法截線與大地線

法截線與大地線第1頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)1、定義5.4法截線與大地線法截線AaB：過A點(diǎn)法線AKa和B點(diǎn)的法截面與橢球面的交線，稱A點(diǎn)對B點(diǎn)的法截線；法截線BbA：過B點(diǎn)法線BKb和A點(diǎn)的法截面與橢球面的交線，稱B點(diǎn)對A點(diǎn)的法截線。法截線AaB與法截線BbA合稱A、B兩點(diǎn)間的相對法截線。A點(diǎn)對B點(diǎn)的正法截線B點(diǎn)對A點(diǎn)的正法截線第2頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)2、相對法截線不重合的原因5.4法截線與大地線A、B兩點(diǎn)的法線不在同一平面上。3、相對法截線重合的原因A、B兩點(diǎn)的法線在同一平面上。即兩點(diǎn)位于同一平行圈或同一子午圈上。第3頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)4、相對法截線不重合時的位置規(guī)律5.4法截線與大地線緯度高的點(diǎn)對緯度低的點(diǎn)的法截線在上，緯度低的點(diǎn)對緯度高的點(diǎn)的法截線在下。第4頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)4、相對法截線不重合時的位置規(guī)律5.4法截線與大地線緯度高的點(diǎn)對緯度低的點(diǎn)的法截線在上，緯度低的點(diǎn)對緯度高的點(diǎn)的法截線在下。第5頁/共28頁五、相對法截線5、相對法截線造成的問題5.4法截線與大地線設(shè)想當(dāng)橢球面上的三個點(diǎn)（經(jīng)緯度均不相同）以各自法線為準(zhǔn)進(jìn)行互相觀測時，則此三角形將存在六條邊，從而造成了幾何圖形的破裂。顯然，不能依據(jù)這種破裂的幾何圖形進(jìn)行進(jìn)行計算。第6頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)5.4法截線與大地線6、與實(shí)際問題的聯(lián)系－地面三角測量A：儀器中心A0

：儀器中心或標(biāo)石中心的橢球面投影點(diǎn)B：覘標(biāo)中心b

：覘標(biāo)中心或標(biāo)石中心的橢球面投影點(diǎn)AKa：

A或A0的橢球面法線BKb：

B或b的橢球面法線第7頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)5.4法截線與大地線6、與實(shí)際問題的聯(lián)系－地面三角測量以A

或A0橢球面法線為準(zhǔn)，照準(zhǔn)B點(diǎn)的照準(zhǔn)面：A0bAKaB或A0KaB相應(yīng)的法截線為：A0b'以A

或A0橢球面法線為準(zhǔn)，照準(zhǔn)b點(diǎn)的照準(zhǔn)面：AKab或A0Kab相應(yīng)的法截線為：第8頁/共28頁5.4法截線與大地線《規(guī)范》規(guī)定：一等算至0.001秒二等算至0.01秒三四等算至0.1秒第9頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)5.4法截線與大地線6、與實(shí)際問題的聯(lián)系－地面三角測量一般情況下，A0b'與A0b不重合，其夾角稱為標(biāo)高差改正，記為δ21）A、B兩點(diǎn)同經(jīng)度或同緯度；2）B點(diǎn)在橢球面上。A0b'與A0b重合的情況，即δ2為0的情況：第10頁/共28頁五、相對法截線(reciprocalnormalsections)5.4法截線與大地線6、與實(shí)際問題的聯(lián)系－地面三角測量A、B互相照準(zhǔn)地面三角形投影到橢球面第11頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線1、定義定義1：大地線是一曲面曲線，在該曲線上各點(diǎn)的相鄰兩弧素，位于該點(diǎn)的同一法截面中。第12頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線1、定義定義2：大地線是一曲面曲線，在該曲線上任一點(diǎn)的曲線主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合。第13頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線2、性質(zhì)性質(zhì)1：大地線是橢球面上兩點(diǎn)間的最短線。第14頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線2、性質(zhì)性質(zhì)2：大地線是無數(shù)法截線弧素的連線。注：1）橢球面上的法截線除子午圈和赤道是大地線外，其它法截線都不是大地線。2）法截線只是通過某點(diǎn)的一個法截面，而大地線是通過沿線各點(diǎn)的所有法截面。第15頁/共28頁六、大地線5.4法截線與大地線2、性質(zhì)性質(zhì)3：橢球面上的大地線是雙重彎曲的曲線。注：1）橫向彎曲（撓率）：2）縱向彎曲（曲率）；3）順著大地線的方向去看，橢球面上的大地線一般不呈直線，而呈現(xiàn)微微彎曲的“S”形。第16頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線2、性質(zhì)性質(zhì)4：大地線位于相對法截線之間。注：1）通常情況下，大地線靠近正法截線，它分相對法截線的夾角約為二比一即u:v=2:1；2）在平行圈上相對法截線雖然合而為一，但大地線、法截線和平行圈三者都不重合。在北半球，大地線在上，法截線居中，平行圈在下。第17頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線3、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式。適用于橢球面上的任意曲線第18頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線3、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式。大地線專有微分方程第19頁/共28頁六、大地線5.4法截線與大地線3、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式，它們是橢球面上大地坐標(biāo)計算的基礎(chǔ)。第20頁/共28頁六、大地線5.4法截線與大地線4、大地線的克萊勞方程第21頁/共28頁六、大地線(geodesicline)5.4法截線與大地線4、大地線的克萊勞方程說明：1）橢球面上，大地線上各點(diǎn)的平行圈半徑與該點(diǎn)大地線方位角的正弦之積為一常數(shù)。2）它是長距離大地問題解算的基礎(chǔ)。第22頁/共28頁七、橢球面三角形的解算5.4法截線與大地線

經(jīng)過研究表明，當(dāng)三角形的邊長小于200公里時，將橢球面三角形看作以其三個頂點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑為球半徑的球面三角形是完全可以的（兩者對應(yīng)邊長相等，對應(yīng)角之差小于0".001）。橢球面三角形（邊長<200km）以Rm為半徑的球面三角形第23頁/共28頁七、橢球面三角形的解算5.4法截線與大地線

設(shè)一球面三角形A0B0C0，其三邊長為a、b、c，球面角超為ε

。如果以同樣邊長a、b、c為三邊作一平面三角形A1B1C1，當(dāng)邊長不甚大時，可以證明這兩個三角形的三內(nèi)角間有如下的關(guān)系：其中，?為平面三角形的面積，R為球的半徑。1、勒讓德定理第24頁/共28頁5.4法截線與大地線A0B0C0abcA0B0C0abcA1B1C1abc橢球面三角形以Rm為半徑的球面三角形虛擬平面三角形2、勒讓德定理的應(yīng)用－推算橢球面三角形邊長解算步驟第25頁/共28頁內(nèi)容小結(jié)

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