否命題與命題的否定

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否命題與命題的否定

盧敏

摘要：否命題與命題的否定是兩個比較簡單混淆的概念，也是高中規(guī)律學(xué)的重要部分，本文將對否命題與命題的否定進(jìn)行一下辨析。

命題“若p則q〞的否命題是“若p則q〞，即對命題的題設(shè)與結(jié)論同時否定，例如：

①命題：（所有）質(zhì)數(shù)不都是奇數(shù)（真）；否定形式：（所有）質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)（假）；否命題：有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)（真）。

②命題：面積相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面積相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命題：面積不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。

四、“或〞、“且〞連結(jié)的命題的否定形式“p或q〞的否定是“非p且非q〞；“p且q〞的否定形式是“非p或非q〞。它類似于集合中的“CU(AB)(CUA)(CUB)、CU(AB)(CUA)(CUB)〞，如“實(shí)數(shù)，而不是“x與y都不為零〞；“實(shí)x與y均為零〞的否定是“x與y中至少有一個不為零〞數(shù)x與y中至少有一個為零〞的否定是“x與y均為零〞。

六、命題中關(guān)鍵詞的否定表

七、含有一個量詞的命題的否定

含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱命題p：xM,p(x)，它的否定p：xM,p(x)全稱命題的否定是存在性命題。

含有一個量詞的存在性命題的否定，有下面的結(jié)論：

存在性命題p：xM,p(x)，它的否定：p：xM,p(x)存在性命題的否定是全稱命題八、典型例題剖析

例1寫出命題“若m≤2或n≤3，則mn≤5〞的否命題錯解一：否命題為“若m≤2或n≤3，則mn5〞錯解二：否命題為“若m2或n3，則mn5〞。

錯解剖析：這兩種結(jié)論都是錯誤的，在寫否命題時，首先要分清是“否命題〞還是“命題的否定〞?！胺衩}〞是對條件與結(jié)論分別否定，而“命題的否定〞是只對結(jié)論的否定。即若原命題為AB，那么它的否命題是非A非B，而命題的否定是A非B。其次要注意對“且〞與“或〞的否定。一般來說，“且〞的否定是“或〞，而“或〞的否定是“且〞。

正解：原命題的否命題為：

若m2且n3，則mn5。

例2寫出以下命題的否定，并判斷其真假

2

（1）p：xR，xx

1

≥0；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：xR，4

（4）s：至少有一個實(shí)數(shù)x，使x210。x22x2≤0；

1

0。（假）41122

這是由于xR，xx(x)≥0恒成立；

42

（2）q：至少存在一個正方形不是矩形。（假）

2解：（1）p：xR，xx

（3）r：xR，x22x20。（真）

這是由于，xR，x22x2(x1)21≥00成立。

2

例3已知命題p：存在一個實(shí)數(shù)x，使得xx20，寫出p。

2

分析：命題p有兩種答案：（1）存在一個實(shí)數(shù)x，使得xx2≥0；或（2）不存

在一個實(shí)數(shù)x，使得x2x20。這兩個答案哪一種正確？

22解：由xx201x2。故原命題p是真命題。又x3時，xx20，

所以分析中答案（1）也是真命題。而p與p的真假性相反，所以（1）是錯誤的。

2答案（2）是正確的。事實(shí)上，我們不妨把命題p改寫成：若一個不等式是xx20，

則存在一個實(shí)數(shù)x使這個不等式成立。由此可知，答案（2）才是否定了命題p的結(jié)論，得到了“p〞。

2

例4寫出命題“若x1，則x2x10〞的否定和否命題。

22

解：命題“若x1，則x2x10〞的否定為“若x1，則x2x1≤0〞；否

2

命題為：若x1，則x2x1≤0。

例5原命題：①若一個三角形為銳角三角形，則它的三個角都為銳角；②菱形的對角線相互垂直；③面積相等的三角形是全等三角形，寫出原命題的否定和否命題。

解：①原命題的否定：若一個三角形為銳角三角形，則它的三個內(nèi)角不都為銳角。原命題的否命題為：若以個三角形不為銳角三角形，則它的三個內(nèi)角不都為銳角。②原命題的否定：菱形的對角線不相互垂直。原命題的否命題為：非菱形的四邊形的對角線不相互垂直。③原命題的否定：面積相等的三角形不是全等三角形。原命題的否命題為：面積不相等的三角形不是全等三角形。

例6寫出以下命題的否命題。

2

（1）若m0，則關(guān)于x的方程xxm0有實(shí)數(shù)根；

（2）若x,y都是奇數(shù)，則xy是奇數(shù)；

（3）若abc0則a,b,c中至少有一個為0；（4）當(dāng)c0時，若ab，則acbc。解：原命題的否命題分別是：

（1）若m