線性代數(shù)逆矩陣

線性代數(shù)逆矩陣第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二§2.2逆矩陣2、逆矩陣的概念3、逆矩陣的求法4、逆矩陣的運算性質(zhì)1、引例5、矩陣方程第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二在數(shù)的運算中,當(dāng)時,有其中為的倒數(shù)(或稱為的逆).數(shù)的逆在解方程中起著重要作用,例如,解一元線性方程當(dāng)時,其解為1引例第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二問題對于矩陣是否也存在著的逆使得是否可用類似求解一元線性方程的運算？在解矩陣方程時,在矩陣中的“1”其實就是單位矩陣E1引例第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二定義1使得則矩陣稱為可逆矩陣,而矩陣稱為的逆矩陣.命題1若矩陣是可逆的,則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和都是的逆矩陣,則有的逆矩陣是唯一的，對于階矩陣如果存在一個階矩陣的逆矩陣記為2可逆矩陣的概念矩陣如有逆，唯一么？第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例:

設(shè)定義1使得則矩陣稱為可逆矩陣,而矩陣稱為的逆矩陣.對于階矩陣如果存在一個階矩陣2可逆矩陣的概念第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二||=第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二n階矩陣A如果為可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.但是，如何求矩陣A的逆矩陣？第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二3逆矩陣的求法復(fù)習(xí):行列式按行(列)展開法則

則方陣A的行列式|A|方陣A方陣A的行列式|A|第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)習(xí):行列式按行(列)展開法則

3逆矩陣的求法第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二？3逆矩陣的求法第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二3逆矩陣的求法第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二定義3

由行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的方陣稱為n階矩陣A的伴隨矩陣簡稱伴隨陣

方陣的伴隨矩陣元素的排列順序3逆矩陣的求法第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例2解第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二定義2奇異矩陣與非奇異矩陣的概念

對于n階矩陣A當(dāng)|A|0時，稱A是非奇異矩陣；當(dāng)|A|0時，稱A是奇異矩陣．定理1

n階方陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且當(dāng)A可逆時，有

3逆矩陣的求法證明可逆矩陣叫做非奇異矩陣，也叫做非退化矩陣。第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二方陣的行列式的運算規(guī)律第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二

=第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二3逆矩陣的求法A可逆再證明B是A的逆第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例3定理1n階方陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且當(dāng)A可逆時，有

第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例4第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例4注意課本例1的結(jié)構(gòu)第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二乘法一般不滿足交換律，

第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二4逆矩陣的運算性質(zhì)證(3)推廣：若A1,A2,…,Am

為同階可逆矩陣

則A1

A2…Am可逆且(A1

A2…Am

)1=Am1…A21

A11.第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二4逆矩陣的運算性質(zhì)證證第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二5矩陣方程利用矩陣乘法的運算規(guī)律和逆矩陣的運算性質(zhì)，通過在方程兩邊左乘或右乘相應(yīng)的矩陣的逆矩陣可求出其解。第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例5第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例65矩陣方程注：矩陣方程中一般要用到逆矩陣的運算，因此在求解之前要判斷矩陣是否可逆.

第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二5矩陣方程例6第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例7第31頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二1法：定義對于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得ABBAE則矩陣A可逆而且A1=B

3法：推論設(shè)A

、B為同階方陣，若ABE（或BAE）

則矩陣A可逆且A1

B

方陣可逆的判別方法