第三講第二節(jié)凸函數與凹函數

第三講第二節(jié)凸函數與凹函數第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數嚴格凸函數設是非空凸集，若對任意的及任意的都有：則稱函數為上的嚴格凸函數。注：將上述定義中的不等式反向，可以得到嚴格凹函數的定義．第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數

對一元函數在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數表示連接函數圖形上任意兩點的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質表示在點處的函數值．

第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意兩點的函數值的連線上的點都在曲線的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.1第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一(a)凸函數(b)凹函數第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例：設試證明在上是嚴格凸函數．證明:設且都有：因此,在上是嚴格凸函數．凸函數第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例：試證線性函數是上的凸函數．證明:設則故,是凸函數．類似可以證明也是凹函數.凸函數第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數定理1設是凸集上的凸函數充要條件性質詹生(Jensen)不等式第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數定理2性質正線性組合第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一下面的圖形給出了凸函數的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一定理1:設是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數的充要條件是對任意的一元函數為上的凸函數.(2)設若在上為嚴格凸函數，則在上為嚴格凸函數．凸函數凸函數的判別定理第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一該定理的幾何意義是：凸函數上任意兩點之間的部分是一段向下凸的?。购瘮档?1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一定理4設在凸集上可微，則：在上為凸函數的充要條件是對任意的都有：嚴格凸函數(充要條件)??凸函數凸函數的判別定理---一階條件注：定理4提供了一個判別可微函數是否為凸

函數的依據.第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數定理4-----

幾何

解釋一個可微函數

是凸函數當且

僅當函數圖形

上任一點處的

切平面位于曲

面的下方.第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凸函數定理4-----

幾何

解釋一個可微函數

是凸函數當且

僅當函數圖形

上任一點處的

切平面位于曲

面的下方.第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一定理5:設在開凸集內二階可微,則是內的凸函數的充要條件為:對任意的Hesse矩陣半正定,其中：凸函數凸函數的判別定理---二階條件第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例：凸函數凸函數的判別定理---二階條件第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一凹函數凸集的上等值集，或者直觀