【經(jīng)典線代】線性代數(shù)第五章§1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性

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第五章相似矩陣及二次型§1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣與正交變換1.定義1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)(Innerproduct)

2.內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)施瓦茨不等式1.定義2

令長(zhǎng)度范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)(norm)解單位向量夾角2.１

正交的概念２

正交向量組的概念正交若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱(chēng)該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法(orthogonal)證明３

正交向量組的性質(zhì)定理1例1

已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.４

向量空間的正交基即解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.則有解５

規(guī)范正交基例如定義3同理可知６

求規(guī)范正交基的方法下面介紹施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）(2)單位化,取(1)正交化

,取，例２

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過(guò)程再單位化，得規(guī)范正交向量組如下例３解再把它們單位化，取解把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取定義4定理四、正交矩陣與正交變換

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．定義5

若為正交陣，則線性變換稱(chēng)為正交變換．性質(zhì)

正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變.(還有P118)證明解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和

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