第二節(jié)離散性隨機變量及其分布

第二節(jié)離散性隨機變量及其分布第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律。從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例2.1且第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

1、定義設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為xk（k=1,2,…），稱X取各個可能值的概率，即事件｛X=xk｝的概率，

P｛X=xk｝=pk,（k=1,2,…）

為X的分布律或概率分布（Probabilitydistribution）。也可以表示為X

x1 x2 …

xk

… pk

p1 p2 … pk

…一、離散型隨機變量概率分布的定義第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率分布（1）

pk

0,k＝1,2,…;（2）

2.分布律的性質(zhì)例2.2

設(shè)隨機變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a

。第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解:

依據(jù)概率分布的性質(zhì):P{X=k}≥0,

a≥0從中解得。欲使上述函數(shù)為概率分布這里用到了冪級數(shù)展開式k=0,1,2,…,第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一3.利用分布律求事件概率離散型隨機變量的分布律不僅給出了{X=xk

}的概率，而且通過它可以求事件發(fā)生的概率。

由概率的有限可加性有第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.3設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只紅?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解：k可取值0，1，2，求抽得白球數(shù)至少為１的概率。?第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.4

某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的分布律。解：X可取0、1、2為值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且

P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一1.（0-1）分布若隨機變量X只取0和1，其分布律為P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,k＝0,1(0<p<1)則稱X服從參數(shù)為p的（0-1）分布(貝努利分布或兩點分布)

（Two-pointdistribution）。二、常見的離散型隨機變量的概率分布其分布律也可以寫成第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，常用0-1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等。應(yīng)用場合

200件產(chǎn)品中，有196件是正品，4件是次品，今從中隨機地抽取一件，若規(guī)定例2.5X=1,取到合格品0,取到不合格品則P{X=1}=196/200=0.98，P{X=0}=4/200=0.02，

故X服從參數(shù)為0.98的兩點分布。第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一若以X表示n重伯努利試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布（binomialdistribution）。記作X?b（n,p),

其分布律為：2.伯努利試驗、二項分布設(shè)將試驗獨立重復進行n次，每次試驗都只有兩種可能的結(jié)果A和，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗。第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

例2.6

從某大學到火車站途中有6個交通崗，假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立，并且遇到紅燈的概率都是1/3。（1）設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù)，求X的分布律。（2）求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解:（1）由題意，X～b(6,1/3),于是X的分布律為:第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.7

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解：設(shè)X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～b(400,0.02)，故,P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例2.8，見P35例2。第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一注:伯努利概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重伯努利試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。（3）各次試驗相互獨立。（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或A，

且P(A)=p，P(A)=1-p；

第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一二項分布b(n,p)和0-1分布之間的關(guān)系1.若X服從0-1分布，則X～

b(1,p)；2.把試驗E在相同條件下，相互獨立地進行n次，記X為n次獨立試驗中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，Xi為第i次試驗中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，則Xi

～

b(1,p)，且X=X1+X2++Xn~b(n,p)。

設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果：A和A。記p=P(A),0<p<1第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一3.

泊松(Poisson)分布定義

若離散型隨機變量X的分布律為P{X＝k}＝

,k＝0,1,2,…(0),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ)。易見第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.9

某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布。求：（1）一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率。

（2）一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。解：因為X~π(3)，所以X的分布律為

P{X=k}=(3k/k!)e-3,

k＝0,1,2,….則，（1）

P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240

（2）

P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解:例2.10

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率。

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布的圖形特點：X~p(l)第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的。泊松定理：對于二項分布b(n,p)，當n充分大，p又很小時，則對任意固定的非負整數(shù)k，有近似公式

P{X=k}=pk(1-p)n-k

≈

其中。第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一對例2.７用泊松定理，取

=np＝(400)(0.02)＝8，故近似地有P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}≈1－(1＋8)e－8＝0.996981。第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件，如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等。第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一對于離散型隨機變量，如果知道了它的概率分布,也就知道了該隨機變量取值的概率規(guī)律。在這個意義上，我們說離散型隨機變量由它的概率分布唯一確定。

兩點分布、二項分布、泊松分布第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一對非離散型隨機變量，其取值不是離散的，有時可以充滿整個區(qū)間，對于這種更一般的隨機變量，

我們感興趣的就不是它取到某個具體的數(shù)的概率，而是它的取值落在某一個區(qū)間上的概率，比如：P{x1<X

x2},P{X>a}。P{x1<X

x2}=P{X

x2}-P{X

x1},P{X>a}=1-P{X

a｝。為此我們引入隨機變量分布函數(shù)的概念。三隨機變量的分布函數(shù)第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數(shù)（Distributionfunction），記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}。易知，對任意實數(shù)a,b(a<b)，

P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a)。一、分布函數(shù)的概念第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一1.這里分布函數(shù)的定義對任何隨機變量都適用。2.分布函數(shù)F(x)＝P{Xx}是一個普通的函數(shù)，它的自變量是全體實數(shù)。掌握了X的分布函數(shù)就掌握了X在(－∞,+∞)上的概率分布情況。

注:

第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一1、單調(diào)不減性：

若x1<x2，則F(x1)F(x2);3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，二、分布函數(shù)的性質(zhì)2、歸一性：

對任意實數(shù)x，0F(x)1，且這三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.11設(shè)隨機變量X具分布律如右表，試求出X的分布函數(shù)及P{X≤1},P{0.5<X≤1.5},P{1≤X≤2}。解：

X012Pk0.10.60.3第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一P{X≤1}=F(1)=0.7,

P{0.5<X≤1.5}=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P{1≤X≤2}=F(2)-F(1)+P{X=1}=1-0.7+0.6=0.9第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2.12向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐