高三直線與圓專題復(fù)習(xí)題

-5--5-直線與圓專題復(fù)習(xí)題考點一：直線的方程［考點］1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k］,k2存在，則l1#l2Ok1=k2，l［丄l2Ok1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．兩個距離公式兩平行直線l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0間的距離d=2^］點(x0,y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式逹年［典例］(1)“a=2”是“直線ax+2y=0與直線x+y=1平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：若a=2,直線ax+2y=0與直線x+y=1顯然平行，若直線ax+2y=0與直線x+y=1平行，由1=2工0，易得a=2.答案：C(2).若點(1,1倒直線xcosa+ysina=2的距離為〃，則d的最大值是.解析：依題意有d=lcosa+sin?—21=1j2sin(a+4)—21,于是當(dāng)sin(a+n)=—1時，d取得最大值2+竝答案：2+百解題通法求直線方程的2種方法直接法：選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,由題設(shè)條件直接求出方程中的系數(shù),寫出結(jié)果.待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程,使方程中含有待定系數(shù),再由題設(shè)條件構(gòu)建方程,求出待定系數(shù).［練習(xí)］若直線l與直線y=1,x=7分別交于點P,Q,且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1,—1),則直線I的斜率為（）TOC\o"1-5"\h\z,1?1a?3b.-3小3“2c.—2d?3解析：由直線l與直線y=1,x=7分別交于點P、Q,可設(shè)P(x151),Q(7,y)再由線段PQ的中點坐標(biāo)為(1,一1)，可解得：X］=—5,,y1=-3?即直線l上有兩點P(—5,1),Q(7,—1＋313),代入斜率公式可解得直線l的斜率為k=—一7=—3?答案：B2.直線l1：3x—y+1=0,直線l2過點(1,0),且l2的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為()A.y=6x+1B.y=6(x—1)33C.y=4(x—1)D.y=—4(x—1)解析：設(shè)直線l［的傾斜角為a,則由tana=3可求出直線l2的斜率k=tan2a=1=121—tan2a3—4,再由直線l2過點(1,0)即可求得其方程.答案：D考點二：圓的方程［考點］1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地，當(dāng)圓心在原點時,方程為x2+y2=r2.圓的一般方程（DE\\Id2+E2—4Fx2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2—4F>0,表示以（一2，—刃為圓心’，2為半徑的圓.［典例］(1)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0,-'5)在圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為警，則圓C的方程為.［解析］因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0),且a>0,所以圓心到直線2x2aW5—y=0的距離d=^=~5~，解得a=2,所以圓C的半徑r=ICMI=\；4+5=3,所以圓C的方程為(x—2)2+y2=9.［答案］(x—2)2+y2=9(2)已知a^R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是．［解析］由二元二次方程表示圓的條件可得a2=a+2,解得a=2或一1.當(dāng)a=2時，方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+^=0，配方得(x+j+?+1)2=—4<。，不表示圓；當(dāng)a=—1時，方程為x2+y2+4x+8y—5=0，配方得(x+2)2+(y+4)2=25，則圓心坐標(biāo)為(—2，—4)，半徑是5.［答案］(—2，—4)5解題通法求圓的方程的2種方法幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程．代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程．［練習(xí)］1.與圓C：x2+y2—2x+4y=0外切于原點，且半徑為2訴的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：所求圓的圓心在直線y=—2x上，所以可設(shè)所求圓的圓心為(a，—2a)(av0)，又因為所求圓與圓C:：2+y2—2x+4y=0外切于原點，且半徑為2\；5,所以\'a2+(—2a)2=2応，可得a2=4，則a=—2或a=2(舍去).所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y—4)2=20.答案：(x＋2)2＋(y—4)2=20考點三：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系［考點］

判斷直線與圓的位置關(guān)系的2種方法代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式力來討論位置關(guān)系：J>0O相交；J=0O相切；J<0O相離；幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dvre相交；d=Y0相切；

d>r相離．［典例］⑴設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2—2ay—2=0相交于A,B兩點，若IABI=^.'3,則圓C的面積為．［解析］圓C：x2+y2—2ay—2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y—a)2=a2+2,所以圓心C(0,a),半徑r='ja2+2，因為IABI=2\；3,點C到直線y=x+2a，即x—y+2a=2a=0的距離〃二10^尹=診解得a2=2,所以r=2,所以圓C的面積為nX22=4n.［答案］4n(2)已知直線l：x—<3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點，過A,B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則ICDI=［解析］如圖所示,rIC0?直線AB的方程為x—3y+6=0,3:.k=43,AZBPD=30°，從而ZBDP=60°.AB3在RtABOD中，TIOBI=2、T3,?\IODI=2.取AB的中點H，連接OH，則OH丄AB，:.OH為直角梯形ABDC的中位線，?IOCI=IODI，?ICDI=2IODI=2X2=4.［答案］4弦長問題的2種求解方法利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構(gòu)成直角三角形,結(jié)合勾股定理d2+￡|2=r2求解;若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1，y1)，B(x2,y2)兩點，則IABI=；'1+k2Ix1—x2I.［練習(xí)］1.已知直線ax+y—1=0與圓C：(x—1)2+(y+a)2=1相交于A,B兩點，且△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為()A〒或一1B.—1C.1或一1D.1解析：選C由題意得，圓心(解析：選C由題意得，圓心(1,—a)到直線ax+y—1=0的距離.la—a—11\''2\'1+a22解得a=±1，故選C.2.已知直線l：x+ay—1=0(a^R)是圓C：x2+y2—4x—2y+1=0的對稱軸.過點A(—4,a)作圓C的一條切線，切點為B,則lABI=()A.2B.4邁C.6D.2-帀解析：選C由于直線x+ay—1=0是圓C:：2+y2—4x—2y+1=0的對稱軸，..圓心C(2,1)在直線x+ay—1=0上，.°.2+a—1=0,.°.a=—1,.°.A(—4,—1),.°.lACb=36+4=40.又r=2,.lABl2=40—4=36..lABl=6.解題通法直線和圓與其他知識的交匯高考對直線和圓的考查重在基礎(chǔ)，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，將直線和圓與函數(shù)、不等式、平面向量、數(shù)列及圓錐曲線、概率等知識交匯，體現(xiàn)命題創(chuàng)新.廠

x+y—2^2三0,［典例］已知不等式組*02邁，表示平面區(qū)域◎，過區(qū)域Q中的任意一個點P,,W2應(yīng)作圓x2+y2=1的兩條切線且切點分別為A,B,當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時，cosZAPB的［解析］選B作出平面區(qū)域Q［解析］選B作出平面區(qū)域Q和單位圓x2+y2=1,l：x+y—2和'2=0,數(shù)形結(jié)合可得S四邊形PAOB=2S^pao=2X!XPAX1=Pa.??.當(dāng)P到原點距離最小時，四邊形PAOB的面積最小，此時PO丄1,且lPOl=2,故ZAPOn=盲，?：ZAPB解題通法求解與圓有關(guān)最值問題常用轉(zhuǎn)化與化歸思想,常見類型有(1)圓外一點與圓上任一點間距離的最值；(2)直線與圓相離，圓上的點到直線的距離的最值；直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題；形如求ax+by,CX^dy等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.［練習(xí)］已知圓q：x2+y2—6x—7=0與圓C2：x2+y2—27=0相交于A、B兩點，則線段AB的中垂線方程為.解析：AB的中垂線即為圓q、圓C2的連心線C］C2,又C/3,0),C2(0,3),C1C2的方程為x+y-3=0,即線段AB的中垂線方程為x+y-3=0?答案：x