｒt△AＢF中,AE⊥ＢF，∴ｅq\ｆ(１，AE2）＝eq\ｆ（１，ＡB２）＋eq\ｆ(1,AF２）.∵AＢ⊥CD,AＥ⊥CD，∴CＤ⊥平面AＢF.在Rt△ACD中，ＡF⊥CD，∴eq\f（１,AF２)＝eｑ\f(1，AC２）+eq＼f（1，AD２）.∴eq\ｆ(1，AE2）＝eq\f(1,ＡB2)＋eｑ\ｆ(1,AC2)＋eq＼ｆ（1,AD2）,故猜想正確．1２．對于三次函數(shù)f(ｘ）＝ax3＋bｘ2＋cx+d(ａ≠0)，給出定義：設(shè)ｆ′（ｘ）是函數(shù)y=f(x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x)是f′(x）的導(dǎo)數(shù),若方程f″（x）＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x０,f(x0）)為函數(shù)y＝f(ｘ）的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點"；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f（ｘ)＝eｑ\f（１,３）ｘ3－ｅｑ＼f（1,2）x２+3x－eq\f（５，1２），請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)。(1)求函數(shù)f（ｘ）=ｅｑ＼f(1,3）x３—ｅq\ｆ（１，2)ｘ２+3x－eq\f（5，1２）的對稱中心；(2)計算fｅq＼b\lc\（\rｃ\)（\a＼vｓ４\al\co1(＼f(1，2０15））)+feq\b＼lc\(\rc\)（\a\vs4＼al\co1（\f(2,2０15）))+ｆeq\b\lc\（\rc\）(\ａ＼vs4\al＼cｏ1（＼f(３，２０15））)+feｑ\b\ｌｃ\(\ｒc\)（\a\ｖｓ4\ａl\co１(\f（4，2015）））＋…+ｆeq\b\ｌc\(\rｃ\)(\a＼ｖｓ４\al＼ｃo１(\f（2014，2015）)）解：（1)f′（x)=x2-ｘ+３,ｆ″（x)＝2x－1,由ｆ″（