江蘇省重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期四月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題及參考答案

江蘇省重點(diǎn)中學(xué)2023年春學(xué)期高二階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.2.現(xiàn)有4名男生，2名女生．從中選出3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（）A. B. C. D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，平面的法向量為，已知，則P到平面的距離等于（）A. B. C. D.4．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從這個(gè)數(shù)中任取個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率為（）A．B．C．D．5.在某場(chǎng)新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（

）A.

8種

B.

12種

C.

20種

D.

24種6.已知隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）A． B． C． D．ξ1234Pmn7．的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則該展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．5 B． C． D．1008．如圖已知矩形，沿對(duì)角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．二?多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分)近年來(lái)中國(guó)進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長(zhǎng)期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布和，則下列選項(xiàng)正確的是（）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在內(nèi)的概率是0.6827，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在內(nèi)的概率約為0.3413510.小明與另外2名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲，規(guī)則是：3人同時(shí)隨機(jī)等可能選擇手心或手背中的一種手勢(shì)，規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)多者每人得1分，其余每人得0分.現(xiàn)3人共進(jìn)行了4次游戲，每次游戲互不影響，記小明4次游戲得分之和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.每次游戲中小明得1分的概率是 B.的均值是2C.的均值是3 D.的方差是11.已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B.展開(kāi)式中第6項(xiàng)系數(shù)最大C.展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)D.展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為4512．如圖，在正四棱錐中，，，是的中點(diǎn)．設(shè)棱錐與棱錐的體積分別為，，與平面所成的角分別為，，則（）A.平面B.平面C.D.三、填空題（每題5分共20分）13.若隨機(jī)變量分布列如下表，且，則的值為_(kāi)_______.02已知，則___________.如圖，在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.若，則異面直線與所成角的余弦值為16．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去（每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀叮鐖D所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳四次之后停在A葉上的概率是_________四?解答題(本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.)17．“漸升數(shù)”是指除最高數(shù)位上的數(shù)字外，其余每一個(gè)數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如13456和35678都是五位“漸升數(shù)”）.（1）求五位“漸升數(shù)”的個(gè)數(shù)；（2）如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列，求第120個(gè)五位“漸升數(shù)”.18．若．(1)求的值；(2)求的值．19.小明下班回家途經(jīng)3個(gè)有紅綠燈的路口，交通法規(guī)定：若在路口遇到紅燈，需停車等待；若在路口沒(méi)遇到紅燈，則直接通過(guò).經(jīng)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)：他在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為，在第二、第三個(gè)道口遇到紅燈的概率依次減小，在三個(gè)道口都沒(méi)遇到紅燈的概率為，在三個(gè)道口都遇到紅燈的概率為，且他在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立.（1）求小明下班回家途中至少有一個(gè)道口遇到紅燈的概率；（2）求小明下班回家途中在第三個(gè)道口首次遇到紅燈的概率；（3）記為小明下班回家途中遇到紅燈的路口個(gè)數(shù)，求數(shù)學(xué)期望.20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E為的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）記的中點(diǎn)為N，若M在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)．21．某市舉辦了一次“詩(shī)詞大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，己知共有20000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).得分（百分制）[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]人數(shù)1020302515（1）規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率；（2）由樣本數(shù)據(jù)分析可知，該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替），且.利用該正態(tài)分布，估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于72分的人數(shù)；（3）預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：①參加復(fù)賽的學(xué)生的初始分都設(shè)置為100分；②參加復(fù)賽的學(xué)生可在答題前自己決定答題數(shù)量，每一題都需要“花”掉一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格（即用分?jǐn)?shù)來(lái)買答題資格），規(guī)定答第題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為；③每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)得0分；④答完題后參加復(fù)賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī).已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.75，且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立，則當(dāng)他的答題數(shù)量為多少時(shí)，他的復(fù)賽成績(jī)的期望值最大？參考數(shù)據(jù)：若，則，，22．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA＝PB＝3．（1）證明：∠PAD＝∠PBC；（2）當(dāng)直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角P—AB—C的大小．高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案二、多項(xiàng)選擇題題號(hào)9101112答案三、填空題題號(hào)13141516答案解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）個(gè)；（2）36789.【解析】（1）根據(jù)題意，“漸升數(shù)”中不能有0，則在其他9個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)，每種取法對(duì)應(yīng)1個(gè)“漸升數(shù)”，則五位“漸升數(shù)”共有（個(gè)）.（2）對(duì)于所有的五位“漸升數(shù)”，1在最高數(shù)位的有（個(gè)），2在最高數(shù)位的有（個(gè)），3在最高數(shù)位的有（個(gè)）.因?yàn)椋缘?20個(gè)五位“漸升數(shù)”是最高數(shù)位為3的最大的五位“漸升數(shù)”，為36789.18．【答案】(1)(2)(2)先觀察式子特征，注意到可進(jìn)行平方變形，然后根據(jù)時(shí)的值來(lái)計(jì)算最終結(jié)果.【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）∵，令，可得①，令，可得②，結(jié)合①②可得，．19.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）因?yàn)樾∶髟谌齻€(gè)道口都沒(méi)遇到紅燈的概率為，所以小明下班回家途中至少有一個(gè)道口遇到紅燈的概率為；（2）設(shè)第二、三個(gè)道口遇到紅燈的概率分別為，依題意解得或（舍去），所以小明下班回家途中在第三個(gè)道口首次遇到紅燈的概率；（3）的可能值為，，，，，分布列為【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件、對(duì)立事件概率關(guān)系，考查相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的概率，以及離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題.20．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2或【解析】（1）連接，∵，，∴且∴四邊形為平行四邊形；∵且E為的中點(diǎn)，∴，所以，∴，∴，即，又∵，∴平面（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取設(shè)，則，而，所以，∵平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則化簡(jiǎn)得，解得：或，滿足故線段的長(zhǎng)度為2或．21．【答案】（1）；（2）3173；（3）當(dāng)他的答題數(shù)量時(shí)，他的復(fù)賽成績(jī)的期望值最大.【解析】（1）由題意得樣本中成績(jī)不低于60分的學(xué)生共有40分，其中成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為15人，記“從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良”為事件，則答：“從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良”的概率為（2）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為：，則，由得，所以，所以，估計(jì)全市參加參賽的全體學(xué)生中，成績(jī)不低于72分的人數(shù)為20000×0.15865=3173，即全市參賽學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于72分的人數(shù)為3173.（3）以隨機(jī)變量表示甲答對(duì)的題數(shù)，則，且，記甲答完題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則，∴，依題意為了獲取答道題的資格，甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為：，設(shè)甲答完題后的復(fù)賽成績(jī)的期望值為，則，由于，所以當(dāng)時(shí)，取最大值104.9.即當(dāng)他的答題數(shù)量時(shí)，他的復(fù)賽成績(jī)的期望值最大.22．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA＝PB＝3．（1）證明：∠PAD＝∠PBC；（2）當(dāng)直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角P—AB—C的大?。猓海?）分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，因?yàn)镻A＝PB，所以PE⊥AB，又因?yàn)锳B∥CD，所以CD⊥PE，又因?yàn)镃D⊥EF，PE∩EF＝E，所以CD⊥平面PEF，因?yàn)镻F?平面PEF，所以CD⊥PF，在△PCD中，因?yàn)镻F垂直平分CD，所以PC＝PD，又因?yàn)镻A＝PB，AD＝BC，所以△PAD≌△PBC，從而可得∠PAD＝∠PBC；（2）由（1）可知，∠PEF是二面角P—AB—C的平面角，設(shè)，則，在△PEF中，，過(guò)點(diǎn)E作PF的垂線，垂足