2022-2023學(xué)年河北省保定市高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．2．如果實數(shù)滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．3．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．5．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．26．設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q7．網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．48．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．9．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．1311．本次模擬考試結(jié)束后，班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種12．近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途，隨機抽取了名大學(xué)生進行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；②可以估計不足的大學(xué)生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為________．14．在等差數(shù)列（）中，若，，則的值是______.15．?dāng)?shù)列滿足遞推公式，且，則___________.16．記為數(shù)列的前項和，若，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數(shù)，且，求證:．18．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.19．（12分）已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實數(shù)和a的值（3）證明22．（10分）為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

解：當(dāng)直線過點時，最大，故選B3、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，可得，所對應(yīng)的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

以BC的中點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運用向量的坐標(biāo)表示，求得點A的軌跡，進而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

解：因為P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C7、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長度如上圖所以所以所以故選：A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.8、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算的能力，是一道中檔題.9、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，可求得點的坐標(biāo)，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.10、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，，故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷，計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程，且點D恒在圓E外，即圓E上存在點，使得，則當(dāng)與圓E相切時，此時，由此列出不等式，即可求解?！驹斀狻坑深}意可得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，，設(shè)，則，，又，所以圓是以為圓心，4為半徑的圓，所以點恒在圓外．圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，即圓上存在點，使得，設(shè)過點的兩直線分別切圓于點，要滿足題意，則，所以，整理得，解得，故實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程，把圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，轉(zhuǎn)化為圓上存在點，使得是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。14、-15【解析】

是等差數(shù)列，則有，可得的值，再由可得，計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，又，，，故.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，也可以由已知條件求出和公差，再計算.15、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得，依次寫出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16、-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以。故答案為：【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】試題分析：把不等式的左邊寫成形式，利用柯西不等式即證．試題解析：證明：∵，又，∴考點：柯西不等式18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導(dǎo)出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標(biāo)原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結(jié)，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）由條件建立關(guān)于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項可求得，得出結(jié)論.【詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè),聯(lián)立消元得，設(shè)，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題，當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.20、（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，所以，解得.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時，可得①，②②①得，，則有，即，，.因為，由①得，，所以，所以，.所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項，使得對任意，都有，即對任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當(dāng)，時，，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時，.因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，.所以當(dāng)，時，.再次證明.（iii）若時，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時，因為，，所以對任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè).【點睛】本題考查求等比數(shù)列通項公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推理能力.21、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，令，則有，由，可得，可知當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，由已知得，即，①由可得，，②聯(lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單