高三直線與圓專題復(fù)習(xí)題

-5--5-直線與圓專題復(fù)習(xí)題考點(diǎn)一：直線的方程［考點(diǎn)］1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k］,k2存在，則l1#l2Ok1=k2，l［丄l2Ok1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．兩個(gè)距離公式兩平行直線l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0間的距離d=2^］點(diǎn)(x0,y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式逹年［典例］(1)“a=2”是“直線ax+2y=0與直線x+y=1平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：若a=2,直線ax+2y=0與直線x+y=1顯然平行，若直線ax+2y=0與直線x+y=1平行，由1=2工0，易得a=2.答案：C(2).若點(diǎn)(1,1倒直線xcosa+ysina=2的距離為〃，則d的最大值是.解析：依題意有d=lcosa+sin?—21=1j2sin(a+4)—21,于是當(dāng)sin(a+n)=—1時(shí)，d取得最大值2+竝答案：2+百解題通法求直線方程的2種方法直接法：選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,由題設(shè)條件直接求出方程中的系數(shù),寫出結(jié)果.待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程,使方程中含有待定系數(shù),再由題設(shè)條件構(gòu)建方程,求出待定系數(shù).［練習(xí)］若直線l與直線y=1,x=7分別交于點(diǎn)P,Q,且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—1),則直線I的斜率為（）TOC\o"1-5"\h\z,1?1a?3b.-3小3“2c.—2d?3解析：由直線l與直線y=1,x=7分別交于點(diǎn)P、Q,可設(shè)P(x151),Q(7,y)再由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一1)，可解得：X］=—5,,y1=-3?即直線l上有兩點(diǎn)P(—5,1),Q(7,—1＋313),代入斜率公式可解得直線l的斜率為k=—一7=—3?答案：B2.直線l1：3x—y+1=0,直線l2過點(diǎn)(1,0),且l2的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為()A.y=6x+1B.y=6(x—1)33C.y=4(x—1)D.y=—4(x—1)解析：設(shè)直線l［的傾斜角為a,則由tana=3可求出直線l2的斜率k=tan2a=1=121—tan2a3—4,再由直線l2過點(diǎn)(1,0)即可求得其方程.答案：D考點(diǎn)二：圓的方程［考點(diǎn)］1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2.圓的一般方程（DE\\Id2+E2—4Fx2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2—4F>0,表示以（一2，—刃為圓心’，2為半徑的圓.［典例］(1)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0,-'5)在圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為警，則圓C的方程為.［解析］因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0),且a>0,所以圓心到直線2x2aW5—y=0的距離d=^=~5~，解得a=2,所以圓C的半徑r=ICMI=\；4+5=3,所以圓C的方程為(x—2)2+y2=9.［答案］(x—2)2+y2=9(2)已知a^R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是．［解析］由二元二次方程表示圓的條件可得a2=a+2,解得a=2或一1.當(dāng)a=2時(shí)，方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+^=0，配方得(x+j+?+1)2=—4<。，不表示圓；當(dāng)a=—1時(shí)，方程為x2+y2+4x+8y—5=0，配方得(x+2)2+(y+4)2=25，則圓心坐標(biāo)為(—2，—4)，半徑是5.［答案］(—2，—4)5解題通法求圓的方程的2種方法幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程．代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程．［練習(xí)］1.與圓C：x2+y2—2x+4y=0外切于原點(diǎn)，且半徑為2訴的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：所求圓的圓心在直線y=—2x上，所以可設(shè)所求圓的圓心為(a，—2a)(av0)，又因?yàn)樗髨A與圓C:：2+y2—2x+4y=0外切于原點(diǎn)，且半徑為2\；5,所以\'a2+(—2a)2=2応，可得a2=4，則a=—2或a=2(舍去).所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y—4)2=20.答案：(x＋2)2＋(y—4)2=20考點(diǎn)三：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系［考點(diǎn)］

判斷直線與圓的位置關(guān)系的2種方法代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式力來討論位置關(guān)系：J>0O相交；J=0O相切；J<0O相離；幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dvre相交；d=Y0相切；

d>r相離．［典例］⑴設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2—2ay—2=0相交于A,B兩點(diǎn)，若IABI=^.'3,則圓C的面積為．［解析］圓C：x2+y2—2ay—2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y—a)2=a2+2,所以圓心C(0,a),半徑r='ja2+2，因?yàn)镮ABI=2\；3,點(diǎn)C到直線y=x+2a，即x—y+2a=2a=0的距離〃二10^尹=診解得a2=2,所以r=2,所以圓C的面積為nX22=4n.［答案］4n(2)已知直線l：x—<3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則ICDI=［解析］如圖所示,rIC0?直線AB的方程為x—3y+6=0,3:.k=43,AZBPD=30°，從而ZBDP=60°.AB3在RtABOD中，TIOBI=2、T3,?\IODI=2.取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OH丄AB，:.OH為直角梯形ABDC的中位線，?IOCI=IODI，?ICDI=2IODI=2X2=4.［答案］4弦長問題的2種求解方法利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構(gòu)成直角三角形,結(jié)合勾股定理d2+￡|2=r2求解;若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1，y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，則IABI=；'1+k2Ix1—x2I.［練習(xí)］1.已知直線ax+y—1=0與圓C：(x—1)2+(y+a)2=1相交于A,B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A〒或一1B.—1C.1或一1D.1解析：選C由題意得，圓心(解析：選C由題意得，圓心(1,—a)到直線ax+y—1=0的距離.la—a—11\''2\'1+a22解得a=±1，故選C.2.已知直線l：x+ay—1=0(a^R)是圓C：x2+y2—4x—2y+1=0的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A(—4,a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B,則lABI=()A.2B.4邁C.6D.2-帀解析：選C由于直線x+ay—1=0是圓C:：2+y2—4x—2y+1=0的對(duì)稱軸，..圓心C(2,1)在直線x+ay—1=0上，.°.2+a—1=0,.°.a=—1,.°.A(—4,—1),.°.lACb=36+4=40.又r=2,.lABl2=40—4=36..lABl=6.解題通法直線和圓與其他知識(shí)的交匯高考對(duì)直線和圓的考查重在基礎(chǔ)，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，將直線和圓與函數(shù)、不等式、平面向量、數(shù)列及圓錐曲線、概率等知識(shí)交匯，體現(xiàn)命題創(chuàng)新.廠

x+y—2^2三0,［典例］已知不等式組*02邁，表示平面區(qū)域◎，過區(qū)域Q中的任意一個(gè)點(diǎn)P,,W2應(yīng)作圓x2+y2=1的兩條切線且切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí)，cosZAPB的［解析］選B作出平面區(qū)域Q［解析］選B作出平面區(qū)域Q和單位圓x2+y2=1,l：x+y—2和'2=0,數(shù)形結(jié)合可得S四邊形PAOB=2S^pao=2X!XPAX1=Pa.??.當(dāng)P到原點(diǎn)距離最小時(shí)，四邊形PAOB的面積最小，此時(shí)PO丄1,且lPOl=2,故ZAPOn=盲，?：ZAPB解題通法求解與圓有關(guān)最值問題常用轉(zhuǎn)化與化歸思想,常見類型有(1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)間距離的最值；(2)直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值；直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值問題；形如求ax+by,CX^dy等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.［練習(xí)］已知圓q：x2+y2—6x—7=0與圓C2：x2+y2—27=0相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為.解析：AB的中垂線即為圓q、圓C2的連心線C］C2,又C/3,0),C2(0,3),C1C2的方程為x+y-3=0,即線段AB的中垂線方程為x+y-3=0?答案：x