2023年高考第一次模擬卷數(shù)學（甲卷理科）（全解全析）

2023年高考第一次模擬考試卷

數(shù)學全解全所

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、單選題

1.已知集合。={1,2,3,4,36},A={1,2,3},3={2,3,4,5},則(QA)nS)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6}

【答案】A

【詳解】解：由題意，CVA={4,5,6},QB={l(6),(CyA)n(QB)={6},

故選：A.

2.若2=-l+2i(“eR,i為虛數(shù)單位)，則|a-i|=()

A.2V2B.VioC.5/5D.y/2

【答案】B

【詳解】因為詈=-l+2i,故a+i=(l+i)(-l+2i)=—3+i,故”=一3,

貝I］卜_i|=卜3-i|=歷［=M

故選：B.

3.北斗導航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古

是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天磯、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光,

其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機選兩顆進行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中

的概率為()

【答案】B

【詳解】因為玉衡和天權(quán)都沒有被選中的概率為P=*=當，

所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為1-￡=工.

故選：B.

4.若平面向量￡與另的夾角為60,同=2,W=l，則*2q=

A.73B.20.C.1D.2

【答案】D

【詳解】\a-24>|=\Ja2-4a-b+4b2=^4-4x2xlx^+4x]=2,故選D.

考點：向量的模

5.已知A（0,2）,B（r,0）（r<0）,動點C在曲線T：/=4A:（0<X<1）±,若△ABC面積的最小值為1,貝/

不可能為（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】D

【詳解】設《￡■,為）,因為問0』，所以問―2,2],即％目一2,2].

直線48的方程為：+]=1,即2x+（y-2f=0（r<0）.

22

因為%e[-2,2],r<0,所以等+a-2f=/+(%—2)f>0.

%2

則點C到直線A8的距離為“2+%-2?安a-2"

d=---------——=---

+4〃+4

因為A(0,2),8&0),所以|48|=爐

所以“產(chǎn)

2

2

當f-U時勺-4%+8

可得當先=2時，設—）由=1，符合題意;

可得當先=2時，（S&Bc）gn=l,符合題意；

當T時，%…與?+問

可得當先=2時，（5^）^=1,符合題意；

所以〃x）在（-8,-⑹和（丘行）上單調(diào)遞增，在卜屈0）上單調(diào)遞減，則/（X）在x=_立處取得極大

值，在工=正處取得極小值，故AD錯；

故選：B.

8.已知數(shù)列｛4｝滿足：Vm,〃eN*,*,=4"+4.若％82=2022,則4=（）

A.1B.2C.3D.2022

【答案】A

【詳解】令機=1，則%+1=4+?！?/p>

故一一%=4，：/為常數(shù),

故數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列

aa=ad

■-n+\-n\=

/乜=q+（2022-1）4=2022a,=2022

4=1

故選：A.

9.已知直線/：or+by=l.若/上有且僅有一點P,使得以點P為圓心，1為半徑的圓過原點O,則“-6的

最大值為（）

A.y/2B.2&C.2D.1

【答案】A

【詳解】由題意可知，1。尸1=1,

10+0-11,

?.?尸點有且僅有一個，到直線/的距離為1,即耳+〃=1，即

a=cos。/八、

設(0<0<2兀),\)\\\a-b=cos0-sin^=\/2sin(j<丘,

0=sin。

當且僅當s喉叫?，即十71哇兀,八：兀，

424

a=——

即《2時，等號成立，故。一人最大值為應.

公立

12

故選:A.

10.在正四棱臺A5CZ）-A8CIA中，AB=2A4,當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表

面積為（）

33萬57幾

A.--B.33萬C.---D.57%

22

【答案】D

,則O}M=l+x,

2+3=0上一動點,

由1+5=3,可得p=4,

故選：B

。的大小順序為()

B.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

1n/

【詳解】令/(*)=貯，則a=/(9)=T~,h=f(e)=—,c=/(3)=笄

x3ee3

~3

而廣(幻=—1—I—nX且x＞0,即0＜x＜e時/(幻單調(diào)增，時/⑶單調(diào)減，又1＜/幺＜e＜3,

x3

.h>Crb>a.

若，=見土有兩個解N，/，則1＜七＜6＜々，^G(0,-),

xe

即,=3些回

了2一%-t

令g(x)=]nx-等(0),則8,。)=黑號＞。，即g(x)在M)上遞增,

2(x-Dx.In-Inx,22t_.

：.g(x)>g(l)=O,即在(1,叱)匕l(fā)nx>-^—若》=二即一2-->-----,-----，有±x,>e2

x+1x2-%1x2+%|Inx{x2

22

.?.當/=3時,e>石吟，故吟)<f(辦)=〃3),

綜上：h>c>a.

故選：A

二、填空題

13.若定義在R上的偶函數(shù)〃x)和奇函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=e*,則g(x)的解析式為

g(x)=___________.

【答案】q二

【詳解】由題意得:/(-x)+^(-x)=e-\即“X)-g(x)=尸①,/(x)+g(x)=e，②，②-①得：

2g(x)=e*—e\解得:8⑺二濘二.

故答案為：甘二

14.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)學九章》的"田域類"中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三

里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,

15里，求三角形沙田的面積.請問此田面積為____平方里.

【答案】84

【詳解】山題意畫出圖象：

在△ABC中，由余弦定理得，

cAB2+BC2-AC2132+142-1525

-2ABBC-2x13x14-13'

_______12

所以sinB=71-co52B=—?

11|2

則該沙田的面積：即aABC的面積S=-AB?BC?sinB=-xl3xl4x—=84.

2213

故答案為84.

15.已知函數(shù)/(x)=sinx+x,在點6,/創(chuàng)處的切線與直線/：依+勿-1=。平行，則，的值為

【答案】T

【詳解】因為解x)=sinx+x,所以/'(x)=cosx+l,

所以韋＞喈+1=1，即函數(shù)“X)在點，，/圖)處切線的斜率為1，

因為切線與直線/平行，所以-?=1,即2=-1.

ba

故答案為：-1

16.已知函數(shù)〃x)=(l—Y)(a—x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，若”,々目九可，使得

（X|-w）[/（X1）-/（%2）]<。，則/（加）一/（〃）的最大值是______

【答案】四叵#噂6

99

【詳解】“X）關(guān)于點（1,0）中心對稱，

y=（l2）（a-x）

所以,r,21r/，

-y=[l-（2-xX）j[a-（2-x）]

'32

-y=-x+ax"+x-a

-y=-x3+（6-<7）X2+（4<2-ll）x+6-3?

4=6-。

所以l=4a-ll,解得〃=3,

-a=6-3a

f（x）=（1-x2）（3-x）=x3-3x2-x+3,

/'（x）=3x2—6X—1,令/'（x）=0解得%=1一亞,々=1+亞，

C1

%+x2=2,x,x2=——,

所以/（x）在區(qū)間[%，引J'（力<0J（X）遞減;

在區(qū)間（Y0,與卜（孫+00卜/'（另>0,/（另遞增，

所以/（X）的極大值是〃與），極小值是〃天），

依題意內(nèi),々€[〃?,〃],使得（3-々）[/（王）-/（%）]<0,

所以[m,n]是/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，

所以./■（〃，）—“〃）的最大值是/（內(nèi)）-〃芻）

——3%2—X1+3—（x；—3%2一X]+3）

=一石—+3后—Xj+X）

=（公-々）｛（耳+*2丫一為*2-3（%+々）-1]

4月（8、3273

=---------=------.

3｛3）9

故答案為：四叵

9

三、解答題

17.已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和S“滿足S“=2a?-2（neN*）.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵令2=4-4〃，求數(shù)列｛卜｝的前"項和7；.

【答案】⑴。,,=2"

（2）1=詈+"-8

【詳解】（1）當〃=1,S[=4=2%-2,故4=2,

因為S“=2a,,-2,當“22時,S?,t=2an_1-2,

兩式相減得：S,,-S,-=q=2??-2a,-,即=2a,i,

故數(shù)列｛??｝為等比數(shù)列，公比4=2,

所以4=2X2"T=2".

n

(2)hn=an-4n=2-4n,

故就2〃一4九=1--j

T2〃-2

123?+合①'

令H.=F+F+7+"

1?123nz-s

2"=^+T￥2^?'

①-②得

11n

---7H--r+…--------r

22T2°2'222"22"~'

n+2

一--=4-

2“-i

2

n+2

即

乩=8—2“一2

18.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得。分，沒有平局.三

個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,

各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

⑴求甲學校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6；

⑵分布列見解析，E（X）=13.

【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為AB,C,所以甲學校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P[ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4義0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0,04=0.6.

（2）依題可知,X的可能取值為0,220,30,所以,

p（x=0）=0.5x04x0.8=0.16,

X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0,2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+3()x0.06=13.

19.如圖，在三棱錐S-A8C中，底面43c為直角三角形，且NA8C=90,SAL底面ABC,且&4=A8,

點M是SB的中點，4VLsc且交SC于點N.

(1)求證：SCJ■平面AMN

(2)當=時，求二面角N-M4-C的余弦值.

【詳解】(1)

因為SA，底面ABC,BCu底面A3C,所以SA，BC

BCJ.SA

BCLAB

SAcAB=A,=BC_L平面SAB

SAu平面SAB

ABu平面SAB

又AMu平面SAB,所以BCA.AM.

因為SA=AB,M是SB的中點，所以AM_LSB

AM1SB

AMIBC

SBcBC=B?nAM_L_平面SBC

SBu平面SBC

BCu平面SBC

又SCu平面SBC,所以AMLSC

SCLAN

SCIAM

ANnAM-A，=5(?_1_平面4知/7

ANu平面AMN

AMu平面AMN

(2)如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系

設AB=SA=1,則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),S(0,0,1),

AM=F,0,i),AC=(l,l,0)

22

設平面ACM的一個法向量為n=(x,y,z)

x+y=0

ACn=0

則一即，11“取萬

AM5=0-x+-z=0

122

設M（Xi，y）,N（x2,y2）

y=kx-\

則—2>2=>（1-J12）X2+2AX-5=0

-------1

44

1-八0

玉+x2

所以A=4）t2-4（l-jl2）-（-5）>0,則-l<Zvl,且，

-5中2=

X.X=---7<0

19■\-k2

2-4X

所以|MN|=y1l+k\x,-x2\=+7T^=-

/、/、fy=Ax-111

設尸（后，必），。（七，乂），由上得■，同理，X4=-~-

Ij=xk-1Z+l

所以|PQl=7i7F|七一引=

2&+/x，5-4d

所以，=黑=------——=&4kz,其中，

IMNI2y/l+k2

1-k2

因為J5-4*w(l,括］,故2的取值范圍是(1,石］

21.已知函數(shù)f(x)=￡x4-tu?-6x(a,Z?eRMNO)

⑴若b=0,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x°eR,使得/5+x)=〃Xo-x),設函數(shù)y=〃x)的圖像與x軸的交點從左到右分別為A,B,

C,D,證明：點B,C分別是線段AC和線段8。的黃金分割點.(注：若線段上的點將線段分割成兩部

分，且其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，則稱此點為該線段的黃金分割點)

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【詳解】（1）因為

所以/'（犬）=加（工一3）.

①當a>0時，由，4勾>0解得x>3,由/'（“<0解得x<3,

所以/（x）在（—,3）上單調(diào)遞減，在（3,抬）上單調(diào)遞增；

②當“<0時，由力^耳〉。解得x<3,由/'（“<0解得x>3,

所以/（x）在（田,3）上單調(diào)遞增，在（3,內(nèi)）上單調(diào)遞減.

綜上可知：當。>0時;f（x）在（—,3）上單調(diào)遞減，在（3,內(nèi)）上單調(diào)遞增;

"0時，“X）在（—,3）上單調(diào)遞增，在（3,內(nèi)）上單調(diào)遞減.

（2）若存在x°eR,使得/（毛+可=/（毛-力，

則?工0+X?一。(工0+x)3-Z?(X+X)=—(X-43

Oox)-a(x0-x)-b(x0-x),

222

得0\）工［（玉）+X）+（玉）_X）〔一2ax［（玉）+X）+（x（）-X）+（演）+x）（x0-x）J-2bx=0,

得”（x；+Y）-a（3x；+犬）-Z?=。對任意%恒成立,

即辦2（為一］）+X_33-b=0對任意x恒成立，

=1

所以

ax^-3or；-b-0

所以幺=-2；

a

代入得〃X)=d+2x),

由/(x)=?？傻?6-4x2+8)=0.

因為函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于X=1對稱，所以有

x（x-2）（x,-2x-4）=0,得4=1-石，4=0,xc=2,而=1+石,

MlABBCCDBC

所15r以而=就'正=而

所以點B,C分別是線段AC和8。的黃金分割點.

1

x=——t

2

22.在平面直角坐標系xOy中，已知直線：/：r-（，為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，式軸正半軸

y=2+——t