追與和相遇問題

２．追及相遇問題解題指導(dǎo)：解題關(guān)鍵條件——追及物體與被追及物體速度相等（1）類型及追及的條件①初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體追趕同向勻速（或勻減速）直線運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，追上之前兩者距離最大的條件為：追及者的速度等于被追及者的速度．第一頁，共19頁。情境設(shè)置

例題1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車?！舅伎挤治觥?．汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？分析：汽車追上自行車之前，

v汽<v自時(shí)△x變大

v汽=v自時(shí)△x最大

v汽>v自時(shí)△x變小結(jié)論：初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追及同向勻速物體時(shí)，追上前具有最大距離的條件：兩者速度相等第二頁，共19頁。一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車?！舅伎挤治觥?．汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？解法一物理分析法兩者速度相等時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)。

（速度關(guān)系）

v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3

×22/2=6m第三頁，共19頁。一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車?！舅伎挤治觥?．汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？解法二用數(shù)學(xué)求極值方法來求解設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移關(guān)系）∴△x=6t－3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知t=－b/2a=6/3s=2s時(shí)，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3

×22/2=6m第四頁，共19頁。一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車?！舅伎挤治觥?．汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？解法三用圖象求解v/（ms-1）1260t/s42V汽V自t=v自/a=6/3=2s在相遇之前，在t時(shí)刻兩車速度相等時(shí)，自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以第五頁，共19頁。一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車。v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自2．什么時(shí)候汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？方法2：由圖可看出，在t時(shí)刻以后，由v自線與v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，t′=2t=4sv′=2v自=12m/s解：方法1：汽車追上自行車時(shí)，

二車位移相等（位移關(guān)系）則vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s

第六頁，共19頁。②勻速運(yùn)動(dòng)的物體追趕同向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體，追趕時(shí)兩者距離最?。òㄗ芳埃┑臈l件為：追趕者的速度等于被追趕者的速度．例2、一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距x0為25m處，某人同時(shí)開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。情境設(shè)置

第七頁，共19頁。例2、一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距x0為25m處，某人同時(shí)開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。解析：依題意，人與車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，設(shè)為t,當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系為：x車+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，則可追上；若無解，則不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0所以，人追不上車。X0=25mv=6m/sa=1m/s2第八頁，共19頁。

在剛開始追車時(shí)，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減?。划?dāng)車速大于人的速度時(shí)，人車間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車速度相等時(shí)，兩者間距離最小。at′=v人t′=6s在這段時(shí)間里，人、車的位移分別為：x人=v人t=6×6=36mx車=at′2/2=1×62/2=18m△x=x0+x車－x人=25+18－36=7m第九頁，共19頁。結(jié)論：速度大者減速追趕速度小者,追上前在兩個(gè)物體速度相等時(shí),有最小距離.即必須在此之前追上,否則就不能追上.第十頁，共19頁。解析：作汽車與人的運(yùn)動(dòng)草圖如下圖甲和v-t圖象如下圖乙所示．因v-t圖象不能看出物體運(yùn)動(dòng)的初位置，故在圖乙中標(biāo)上兩物體的前、后．由圖乙可知：在0～6s時(shí)間內(nèi)后面的人速度大，運(yùn)動(dòng)得快；前面的汽車運(yùn)動(dòng)得慢．即0～6s內(nèi)兩者間距越來越近．因而速度相等時(shí)兩者的位置關(guān)系，是判斷人能否追上汽車的條件．圖甲圖乙△x要追上△x>x0第十一頁，共19頁。由v＝at，得t＝v/a＝6s．故人能否追上汽車取決于t＝6s時(shí)人與車分別運(yùn)動(dòng)的位移之差是否大于或等于二者開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大距離．因?yàn)棣=vt-1/2at2＝18m，看出Δx<x0．所以人追不上汽車.那么人與汽車的最小距離為xmin＝x0-Δx＝7m．答案：人追不上汽車，人與汽車最小距離為7m第十二頁，共19頁。注意：

分析相遇問題時(shí)，一定要分析所需滿足的兩個(gè)關(guān)系：

1.兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系;2.兩個(gè)物體相遇時(shí)必須處于同一位置。即：兩個(gè)物體的位移關(guān)系

第十三頁，共19頁。例題3：經(jīng)檢測(cè)汽車A的制動(dòng)性能：以標(biāo)準(zhǔn)速度20m/s在平直公路上行使時(shí)，制動(dòng)后40s停下來?，F(xiàn)A在平直公路上以20m/s的速度行使發(fā)現(xiàn)前方180m處有一貨車B以6m/s的速度同向勻速行使，司機(jī)立即制動(dòng)，能否發(fā)生撞車事故？

VtO6B20AS40S=196m>180m③勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體追趕同向勻速（或勻加速）直線運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，恰好追上（或恰好追不上）的臨界條件為：即追尾時(shí)，追及者速度等于被追及者速度.當(dāng)追及者速度大于被追及者速度，能追上，反之追不上．v汽=20m/sV貨=6m/s180m追上處a=-0.5m/s2第十四頁，共19頁。題型訓(xùn)練３．為檢測(cè)汽車Ａ的制動(dòng)性能：以標(biāo)準(zhǔn)速度20m/s在平直公路上行駛時(shí)，制動(dòng)后40s可停下來.現(xiàn)Ａ在平直公路上以20m/s的速度行使，發(fā)現(xiàn)前方180m處有一貨車Ｂ以6m/s的速度同向勻速行使，司機(jī)立即制動(dòng)，會(huì)不會(huì)發(fā)生撞車事故？解析：這是典型的追及問題，關(guān)鍵是要弄清不相撞的條件．汽車A與貨車B同速時(shí)，兩車位移差和初始時(shí)刻兩車距離關(guān)系是判斷兩車會(huì)否相撞的依據(jù)．當(dāng)兩車同速時(shí)，兩車位移差大于初始時(shí)刻的距離時(shí)，兩車相撞；小于、等于時(shí)，則不相撞.先計(jì)算Ａ車的加速度a==-0.5m/s2,在追及的過程，Ａ車減速至v=6m/s的時(shí)間第十五頁，共19頁。在這段時(shí)間內(nèi)，sA=v0t′＋at′2=364m，sＢ=vt′＝168msA-sＢ=196m＞180m，所以兩車相撞.另外，本題也可以用不等式求解：設(shè)在t時(shí)刻兩物體相遇，則有：v0t＋at2=180+vBt即:20t-×0.5t2=180+6t整理得：t2-56t+720=0．因?yàn)棣?562-4×720=256>0，所以兩車相撞.答案：會(huì)發(fā)生撞車事故第十六頁，共19頁。追及問題中的臨界條件:⑴速度小者追速度大者,追上前兩個(gè)物體速度相等時(shí),有最大距離;⑵速度大者減速追趕速度小者,追上前在兩個(gè)物體速度相等時(shí),有最小距離.即必須在此之前追上,否則就不能追上.第十七頁，共19頁。小結(jié)：追及和相遇問題的分析方法分析兩物體運(yùn)動(dòng)過程，畫運(yùn)動(dòng)示意圖由示意圖找兩物體位移關(guān)系據(jù)物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)列(含有時(shí)間的)位移方程第十八頁，共19頁。分析追及和相遇問題時(shí)要注意：1.一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系（1）一個(gè)條件是兩個(gè)物體速度相等時(shí)滿足的臨界條件，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。（2）兩個(gè)關(guān)系