2022-2023學(xué)年山東省德州市高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省德州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，直接計算可得答案.【詳解】由已知得，，解得，故.故選：B2．若，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分性和必要性的定義判斷即可.【詳解】由可推出，但推不出，如，所以p是q的充分不必要條件故選：A.3．已知點是角終邊上的一點，且，則的值為（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得.【詳解】解：因為點是角終邊上的一點，且，所以，解得或.故選：D4．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域.【詳解】令，由，則，所以，所以，又，所以函數(shù)的值域為.故選：B5．華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動個單位，可得函數(shù)的圖象只有選項C符合.故選：C.6．已知角的值點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸．若角的終邊落在直線上，則的值等于（

）A．3或-3 B．或 C．3或 D．-3或【答案】B【分析】討論角在第二象限或第四象限，化簡代入即可得出答案.【詳解】角的終邊落在直線上，所以角在第二象限或第四象限，所以，所以，當(dāng)角在第二象限時，，所以，當(dāng)角在第四象限時，，所以，故選：B.7．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，則大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性以及定義，可得其函數(shù)解析式，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小，結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得答案.【詳解】由題意，可得，解得，則，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，故，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.故選：C.二、多選題8．設(shè)，用表示不小于的最小整數(shù)，如．已知函數(shù)，下列敘述不正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)的值域是【答案】CD【分析】根據(jù)定義，函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值域的求解方法對選項逐一分析即可.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，因為，所以，且，所以，所以為奇函數(shù)，故A正確；令，解得：，由，所以，所以函數(shù)的值域是，故B正確；因為，函數(shù)的值域是，所以的值域為，故D不正確；由，，所以，所以不是奇函數(shù)，故C不正確；故選：CD.9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由題意得，可得，根據(jù)的范圍，可得的正負(fù)，求得的值，即可判斷A的正誤，聯(lián)立可求得的值，即可判斷B的正誤，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷C的正誤，平方差計算的值可判斷D的正誤，從而得到答案.【詳解】因為①，所以，則，因為，所以，所以，所以，所以②，故A錯誤；①②聯(lián)立可得，，故B正確；所以，故C錯誤；，故D正確；故選：BD10．下列正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，且，則【答案】ABD【分析】應(yīng)用指、對、冪函數(shù)的運算公式逐一計算即可得到結(jié)果.【詳解】解：A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；C選項：，，故C錯誤；D選項：，則，，同理，，則，解得，故D正確.故選：ABD11．已知函數(shù)，若（互不相等），則的值可以是（

）A．-2 B． C． D．-1【答案】BC【分析】作出圖象，由數(shù)形結(jié)合可得的范圍，由對數(shù)運算可得，即可判斷結(jié)果.【詳解】圖象如圖所示，令，則有，則有.又，∴，故.故選：BC12．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多【答案】AC【分析】由題知，根據(jù)指對數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次討論各選項求解．【詳解】解：由題知，A選項：若，即，所以，則，A正確；B選項：若，則，則，兩邊同時取對數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘，B錯誤；C選項：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時間（）比從下降到所需的時間（）少，故D錯誤．故選：AC．三、填空題13．計算：_________．【答案】##【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案.【詳解】，故答案為：.14．如圖，直角中，，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點A．其中的面積與扇形OAB的面積之比為3：2，記，則____________．【答案】##1.5【分析】設(shè)出扇形的半徑，分別計算扇形面積與三角形面積代入可得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形OAB的半徑為r，則扇形OAB的面積為，直角三角形POB中，，則△POB的面積為，由題意知，，所以故答案為：.15．在數(shù)學(xué)中連乘符號是“”，這個符號就是連續(xù)求積的意思，把滿足“”這個符號下面條件的所有項都乘起來，例如：．函數(shù)，定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有_______個．【答案】9【分析】由對數(shù)換底化簡后，根據(jù)新定義累乘后可得，再由企盼數(shù)定義可得，轉(zhuǎn)化為求滿足的n的個數(shù).【詳解】令，，要使成為企盼數(shù)，則，，即，，可取.所以在區(qū)間內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有9個.故答案為：916．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．若對任意的，均有，則實數(shù)b的最大值是__________．【答案】【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)易得時，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化對任意的恒成立，再分類討論求解，【詳解】當(dāng)時，若對任意的，均有即為，由于,當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，又∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴等價于，即（∵）,由區(qū)間的定義可知,若，于是,即，由于的最大值為，故顯然不可能恒成立；，則，即，∴，即，故的最大值為，故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關(guān)鍵是時，化歸為，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，注意對的符號的分類討論.四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓與x軸的正半軸及負(fù)半軸分別交于點A、B，角的始邊為OA，終邊與單位圓交于x軸下方一點P．(1)如圖，若，求點Р的坐標(biāo)；(2)若點P的橫坐標(biāo)為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件可知的旋轉(zhuǎn)角為，利用三角函數(shù)定義求，的值即可寫出點的坐標(biāo)；（2）由點P的橫坐標(biāo)為，可知，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可知，，代入計算即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，且，所以，，所以的坐標(biāo)為.（2）因為點P的橫坐標(biāo)為，所以，且，所以，，則18．已知函數(shù)．(1)化簡；(2)若銳角滿足，求的值：(3)若，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）由第（1）問化簡結(jié)果可知的值，結(jié)合為銳角，求出的值代入所求即可求出結(jié)果；（3）由條件可知，求的值再根據(jù)角的范圍判斷正負(fù)可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：（2）因為，所以，且為銳角，所以，則（3），即，，因為，所以，則19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，其中是自然對數(shù)的底，…．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合時，的解析式求出當(dāng)時的解析式即可；（2）利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性等價出不等式組解出不等式組即可.【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，當(dāng)時，則，由時，函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時，（2）當(dāng)時，不等式化為：成立，當(dāng)時，由，所以時，由在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，由在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故有：，綜上所述：不等式的解集為：.20．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若（且）在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，求出，即可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，然后再利用分類討論，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）由條件冪函數(shù)，在上為增函數(shù)，得到，解得，又因為，所以或又因為是奇函數(shù)，當(dāng)時，，滿足為奇函數(shù)；當(dāng)時，，不滿足為奇函數(shù)；所以（2）由（1）知：且在區(qū)間上為增函數(shù)．令，；①當(dāng)時，為增函數(shù)，只需在區(qū)間上為增函數(shù)．即：，解得：，所以；②當(dāng)時，為減函數(shù)，只需在區(qū)間上為減函數(shù)．即：，解得：，此時無解；綜上可知：的取值范圍為：．21．某醫(yī)藥研究所研發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥1小時后血液中含藥量達(dá)到峰值，7小時后血液中含藥量為，服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時間之間，近似滿足如圖所示的連續(xù)曲線，其中曲線段OA是函數(shù)的圖象，曲線段AB是函數(shù)（，k為吸收常數(shù)，為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）的圖象．(1)寫出服藥后每毫升血液中含藥量C關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上8點，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點鐘？(3)若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少？（精確到）【答案】(1)(2)第二次服藥最遲是當(dāng)天下午13：00服藥(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意列出不等式，求解出答案；（3）分別求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，把代入可得，解得：，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，把代入（k，a是常數(shù)），得，解得，所以故，（2）設(shè)第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，則，解得：，即第一次服藥后后服第二次藥，也即下午13：00服藥；（3）第二次服藥后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：每毫升血液中含第二次服藥后剩余量為：所以此時兩次服藥剩余的量為故該病人每毫升血液中的含藥量為22．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)的圖像與函數(shù)（且）的圖像都恒過同一個定點．(1)求和的值；(2)設(shè)函數(shù)，若方程有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先找出恒過的點，代入當(dāng)時中，求出，然后，利用函數(shù)奇偶性建立方程求解；（2）由題意方程有且只有一個實數(shù)解等價出關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解，令，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程只有一個正實數(shù)解，對最高次系數(shù)進(jìn)行討論分析即可.【詳解】（1）因為函數(shù)（且）的圖像