第十八對數極大似然估計

第十八對數極大似然估計第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二使用對數極大似然估計時，我們用EViews的序列生成器，將樣本中各個觀測值的對數似然貢獻描述為一個未知參數的函數。可以給出似然函數中一個或多個參數的解析微分，也可以讓EViews自動計算數值微分。EViews將尋找使得指定的似然函數最大化的參數值，并給出這些參數估計的估計標準差。在本章，我們將詳細論述對數極大似然估計，說明其一般特征。并給出了一些可以使用該方法的具體的例子。

第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.1概論用對數極大似然估計來估計一個模型，主要的工作是建立用來求解似然函數的說明文本。用EViews指定對數極大似然函數的說明是很容易的，因為似然函數的說明只是一系列對序列的賦值語句，這些賦值語句在極大化的過程中被反復的計算。我們所要做的只是寫下一組語句，在計算時，這些語句將描述一個包含每個觀測值對似然函數貢獻的序列。第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二首先，我們簡單地回顧一下線性回歸模型的對數極大似然估計方法。考慮多元線性回歸模型的一般形式

t=1,2,…,T(1)其中k是解釋變量個數，T是觀測值個數，隨機擾動項

～，那么服從如下的正態(tài)分布：～(2)其中第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二Y的隨機抽取的T個樣本觀測值的聯合概率為

(3)這就是變量Y的似然函數。對似然函數求極大值和對對數似然函數求極大值是等價的，對數似然函數為

(4)

第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二注意到，我們能將對數似然函數寫成所有觀測值t的對數似然貢獻和的形式，(5)這里單個貢獻由下面的式子給出：(6)

第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二以只含一個解釋變量的方程為例。假定知道模型參數的真實值，并且想用EViews產生一個包含每個觀測值的貢獻的序列?？梢詫⒁阎膮蒂x值給系數向量的c(1)到c(3)元素，然后把下面的賦值語句作為EViews的命令或程序來執(zhí)行。Seriesres=y-c(1)-c(2)*xSeriesvar=c(3)SerieslogL1=-log(2*3.14159*var)/2-(res^2/var)/2前面兩行語句描述了用來存儲計算時的中間結果的序列。第一個語句創(chuàng)建了殘差序列：res，而第二個語句創(chuàng)建了方差序列：var。而序列l(wèi)ogL1包含了每個觀測值的對數似然貢獻的集合。第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二下面考慮稍復雜的例子，假設數據是由條件異方差回歸模型生成的：(18.1)這里，x,y,z是觀測序列，而1,2,3,,是模型的參數。有T個觀測值的樣本的對數似然函數可以寫成：

(18.2)這里，是標準正態(tài)分布的密度函數。第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二Eviews中的標準正態(tài)分布的對數似然函數為，將對數似然函數寫成所有觀測值

t

的對數似然貢獻的和的形式：(18.3)這里每個觀測值的貢獻由下面的式子給出：(18.4)第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二將這一例子的對數極大似然函數過程寫成下面的賦值語句：

Seriesres=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*zSeriesvar=c(4)*z^c(5)SerieslogL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2前面兩行語句創(chuàng)建了殘差序列res和方差序列var，參數c(1),c(2),c(3)代表了回歸系數，c(4)代表了，c(5)代表了，序列l(wèi)ogL1包含了每個觀測值的對數似然貢獻的集合。

第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二現在假定不知道模型參數的真實值，而想使用數據來估計它。參數的極大似然估計被定義為：使得樣本中所有隨機抽取的一組觀測值的聯合概率密度，即似然函數取最大值的那組參數值。而對數極大似然方法使得尋找這些極大似然估計變得容易了。只需創(chuàng)建一個新的對數似然對象，把上面的賦值語句輸入到logL的說明窗口，然后讓EViews來估計這個模型。在輸入賦值語句時，只需對上面的文本做兩處微小的改動就可以了。首先，把每行開頭的關鍵字series刪掉（因為似然說明暗含了假定序列是當前的）。第二，必須在說明中加入額外的一行（它為包含似然貢獻的序列命名）。第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二這樣，要在logL說明窗口輸入下面的內容：@logLlogL1res=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*zvar=c(4)*z^c(5)logL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2對數似然函數的第一行，@logLlogL1，告訴EViews用logL1序列來存儲似然貢獻。余下的行定義了中間結果的計算和實際的似然貢獻的計算。當用EViews估計模型參數時，它將對不同參數值重復執(zhí)行說明中的賦值語句，使用迭代法來求使得對數似然貢獻最大的一組參數值。當EViews再不能提高全部的似然貢獻時，它將停止迭代并在估計輸出中報告最終參數值和估計標準差。本章下面的部分將更詳細地討論使用似然方法說明，估計和檢驗時要遵循的規(guī)則。

第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二要創(chuàng)建一個似然對象，選擇Objects/NewObject.../LogL或者在命令窗口輸入“l(fā)ogL”。似然窗口將打開一個空白說明視圖。說明視圖是一個文本窗口，在這個窗口里可以輸入描述統(tǒng)計模型的說明語句，還可以設置控制估計程序各個方面的選項。

一．似然的定義正如概述中所描述的那樣，似然說明的主線是一系列賦值語句，在計算時，這些賦值語句將產生一個包含樣本中每個觀測值的對數似然貢獻的序列。賦值語句的多少可以由自己決定。

§18.2似然說明第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二每個似然說明都必須包含一個控制語句，該語句命名了保存似然貢獻的序列。語句的格式為：@logLseries_name這里series_name是保存似然貢獻的序列的名字，可以寫在似然說明的任何位置。如果想在估計完成后刪除說明中的一個或多個序列，可以使用@temp語句：@tempseries_name1sereis_name2...這個語句告訴EViews在對說明的計算完成后，刪除列表中的序列。如果在logL中創(chuàng)建了許多中間結果，又不愿意工作文件因包含這些結果的序列而弄得混亂的話，那么就刪除這些序列。第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二二．參數名在上面的例子中，我們使用了系數c(1)到c(5)作為未知參數的名稱。更一般的，出現在說明中一個已命名的系數向量中的每一個元素都將被視為待估參數。例如在條件異方差性的例子中，可以在三個不同的系數向量中選擇使用的系數：一個均值方程向量，一個方差方程向量，一個方差參數向量。首先用下面的命令創(chuàng)建三個命名的系數向量：coef(3)betacoef(1)sigmacoef(1)alpha第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二于是可以寫出下面的似然說明：@logLlogL1res=y-beta(1)-beta(2)*x-beta(3)*zvar=sigma(1)*z^alpha(1)logL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2由于說明中的已命名的系數向量的所有元素都將被視為待估參數，必須確定所有的系數確實影響了一個或多個似然貢獻的值。如果一個參數對似然沒有影響，那么在試圖進行參數估計時，將遇到一個奇異錯誤。應該注意到除了系數元素外所有的對象在估計過程中都將被視為固定的，不可改變的。例如，假定omega是工作文件中一個已命名的標量，如果將子表達式var定義如下：var=omega*z^alpha(1)EViews將不會估計omega。omega的值將被固定在估計的開始值上。

第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

三．估計的順序logL說明包含了一個或多個能夠產生包含似然貢獻的序列的賦值語句。在執(zhí)行這些賦值語句的時候，EViews總是從頂部到底部執(zhí)行，所以后面計算要用到的表達式應放在前面。EViews對整個樣本重復地計算每個表達式。EViews對模型進行重復計算時采用方程順序和樣本觀測值順序兩種不同方式，這樣就必須指定采用那種方式，即觀測值和方程的執(zhí)行順序。

第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二默認情形下，EViews用觀測值順序來計算模型，此種方式是先用第一個觀測值來計算所有的賦值語句，接下來是用第二個觀測值來計算所有的賦值語句，如此往復，直到估計樣本中所有觀測值都使用過。這是用觀測值順序來計算遞歸模型的正確順序，遞歸模型中每一個觀測值的似然貢獻依賴于前面的觀測值，例如AR模型或ARCH模型。可以改變計算的順序，這樣EViews就可以用方程順序來計算模型，先用所有的觀測值來計算第一個賦值語句，然后用所有的觀測值計算第二個賦值語句，如此往復，對說明中每一個賦值語句都用同樣方式進行計算。這是用中間序列的總量統(tǒng)計作為后面計算的輸入的模型的正確順序?？梢酝ㄟ^在說明中加入一條語句來聲明所選擇的計算方法。要用方程順序來計算，僅加一行關鍵字“@byeqn”。要用樣本順序來計算，可以用關鍵字“@byobs”。如果沒有給出關鍵字，那么系統(tǒng)默認為“@byobs”。第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

例1對于一個普通回歸方程（18-1/eq-qgdptc)(18.5)

qgdptc是季度GDP季節(jié)調整后序列，ratec是實際利率，m1tc是M1季節(jié)調整后序列，其極大似然函數貢獻為利用極大似然方法求解，作為@byobs語句的一個例子，考慮下面的說明（18-1/logl-qgdptc)：

第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二@logllogl1@byobsres=log(qgdptc)-c(1)-c(2)*ratec(-3)-c(3)*log(m1tc(-1))var=c(4)logl1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2@tempresvarlogl1如果在說明中有遞歸結構，或要求基于中間結果總量統(tǒng)計的計算的條件下，如果想得到正確的結果，就必須選擇適當的計算順序。第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二利用極大似然方法估計出未知參數0，1，2，

2后，寫出方程為：(2.43)(-2.3)(17.16)第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二例2我們在12章研究人均家庭交通及通訊支出(CUM)和可支配收入(IN

)的關系，考慮如下方程：cumi

=c0+c1ini

+ui

。為消除方程中的異方差，利用加權最小二乘求解（18-2/eq-w)。也可用同樣的處理方法利用極大似然方法求解，作為@byeqn語句的一個例子，考慮下面的說明：

@logLl_w@byeqnres=cum-c(1)-c(2)*invar=c(3)weight=1/abs(res)l_w=-log(2*3.1415926)/2-log(weight*@sqrt(var))-(weight*res)^2/(weight^2*var))/2@tempresvarl_wweight這個說明通過利用殘差res建立加權向量weight=1/abs(res)來完成一個加權最小二乘回歸。res的賦值語句計算了在每次計算時的殘差，而這被用做構造權重序列。@byeqn語句指示EViews在一個給定的迭代過程中，必須先算出所有的殘差res，然后再計算殘差的加權向量weight。

第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二利用極大似然方法估計出未知參數c0，c1，

2后，寫出方程為：(-2656507)(22105600)第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

四．解析導數默認情形下，當極大化似然函數和形成標準差的估計時，EViews計算似然函數關于參數的數值微分。也可以用@deriv語句為一個或多個導數指定解析表達式，該語句格式為：@derivpname1sname1pname2sname2...這里pname是模型中的一個參數名稱，而sname是由模型產生的對應的導數序列的名稱。例如@deriva(1)grad1a(2)grad2a(3)grad3grad1=xa/dgrad2=grad1*x1grad3=grad2*x2

第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二五．導數步長如果模型的參數沒有指定解析微分，EViews將用數值方法來計算似然函數關于這些參數的導數。在計算導數時的步長由兩個參數控制：r

(相對步長)和m（最小步長）。用表示參數在第i次迭代時的值，那么在第i+1次迭代時的步長由下式定義：(18.6)雙側數值微分被定義為：(18.7)

第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二而單側數值微分則由下式計算：(18.8)這里f是似然函數。雙側導數更加精確，但它要對似然函數進行的計算量大概是單側導數的兩倍，運行時間上也是如此。@derivstep可以用來控制步長和在每次迭代時計算導數的方法。關鍵字@derivstep后面必須設置三項：被設置的參數名（或用關鍵字@all代替）；相對步長；最小步長。默認設置（近似的）為：@derivstep(1)@all1.49e-81e-10這里括弧里的“１”表示用的是單側導數，而@all關鍵字表示設置的步長適用于所有參數。@all后面第一個數值是相對步長，第二個數值是最小步長。默認的相對步長被設置為1.4910-8，而最小步長為m＝10-10。

第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.3估計一旦定義了一個似然對象，可以用EViews來尋找使得似然函數取最大值的參數值。只需在似然窗口工具欄中單擊Estimate就可以打開估計對話框。在這個對話框里有許多用來控制估計過程不同方面的選項。大多數問題使用默認設置就可以。單擊OK，EViews將用當前的設置開始估計。

第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

一．初值由于EViews使用迭代法來求極大似然估計，初值的選擇就顯得非常重要了。對于似然函數只有一個極大值的問題，只是經過多少次迭代使估計收斂的問題。對于那些多個極大值的似然函數所面臨的問題是決定選擇極大值中哪一個。在某些情況下，如果不給出合理的初值，EViews將無法作出估計。默認情況下，EViews使用儲存在系數向量或估計前的向量中的值。如果在說明中用了@param語句，那么就用語句指定的值來代替。在模型(18-1)的例子中，為均值方程系數賦初值的一個方法是簡單的OLS法，這是因為即使在異方差性（有界）存在的條件下，OLS也提供了一致的點估計。為了用OLS估計值作為初值，首先要用下面的命令來估計OLS方程：equationeq1.1sycxz在對這個方程進行估計后，C系數向量中的元素c(1)，c(2)，c(3)將包含OLS估計的結果。第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二要設置c(4)表示OLS估計的殘差方差，可以在命令窗口中輸入下面的賦值語句：c(4)=eq1.@se^2?？蛇x擇地，可以利用簡單的賦值語句任意設置參數值：c(4)=0.005現在，如果在執(zhí)行了OLS估計及其后面的命令后馬上估計logl模型的話，那么將用設置在C向量里的值作為初值。象上面我們提到的那樣，將參數初始值賦值為已知值的另一種方法是在似然模型說明中加入@param語句。例如，如果在logl的說明中加入了下面的行:@paramc(1)0.1c(2)0.1c(3)0.1c(4)0.005那么EViews會將初值設置為:c(1)=c(2)=c(3)=0.1，c(4)=0.005。第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

二．估計樣本在估計對數似然函數的參數時，EViews就在EstimationOption對話框里指定了將使用的觀測值的樣本。EViews在當前參數值下，將使用觀測值順序或方程順序用樣本中的每一個觀測值來對logl中每個表達式進行計算。所有這些計算都服從于EViews中關于序列表達式計算的規(guī)則。如果在對數似然序列的初始參數值中有缺少值，EViews將發(fā)出錯誤信息而估計過程也將終止。相對于其他的EViews內部過程的處理方式，在估計模型參數時logl估計不能進行終點調整或是去掉那些欠缺值的觀測值。

第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.4LogL視圖

(1)likelihoodSpecification:顯示定義和編輯似然說明的窗口。(2)EstimationOutput:顯示通過最大化似然函數得到的估計結果。(3)CovarianceMatrix:顯示參數估計的協(xié)方差矩陣。這是通過計算在最優(yōu)參數值下一階導數的外積的和的逆求得的。可以用@cov這個函數將其保存為(SYM)矩陣。(4)WaldCoefficientTest:執(zhí)行Wald系數限制檢驗。參看第15章，系數檢驗，關于Wald檢驗的討論。

第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二(5)Gradients:如果模型沒有被估計，顯示當前參數值下logL的梯度（一階導數）視圖，若模型已經被估計，則顯示收斂的參數值下logL的梯度視圖。當你處理收斂問題時，這些圖將成為有用的鑒別工具。(6)

CheckDerivatives:如果使用了@param語句，顯示在初值下數值微分和解析微分（如果可獲得）的值，如果沒有使用@param語句，則給出在當前值下數值微分和解析微分的值，以及用模型中所有樣本計算的每個系數數值微分的和。

第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.5LogL過程

(1)Estimate:彈出一個設置估計選項的對話框，并估計對數似然函數的參數。(2)MakeModel:建立一個估計對數似然函數說明的未命名的模型對象。(3)MakeGradientGroup:在參數估計值下創(chuàng)建一個未命名的對數似然函數的梯度組（一階導數）。這些梯度常用來構造拉格朗日乘數檢驗。(4)UpdateCoefsfromLogL:用似然函數對象得出的估計值來更新系數向量。該過程讓你可以將極大似然估計結果作為其他估計問題的初始值。大多數這些過程和EViews的其他估計對象相似。下面我們將著重介紹LogL對象所獨有的特征。

第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

1．估計輸出LogL對象的標準輸出除了包含系數和標準差估計外，還描述了估計的方法，估計使用的樣本，估計的日期和時間，計算順序以及估計過程收斂的信息,EViews還提供了對數似然函數值，平均對數似然函數值，系數個數以及三個信息標準。

第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

2．梯度梯度表格視圖可以檢查似然函數的梯度。如果模型尚未估計，那么就在當前參數值下計算梯度，若模型已經估計出來了，就在收斂的參數值下計算。

視圖在處理收斂性或奇點問題時是一個有用的鑒別工具。一個常見的問題是，由錯誤的定義似然過程，不恰當的初值，或是模型不可識別等導致某個參數的導數為零可能產生奇異矩陣。

第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

3．檢查導數可以用CheckDerivatives視圖來檢查數值微分或是解析微分表達式的是否有效。如果在對數似然函數說明中包含了@param語句，那么將用指定的值來計算導數，否則將用當前系數值來計算導數。該視圖的第一部分列出了用戶提供的導數的名稱，步長參數和計算導數時使用的系數值。本例中列出的相對步長和最小步長都是默認設置。第二部分用模型中所有樣本計算了每個系數的數值微分的和，如果可能的話，還要計算解析微分的和。第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.6問題解答

由于logL對象的極大的靈活性，在使用對數似然方法進行估計時比使用其他EViews的內部估計方法更容易出錯。如果在估計時遇到了困難，下面的建議將幫助解決這些問題：

(1)檢查似然說明

一個簡單錯誤包括錯誤符號就可以使估計過程停止工作。必須檢查模型的每個參數是否確實定義了（在某些說明中可能不得不將參數標準化）。另外，模型中出現的每個參數必須直接的或間接的影響似然貢獻。CheckDerivatives視圖可以部分的解決后者的問題。

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(2)選擇初值如果由于缺失值或數學運算域錯誤（對負數取對數或取平方根，除數為零等等）導致樣本中似然貢獻無法評價，那么將立刻停止估計并給出錯誤信息：“Cannotcompute@loglduetomissingvalues(由于缺失值無法計算@logL)”。另外，選擇的初值不恰當也可能使似然函數效果不理想。應該給參數一個合理的初值。如果有一個近似求解該問題的簡單的估計技術，可以把由該方法得到的估計值作為極大似然估計的初值。

(3)檢查導數如果使用解析微分，使用CheckDerivatives視圖來確認是否已經正確的標記了導數。如果使用的是數值微分，就要考慮指定解析微分或是調整導數方法或步長選項。

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(4)估計前正確地處理滯后值問題和其他EViews估計程序相比，在估計一個對數似然模型時，logL估計程序不會用NA或滯后形式從樣本中自動去掉某個觀測值。如果似然說明包含滯后值，必須從估計樣本的開始值中去掉一些觀測值，或者必須對說明作出標記從而使前面樣本中的錯誤值不會影響到整個樣本（參見AR(1)和GARCH模型的示例）。既然用來評價似然函數的序列包含在工作文件中（除非使用了@temp語句刪除它們），那么可以利用這些中間結果序列來檢驗對數似然和中間序列的值，以發(fā)現滯后和缺值的問題。

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(5)修正模型參數如果有導致數學錯誤的參數值的問題，可以考慮修正模型參數以將之限制在其有效域內。我們看到的大多數估計過程中的錯誤信息本身具有解釋。而錯誤信息“nearsingularmatrix(近似奇異矩陣)”卻不是很明確的。當EViews不能求由導數外積的和構成的矩陣的逆以致不能決定最優(yōu)化過程下一步的方向時，就給出這個錯誤信息。這個錯誤可能意味著各種類型的錯誤，其中包括不適當的初值，但是當在理論上或對有效數據，模型不可識別時，幾乎總是出現這種錯誤。

第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.7限制

必須注意對數似然中估計參數使用的算法并不是對任意的問題都適用的。在似然貢獻的導數的外積的和的基礎上，該算法給出了對數似然函數的Hessian矩陣的近似值。該近似值是建立在極大似然目標函數的函數形式和統(tǒng)計特性的基礎之上的，而且在一般條件它并不是一個理想的近似值。因此，可能或不可能用其他函數形式來獲得結果。此外，只有當描述似然貢獻的序列，其單個貢獻都被正確的設定并具有好的理論對數似然定義時，參數值的標準差才有意義?，F在，用來描述似然貢獻的表達式必須遵守EViews關于序列表達式的規(guī)則。這些限制暗示我們不能在似然說明中使用矩陣運算。為了寫出聯立方程模型的似然函數，必須寫出行列式和二次型的表達式。對于那些多于三個方程的模型而言，這樣做盡管是可能的，但會很繁瑣。這種情況的例子參見多元GARCH程序。另外，對數似然方法不能直接處理一般的不等式約束的最優(yōu)化問題。

第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§18.8實例

一、AR(1)模型的極大似然函數一階自回歸過程有如下形式，記作AR(1)：

(18.9)～在此情形下，總體參數向量為。首先考察樣本中第一個觀察值y1的概率分布。由于在時，存在一個滿足(18.9)的協(xié)方差平穩(wěn)過程，此時，，所以，第一個觀察值的密度函數形如(18.10)

第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二接下來考慮第二個觀察值Y2在觀察到的Y1=y1條件下的分布。由(18.9)(18.11)可以將隨機變量Y1視做確定性常數y1。在此情形下，(18.11)給出Y2作為常數和隨機變量的和。因此～，(18.12)一般地，只通過Yt-1

對Yt起作用，第t個觀察值以前t-1個觀察值為條件的分布為：

(18.13)第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二完全樣本的似然函數為

(18.14)其對數似然函數（記作log）可由(18.14)取對數求得：(18.15)將(18.10)和(18.14)代入(18.15)，由AR(1)過程得到一個樣本量為T的樣本的對數似然為(18.16)第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

例3AR(1)模型的極大似然估計

（18-ar1)

我們用數據生成過程生成Y，其中t是一個白噪聲過程，即t～。AR(1)過程的樣本量為T的對數似然函數為(18.16)式，總體參數向量為。利用極大似然估計方法估計的AR(1)模型:@LOGLLOGL1@PARAMC(1)-0.5RHO(1)0.85RES=@RECODE(D1=1,Y-C(1)/(1-RHO(1)),Y-C(1)-RHO(1)*Y(-1))VAR=@RECODE(D1=1,S2(1)/(1-RHO(1)^2),S2(1))SRES=RES/@SQRT(VAR)LOGL1=LOG(@DNORM(SRES))-LOG(VAR)/2@TEMPRESVARSRESLOGL1

其中@RECODE函數的第1個參數是條件，如果滿足，執(zhí)行第2個表達式；否則執(zhí)行第3個表達式。第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二AR(1)模型的表達式為：（-3.05)(17.22)第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二

二、GARCH（1,1）的極大似然函數標準的GARCH（p,q）模型的形式為：(18.16)要想寫出GARCH（p,q）模型的極大似然函數，首先要分析擾動項ut

的密度函數。為了方便起見，我們對方程(18.16)采用另外一種方法來表示，它對ut的序列相關施以更強的假定。假定；(18.17)這里，{vt}是一個i.i.d.序列，其均值為0，方差為1：第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二如果ht的變化服從(18.18)那么(18.17)意味著，(18.19)因此，如果ut是由(18.17)和(18.18)產生的話，那么ut服從GARCH（p,q）過程，并且線性投影(18.19)是其條件期望。如果vt

～N(0,1)，yt的條件分布為正態(tài)分布，其均值為，方差為ht，則其密度函數為:(18.20)式中Yt-1表示

t

-1時刻前的信息集合，第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二(18.21)將欲估計的未知參數列成一個向量：則樣本對數似然函數是(18.22)

第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二但是，很多金融時間序列的無條件分布不同于正態(tài)分布，它們具有更寬的尾部，也就是說，即使(18.17)中的vt為正態(tài)分布，ut的無條件分布也是一個非正態(tài)分布。大量事實表明，ut的條件分布也常常是非正態(tài)的。對于非正態(tài)分布可以使用原來的基本方法。例如，博勒斯萊文（1987）認為(18.17)中的vt可以取自一個自由度為k