第八篇第講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

第八篇第講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系第1頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考點(diǎn)梳理(1)公理1：如果一條直線上的_____在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過(guò)_______________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有_____公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．(4)公理2的三個(gè)推論：推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條_____直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條_____直線有且只有一個(gè)平面．1．平面的基本性質(zhì)兩點(diǎn)不在一條直線上一個(gè)相交平行第2頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．空間中兩直線的位置關(guān)系平行相交任何銳角(或直角)第3頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于___________的兩條直線互相平行．②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角___________．(1)直線與平面的位置關(guān)系有_____、_____、________三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有_____、_____兩種情況．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系同一條直線相等或互補(bǔ)相交平行在平面內(nèi)平行相交第4頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一個(gè)理解異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線不能確定任何一個(gè)平面，因此，異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．兩種判定方法異面直線的判定方法(1)判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩直線異面．【助學(xué)·微博】第5頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一A．空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D．梯形一定是平面圖形解析空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；經(jīng)過(guò)直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，C錯(cuò)；故D正確．答案

D考點(diǎn)自測(cè)1．下列命題是真命題的是

(

)．第6頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一A．異面

B．相交C．平行

D．異面或相交答案

DA．0 B．1 C．0或1 D．1或3答案

DA．60° B．120° C．30° D．60°或120°解析由等角定理可知β＝60°或120°.答案

D2．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是 (

)．3．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為 (

)．4．空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β為

(

)．第7頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)．答案

24第8頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【例1】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證： (1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面； (2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．

考向一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 [審題視點(diǎn)](1)由EF∥CD1可得； (2)先證CE與D1F相交于P，再證P∈AD.第9頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明

(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．第10頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

(1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題，一般有兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題，一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．第11頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．第12頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A1A和BC的中點(diǎn)為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．答案①②③第13頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．[審題視點(diǎn)]還原成正四面體來(lái)判斷．考向二空間中兩直線的位置關(guān)系【例2】?如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，第14頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④第15頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．第16頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【訓(xùn)練2】在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．第17頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．答案②④第18頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【例3】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1C1與B1C所成角的大??； (2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。枷蛉惷嬷本€所成角[審題視點(diǎn)](1)把A1C1平移到底面，再連AB1可求；(2)把A1C1平移到底面，連BD可求．第19頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解

(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°.第20頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

找異面直線所成的角的方法一般有三種找法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．第21頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【訓(xùn)練3】如圖，A是△BCD平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)． (1)求證：直線EF與BD是異面直線； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．

(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一