第三節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

第三節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面的性質(zhì)下列命題：①空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同一直線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是________．(把所有正確命題的序號(hào)都寫(xiě)上)第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分析根據(jù)公理及推論作判斷．第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解①，②中的三點(diǎn)可能共線，故不能確定平面．③中的直線可能交于一點(diǎn)，故不能確定平面．⑤，⑧中的四邊形可能為空間四邊形．⑥，⑦中的兩直線可能異面．應(yīng)填④.第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

規(guī)律總結(jié)解決此類(lèi)問(wèn)題首先要理解平面的基本性質(zhì)，在判斷的過(guò)程中若要說(shuō)明命題不正確，只要舉出一個(gè)反例即可．若要說(shuō)明一個(gè)命題正確，則要給出證明，即說(shuō)明問(wèn)題符合確定平面的公理或判斷直線位置關(guān)系的條件．第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一變式訓(xùn)練1下列命題：①和直線a都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一個(gè)平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3【解析】

①中的直線可以為異面直線；②中三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線可不在同一個(gè)平面內(nèi)；③中，若三點(diǎn)共線，則兩平面可以相交；④兩兩平行的三條直線，可能共面．故正確的個(gè)數(shù)為0.【答案】

A第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示，平面ABD∩平面BCD＝直線BD，M、N、P、Q分別為線段AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，四邊形MNPQ是以PN、QM為腰的梯形．求證：三直線BD、MQ、NP共點(diǎn)．共點(diǎn)、共線和共面問(wèn)題

第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分析先證兩直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)在第三條直線上．第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明

∵四邊形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，∴直線MQ、NP必相交于某一點(diǎn)O.∵O∈直線MQ，直線MQ?平面ABD，∴O∈平面ABD.同理，O∈平面BCD，又∵平面ABD∩平面BCD＝直線BD，∴O∈直線BD，從而三直線BD、MQ、NP共點(diǎn)．

第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

規(guī)律總結(jié)

由已知條件，直線MQ、NP必相交于一點(diǎn)O，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證點(diǎn)O在直線BD上．由公理3，就是要尋找兩個(gè)平面，使直線BD是這兩個(gè)平面的交線，同時(shí)點(diǎn)O是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可．“三點(diǎn)共線”及“三線共點(diǎn)”的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線上”的問(wèn)題．第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一變式訓(xùn)練２已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【證明】∵E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，

∴四邊形EFGH為梯形，兩腰EF、GH必交于一點(diǎn)P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，∴P在平面ADC和平面ABC的交線AC上，故三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分析

先由公理確定一個(gè)平面，再證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，則四點(diǎn)共線．

第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個(gè)平面β.又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．∵不重合的兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一規(guī)律總結(jié)

在立體幾何中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理3，即先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，又由于這些點(diǎn)都在兩平面的交線上，因此證明點(diǎn)共線．第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

變式訓(xùn)練３已知，如圖所示，△ABC的三邊AB、BC、AC的延長(zhǎng)線分別與平面α相交于E、F、G.求證：E、F、G三點(diǎn)共線．第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【證明】

∵AB∩α＝E，BC∩α＝F，連接E，F(xiàn)，則EF?α.∵EF?平面ABC，∴α∩平面ABC＝EF.又∵AC∩α＝G，∴G∈α，G∈平面ABC，即G為α與平面ABC的公共點(diǎn)，∴G∈EF，即E、F、G三點(diǎn)共線．第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(12分)已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

分析分有三線共點(diǎn)和無(wú)三線共點(diǎn)兩種情形．先確定一個(gè)平面，然后證明其余直線在該平面內(nèi)．證明

(1)若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)A，但A?d，如圖所示．∴直線d和A確定一個(gè)平面α.3分又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則A，E，F(xiàn)，G∈α.∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α.同理可證b?α，c?α.∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi).6分第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖所示．∵這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面α.設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則H，K∈α.又H，K∈c，∴c?α.同理可證d?α.∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi).12分第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一規(guī)律總結(jié)證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理2，由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況．因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義．第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

變式訓(xùn)練４已知：如圖，a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B.求證：a，b，l三線共面．第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【證明】∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.∵A∈a，a?α，∴A∈α，同理B∈α，由公理1有：l?α，∴a，b，l三線共面于α.第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1．三個(gè)公理的理解(1)公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線上所有點(diǎn)都在面內(nèi)”．這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀點(diǎn)：一是整條直線在平面內(nèi)，二是直線上所有點(diǎn)在平面內(nèi)．其作用是：可判定直線是否在平面內(nèi)、點(diǎn)是否在平面內(nèi)．第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)公理2主要用來(lái)確定一個(gè)平面，或證明“點(diǎn)線共面”．(3)公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系，它的條件簡(jiǎn)而言之是“兩面共一點(diǎn)”，結(jié)論是“兩面共一線，且過(guò)這一點(diǎn)，線唯一”．對(duì)于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)，對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線．其作用是：其一，它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線；其二，它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上．第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．公理2的三個(gè)推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．其應(yīng)用是：公理2和三個(gè)推論是確定平面的理論依據(jù)，也是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的依據(jù)之一．第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．關(guān)于異面直線(1)異面直線是既不平行又不相交的兩條直線．(2)異面直線所成角的判斷和求解平移法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得．第28頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．相交B．異面C．平行D．相交或異面錯(cuò)解選B

第29頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一錯(cuò)解分析

本題中沒(méi)有限制交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，解答時(shí)只考慮到有四個(gè)交點(diǎn)的情形，沒(méi)有想到有三個(gè)交點(diǎn)的情形．避免出錯(cuò)