2023年北京市中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)題精選提分專練六特殊四邊形相關(guān)的計(jì)算與證明

提分專練(六)特殊四邊形相關(guān)的計(jì)算與證明(18年21題,17年20題)|類型1|平行四邊形的判定+線段長度1.[2023·通州一模]如圖T6-1,四邊形ABCD的對角線AC⊥BD于點(diǎn)E,AB=BC,F為四邊形ABCD外一點(diǎn),且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.圖T6-1(1)求證:四邊形DBFC是平行四邊形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的長.2.[2023·石景山二模]如圖T6-2,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AD邊上,點(diǎn)F在AD的延長線上,且BE=CF.圖T6-2(1)求證:四邊形EBCF是平行四邊形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的長.3.[2023·西城一模]如圖T6-3,在四邊形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足為F,E為四邊形ABCD外一點(diǎn),且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.圖T6-3(1)求證:四邊形ABDE是平行四邊形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的長.4.[2023·房山一模]如圖T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=2DE,連接CE,AF.圖T6-4(1)證明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,連接BF,求BF的長.|類型2|菱形的判定+線段長度5.[2023·順義一模]如圖T6-5,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),射線BE交AD的延長線于點(diǎn)F,連接CF.圖T6-5(1)求證:四邊形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的長.6.[2023·平谷一模]如圖T6-6,在?ABCD中,BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F,AE⊥BF于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)E,連接EF.圖T6-6(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)連接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的長.7.[2023·門頭溝一模]如圖T6-7,在矩形ABCD中,連接AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F,連接CE和AF.圖T6-7(1)求證:四邊形AECF為菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周長.8.[2023·西城一模]如圖T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分別以點(diǎn)B,D為圓心,AB長為半徑在BD的右側(cè)作弧,兩弧交于點(diǎn)C,分別連接BC,DC,AC,記AC與BD的交點(diǎn)為O.圖T6-8(1)補(bǔ)全圖形,求∠AOB的度數(shù)并說明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的長.|類型3|菱形的判定+圖形面積9.[2023·延慶一模]如圖T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D,F分別是AC,AB的中點(diǎn),CE∥DB,BE∥DC.圖T6-9(1)求證:四邊形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四邊形DBEC面積.10.[2023·大興一模]如圖T6-10,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,且DE=OC,CE=OD.圖T6-10(1)求證:四邊形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面積.11.[2023·懷柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜邊BC上一點(diǎn),且AB=AD,過點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.圖T6-11(1)求證:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+,過點(diǎn)B作BG⊥FC于點(diǎn)G,連接DG.依題意補(bǔ)全圖形,并求四邊形ABGD的面積.12.[2023·海淀一模]如圖T6-12,?ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.圖T6-12(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AD=2,則當(dāng)四邊形ABCD的形狀是時(shí),四邊形AOBE的面積最大,最大值是.

|類型4|矩形的判定+線段計(jì)算13.[2023·石景山一模]如圖T6-13,在四邊形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于點(diǎn)E.圖T6-13(1)求證:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的長.14.[2023·豐臺一模]已知:如圖T6-14,菱形ABCD,分別延長AB,CB到點(diǎn)F,E,使得BF=BA,BE=BC,連接AE,EF,FC,CA.(1)求證:四邊形AEFC為矩形;(2)連接DE交AB于點(diǎn)G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的長.圖T6-1415.[2023·通州一模]如圖T6-15,在平行四邊形ABCD中,DB⊥AB,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥CD,垂足為F,交AB的延長線于點(diǎn)G.圖T6-15(1)求證:四邊形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.16.[2023·朝陽一模]如圖T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,過點(diǎn)A作BC的平行線,過點(diǎn)B作AD的平行線,兩直線交于點(diǎn)E.圖T6-16(1)求證:四邊形ADBE是矩形;(2)連接DE,交AB于點(diǎn)O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.參考答案1.解:(1)證明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四邊形DBFC是平行四邊形.(2)由(1)得四邊形DBFC是平行四邊形,∴CF=BD=2.過點(diǎn)C作CH⊥BF于點(diǎn)H,∵∠F=45°,∴CH=.∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=2.2.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四邊形EBCF是平行四邊形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=,∴AE=AB·tan∠2=1,BE==2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC===4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)證明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足為F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四邊形ABDE是平行四邊形.(2)如圖,連接BE交AD于點(diǎn)O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,∴?ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,OA=AD=3.在Rt△OAB中,OB==4.∵S△ABD=AD·OB=BD·AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)證明:∵D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四邊形ACEF為平行四邊形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.∵D為BC中點(diǎn),∴BD=.又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF==2.5.解:(1)證明:∵BD=BC,E是CD的中點(diǎn),∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四邊形BCFD是平行四邊形.又∵BD=BC,∴?BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∴AB==.∵四邊形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,∴BF===2.6.解:(1)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵?ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四邊形ABEF是平行四邊形.∴?ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G.∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等邊三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四邊形AGCF是平行四邊形.∴?AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=2.∴CF=2.7.解:(1)證明:∵EF是AC的垂直平分線,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,又∵EF⊥AC,∴平行四邊形AECF是菱形.(2)設(shè)AF=x,∵EF是AC的垂直平分線,∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周長為20.8.解:(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.∠AOB=90°.理由:由題意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四邊形ABCD為菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=,∴OB=AB·cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.9.解:(1)證明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四邊形DBEC是平行四邊形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中點(diǎn),∠ABC=90°,∴BD=DC,∴四邊形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,AF===2.∴S△DBC=BC×BF=×2×2=2,∴S菱形DBEC=2S△DBC=4.10.解:(1)證明:∵DE=OC,CE=OD,∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD.∴OC=OD.∴平行四邊形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.∴AB=DC=2.如圖,連接OE,交CD于點(diǎn)F.∵四邊形OCED為菱形,∴F為CD中點(diǎn).∵O為BD中點(diǎn),∴OF=BC=1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED=OE·CD=×2×2=2.11.解:(1)證明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)補(bǔ)全圖形,如圖所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE,∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四邊形ABGD是平行四邊形.∵AB=AD,∴平行四邊形ABGD是菱形.設(shè)AB=x,則BG=GD=AD=x,∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+,∴x=.過點(diǎn)B作BH⊥AD于H,∴BH=AB=1.∴S四邊形ABGD=AD×BH=.12.解:(1)證明:∵AE∥BD,BE∥AC,∴四邊形AEBO是平行四邊形.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四邊形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四邊形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)證明:(法一)過點(diǎn)B作BH⊥CE于H,如圖.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四邊形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)過點(diǎn)C作CH⊥AB交AB的延長線于H.圖略,證明略.(2)∵四邊形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tanD==3,設(shè)DE=x,CE=3x,∴CD=x=2.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)證明:∵BF=BA,BE=BC,∴四邊形AEFC為平行四邊形.∵四邊形ABCD為菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四邊形AEFC為矩形.(2)連接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四邊形AEBD為平行四邊形.∵DE⊥AB,∴四邊形AEBD為菱形.∴AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=2.∴ED=4.15.解:(1)證明:∵BD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在?ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四邊形BDFG為平行四邊形.又∵∠BDC=90°,∴四邊形BDFG為矩形.(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE