高數(shù)上d62弧長(zhǎng)三63物理應(yīng)用

1oxy2a圓極坐標(biāo)方程糾正作業(yè)P284T5(1)求2解:P284T5(2)3

若能把某個(gè)量表示成定積分,我們就可以應(yīng)用定積分計(jì)算這個(gè)量.1)根據(jù)具體情況，選取積分變量，如：x.確定x的變化區(qū)間[a,b].2)把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，取一代表區(qū)間求出該區(qū)間上所求量的部分量的近似表達(dá)式量U的元素.3)寫(xiě)出定積分的表達(dá)式：也叫微分元素.1.元素法計(jì)算量U的步驟:復(fù)習(xí)4請(qǐng)熟記以下公式：X-型Y-型5二、體積第二節(jié)一、平面圖形的面積三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)

定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

第六章6定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線(xiàn),當(dāng)折線(xiàn)段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線(xiàn)的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限

,即并稱(chēng)此曲線(xiàn)弧為可求長(zhǎng)的.定理:任意光滑曲線(xiàn)弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)則稱(chēng)三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)此極限為曲線(xiàn)弧AB

的弧長(zhǎng),7dydxds則弧微分為3.若曲線(xiàn)的參數(shù)方程為:回顧：8(1)曲線(xiàn)弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(2)曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)9(2)曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)曲線(xiàn)弧為(3)

極坐標(biāo)情形所求弧長(zhǎng)注意到:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限上大下小.10解：所求弧長(zhǎng)為例1.計(jì)算曲線(xiàn)上相應(yīng)于(如圖)的一段弧的長(zhǎng)度.P283例1111例2.

計(jì)算擺線(xiàn)解：

P283例12xyo12例3.

求阿基米德螺線(xiàn)一段的弧長(zhǎng)(如圖).解:

P284例1313解:例4.

14證:設(shè)正弦線(xiàn)的弧長(zhǎng)等于設(shè)橢圓的弧長(zhǎng)等于例5.證明正弦線(xiàn)的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng).故原結(jié)論成立.15設(shè)平面光滑曲線(xiàn)求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積取側(cè)面積元素:四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)16側(cè)面積元素△A的的線(xiàn)性主部.說(shuō)明：若光滑曲線(xiàn)由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為不是薄片側(cè)面積注意:17例6.

計(jì)算圓旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積A.解：對(duì)曲線(xiàn)弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高h(yuǎn)＝2R

時(shí),得球的表面積公式18階段小結(jié)1.平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)曲線(xiàn)方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小.2.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)19一、變力沿直線(xiàn)所作的功6-3定積分在物理上的應(yīng)用設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從xa移動(dòng)到力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為解：2001x解:設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為例1.

用鐵錘將一鐵釘擊入木板,設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時(shí),將鐵釘擊入木板1厘米,如果鐵錘每次錘擊鐵釘所作的功相等,問(wèn)錘擊第二次時(shí),又將鐵釘擊入多少？h設(shè)兩次擊入的總深度為厘米依題意知:故第二次擊入的深度為P292第5題21例2.設(shè)有一長(zhǎng)度為l,線(xiàn)密度為(x)

的細(xì)直棒,求該棒的質(zhì)量m及平均密度.解：建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)應(yīng)的質(zhì)量微元為平均密度為：22第六章常考題型(用元素法計(jì)算某個(gè)量)1.求平面圖形的面積.2.求旋轉(zhuǎn)體的體積.3.求平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng).23請(qǐng)熟記以下公式：X型Y型(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)24注意：1)以上公式都要求2)復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會(huì)分割.3)不能用公式時(shí)應(yīng)會(huì)元素法.4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程則上述公式可以用定積分的換元法處理.5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程：6)與弧長(zhǎng)有關(guān)時(shí),其限應(yīng)上大下小.25補(bǔ)充作業(yè):過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)軸圍成平面圖形D.求(1)D的面積.解:

(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則所求切線(xiàn)方程為由切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)知的切線(xiàn).該切線(xiàn)與故切線(xiàn)方程為1(2003考研)作業(yè)P286：22;25;30.P293:總習(xí)題六1;3.26試用定積分求圓上半圓為下求體積:解:方法1

利用對(duì)稱(chēng)性而成的