非線形規(guī)劃講稿

-PAGE8-一、基本概念二、一維搜索由于線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，因而求出的最?yōu)解就是整個(gè)可行域上的全局最優(yōu)解。非線性規(guī)劃卻不然，有時(shí)求出的某個(gè)解雖是一部分可行域上的極值點(diǎn)，但并不一定是整個(gè)可行域上的全局最優(yōu)解。對(duì)于非線性規(guī)劃模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最優(yōu)解。迭代方法的基本思想是：從一個(gè)選定的初始點(diǎn)出發(fā)，按照某一特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)列，使得當(dāng)是有窮點(diǎn)列時(shí)，其最后一個(gè)點(diǎn)是(NP)的最優(yōu)解；當(dāng)是無(wú)窮點(diǎn)列時(shí)，它有極限點(diǎn)，并且其極限點(diǎn)是(NP)的最優(yōu)解。0°選取初始點(diǎn)，令。1°構(gòu)造搜索方向，依照一定規(guī)則，構(gòu)造在點(diǎn)處關(guān)于的可行下降方向作為搜索方向。2°尋求搜索步長(zhǎng)。以為起點(diǎn)沿搜索方向?qū)で筮m當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，使目標(biāo)函數(shù)值有某種意義的下降。3°求出下一個(gè)迭代點(diǎn)。按迭代格式（1）求出。若已滿足某種終止條件，停止迭代。4°以代替，回到1°步。無(wú)約束問題2.1一維搜索方法當(dāng)用迭代法求函數(shù)的極小點(diǎn)時(shí)，常常用到一維搜索，即沿某一已知方向求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。一維搜索的方法很多，常用的有：（1）試探法（“成功—失敗”，斐波那契法，0.618法等）；插值法（拋物線插值法，三次插值法等）；（3）微積分中的求根法（切線法，二分法等）。考慮一維極小化問題（2）若是區(qū)間上的下單峰函數(shù)，我們介紹通過不斷地縮短的長(zhǎng)度，來(lái)搜索得（2）的近似最優(yōu)解的兩個(gè)方法。雅為了縮短區(qū)間捷，逐步搜索得石（傻2默）的最優(yōu)解狂的近似值，我襪們可以采用以蜓下途徑：在閱中任取兩個(gè)關(guān)姐于奪是對(duì)稱的點(diǎn)最和態(tài)（不妨設(shè)茶，并把它們叫鳳做搜索點(diǎn)），組計(jì)算艷和戒并比較它們的甩大小。對(duì)于單處峰函數(shù)，若鎖，則必有旋，因而灘是縮短了的單勒峰區(qū)間；若憐，則有合，故械是縮短了的單余峰區(qū)間；若頑，則險(xiǎn)和轟都是縮短了的趕單峰。因此通繩過兩個(gè)搜索點(diǎn)塊處目標(biāo)函數(shù)值掩大小的比較，決總可以獲得縮為短了的單峰區(qū)寇間。對(duì)于新的夠單峰區(qū)間重復(fù)魄上述做法，顯戶然又可獲得更佛短的單峰區(qū)間止。如此進(jìn)行，釘在單峰區(qū)間縮鳳短到充分小時(shí)靜，我們可以取重最后的搜索點(diǎn)促作為洋（邀2雪）最優(yōu)解的近筍似值。等三、無(wú)約束極擾值含無(wú)約束極值問藝題可表述為疤渣囑欄識(shí)虎幟重幸鏈岔（泥5因）訪求解問題隸（蚊5趨）的迭代法大靜體上分為兩種愿：紹一是用到函數(shù)潛的一階導(dǎo)數(shù)或罪二階導(dǎo)數(shù)，稱蘆為解析法。另權(quán)一是僅用到函徐數(shù)值，稱為直湯接法。坑債前解析法本汽.1殊梯度法（最速增下降法）定對(duì)基本迭代格賽式薦盛藥垮躍臥斬卡攪尿習(xí)烤（椒6王）調(diào)我們總是考慮旅從點(diǎn)步出發(fā)沿哪一個(gè)到方向破，使目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)下降得最快。莖微積分的知識(shí)給告訴我們，點(diǎn)險(xiǎn)的負(fù)梯度方向潮有采，喚是從點(diǎn)援出發(fā)使荷下降最快的方綿向。為此，稱屑負(fù)梯度方向碎為軟在點(diǎn)協(xié)處的最速下降梁方向。談按基本迭代格行式痛（著6避），每一輪從意點(diǎn)限出發(fā)沿最速下驕降方向謠作一維搜索，賓來(lái)建立求解無(wú)誰(shuí)約束極值問題蒙的方法，稱之桂為最速下降法妻。范這個(gè)方法的特鼠點(diǎn)是，每輪的佛搜索方向都是孕目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)欣前點(diǎn)下降最快壯的方向。同時(shí)夏，用螞或趙作為停止條件作。其具體步驟脹如下：跳1驗(yàn)°內(nèi)選取初始數(shù)據(jù)星。選取初始點(diǎn)霸，給定終止誤趟差，令五。至2享°閘求梯度向量。握計(jì)算折，描逃若饅，停止迭代，莊輸出啞。否則，進(jìn)辨行馳3絮°膜。勞3賄°僵研構(gòu)造負(fù)梯度方晉向。取.卻4°致進(jìn)行一維搜索燥。求閑，使得拔杜令轉(zhuǎn)2°。墓例醉4給漠高用最速下降法柜求解無(wú)約束非器線性規(guī)劃問題砍其中抽，要求選取初濾始點(diǎn)概，終止誤差妙。解：（=1\*romani）倆編寫央M既文件佛detaf.廈m泊如下許functi適on感[f,df]棗=detaf任(x);雹f=x(1)午^2+25*哪x(2)^2墊;舅df(1)=夜2*x(1)鍋;器df(2)=健50*x(2直);近（=2\*roman動(dòng)ii鉛）編寫初M褲文件俗zuisu.賓mclc甩x=[2;2模];傭[f0,g]時(shí)=detaf洪(x);熟while懲norm(g嬌)>0.00魔0001務(wù)p=-殿g'/nor廊m(g);當(dāng)響t=1.0;榮f=deta腹f(x+t*未p);差學(xué)while安f>f0蠶磨t=t/2;撇f=deta勾f(x+t*史p);end看x=x+t*聾p屆[f0,g]泛=detaf梁(x)end限2煎.3.1的.2Ne胃wton釘法關(guān)考慮目標(biāo)函數(shù)橫在點(diǎn)箭處的二次逼近喜式勿假定咬Hesse賤陣正定。進(jìn)由于只正定，函數(shù)勇的穩(wěn)定點(diǎn)極是澡的最小點(diǎn)。為窄求此最小點(diǎn)，遍令，即可解得.樓對(duì)照基本迭代妄格式柴（訪1穴），可知從點(diǎn)爽出發(fā)沿搜索方女向。壇并取步長(zhǎng)少即可得片的最小點(diǎn)鮮。通常，把方上向那叫做從點(diǎn)音出發(fā)的授Newton砍方向。從一初企始點(diǎn)開始，每斜一輪從當(dāng)前迭駕代點(diǎn)出發(fā)，沿品Newton穿方向并取步長(zhǎng)洞為短1脈的求解方法，絞稱之為預(yù)Newton娃法。其具體步州驟如下：欲1肝°惱選取初始數(shù)據(jù)河。選取初始點(diǎn)師，給定終止誤茄差嚷，令串。度2能°衡求梯度向量。臭計(jì)算卵，若沿，停止迭代，桃輸出耗。否則，進(jìn)移行棒3間°嗎。俯3股°獨(dú)構(gòu)造險(xiǎn)Newton妄方向。計(jì)算即，取.消4°因求下一迭代點(diǎn)怒。令佛，鳥轉(zhuǎn)律2貸°美。位例鄰5蘭建礦用賀Newton漂法求解，選取，。解：（=1\*romani）溜編寫標(biāo)M熊文件蟲nwfun.蘋m儲(chǔ)如下：亭functi釣on震[f,df,貧d顆2f奴]=nwfu務(wù)n(x);廚f=x(1)謎^4+25*脾x(2)^4墊+x(1)^撲2*x(2)摘^2;刃df(1)=勿4*x(1)抗^3+2*x攪(1)*x(之2)^2;敲df(2)=搏100*x(烤2)^3+2誓*x(1)^蠶2*x(2)卻;沾d魂2f罵(我1,1)=1河2*x(1)照^2+2*x媽(2)^2;株d念2f孟(您1,2)=4腐*x(1)*栽x(2);尼d鑒2f粒(狼2,1)=d宅2f紡(籠1,2);芒d棄2f監(jiān)(看2,2)=3我00*x(2規(guī))^2+4*袍x(1)*x姿(2);伯（=2\*roman蕩ii糠）編寫遙M敏文件：clc羊x=[2;2翼];細(xì)[f0,g1你,g2]=n黎wfun(x帥)枝while病norm(g周1)>0.0辱0001撲禽%dead我loop,f氣ori=1攻:3清葛p=-inv朵(g2)*g旗1',p=p水/norm(距p)則t=1壘.0,f=d濟(jì)etaf(x沸+t*p)振愁while堪f>f0醒館t=t/2,僅f=deta攝f(x+t*應(yīng)p),end殊x=x+t*圾p和[f0,g1勞,g2]=n李wfun(x澆)end稿如果目標(biāo)函數(shù)主是非二次函數(shù)襪，一般地說(shuō)，吩用屬Newton徹法通過有限輪左迭代并不能保浮證可求得其最納優(yōu)解。親Newton燒法的優(yōu)點(diǎn)是收莫斂速度快；缺瘡點(diǎn)是有時(shí)不好難用而需采取改傍進(jìn)措施，此外影，當(dāng)維數(shù)較高描時(shí)，計(jì)算詳?shù)墓ぷ髁亢艽蟪?。順?智約束極值問題落帶有約束條件炎的極值問題稱績(jī)?yōu)榧s束極值問烤題，也叫約束誦規(guī)劃問題。讀求解約束極值鐘問題要比求解驅(qū)無(wú)約束極值問萄題困難得多。嚇為了簡(jiǎn)化其優(yōu)剝化工作，可采執(zhí)用以下方法：槐將約束問題化班為無(wú)約束問題鋒；將非線性規(guī)啞劃問題化為線賠性規(guī)劃問題，爪以及能將復(fù)雜徹問題變換為較傾簡(jiǎn)單問題的其板它方法。二次規(guī)劃圓若某非線性規(guī)訴劃的目標(biāo)函數(shù)聚為自變量丘的二次函數(shù)，肌約束條件又全蓄是線性的，就射稱這種規(guī)劃為鍬二次規(guī)劃。肅Matlab甜中二次規(guī)劃的稠數(shù)學(xué)模型可表義述如下：未這里想是實(shí)對(duì)稱矩陣驢，巾是列向量，維是相應(yīng)維數(shù)的愚矩陣。滋Matlab乏中求解二次規(guī)慕劃的命令是貫[X,FVA編L]=QU娃ADPROG踢(H,f,A昏,b,Aeq盟,beq,L撞B,UB,X早0,OPTI榜ONS)菠X肢的返回值是向續(xù)量需，車FVAL宴的返回值是目拍標(biāo)函數(shù)在刷X菌處的值。（具杏體細(xì)節(jié)可以參溜看在木Matlab艦指令中運(yùn)行溫helpq者uadpro拒g蝶后的幫助）。爹例悶8易圣主求解二次規(guī)劃虹解千羨垮編寫如下程序享：襲h=[4,-君4;-4,8摔];渠f=[-6;囑-3];荷a=[1,1彈;4,1];皇b=[3;9鼻];怎[x,val憑ue]=qu胸adprog治(h,f,a壁,b,[],死[],zer長(zhǎng)os(2,1務(wù)))求得舅爭(zhēng)脖。罰函數(shù)法草利用罰函數(shù)法福，可將非線性恥規(guī)劃問題的求殘解，轉(zhuǎn)化為求覆解一系列無(wú)約旗束極值問題，贏因而也稱這種誦方法為序列無(wú)借約束最小化技大術(shù)，簡(jiǎn)記為鋸

SUMT奧(Seque若ntial豈Uncons選traine型dMini攜mi副zation鋼Techn江ique)把。汁罰函數(shù)法求解工非線性規(guī)劃問稅題的思想是，腳利用問題中的財(cái)約束函數(shù)作出托適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)浴，由此構(gòu)造出梨帶參數(shù)的增廣福目標(biāo)函數(shù)，把崗問題轉(zhuǎn)化為無(wú)流約束非線性規(guī)趟劃問題。主要存有兩種形式，德一種叫外罰函涂數(shù)法，另一種汽叫內(nèi)罰函數(shù)法作，下面介紹外鷹罰函數(shù)法。近考慮如下問題妨：s.t.帝取一個(gè)充分大岡的扮數(shù)堆桌駕，構(gòu)造函數(shù)（或企這暮里帥倆，祝，陳，腿為適當(dāng)?shù)男邢蜃α?，媽Matlab鼻中可以直接利材用春龜和嗎扎函數(shù)。）則以受增廣目標(biāo)函數(shù)梅為目標(biāo)函數(shù)的承無(wú)約束極值問貫題補(bǔ)的最優(yōu)解重也是原問題的齒最優(yōu)解。羅例燥9圾求下列非線性你規(guī)劃泰解罩輸(=1\*roman稿i帝)盛編趙寫倒去M挨文底件開離test.m狂蛛functi王on據(jù)g=test采(x);鎮(zhèn)M=5000犧0;偷f=x(1)工^2+x(2拒)^2+8;京g=f-M*捎min(x(華1),0)-邁M*min(太x(2),0掏)-M*mi氏n(x(1)堤^2-x(2瘡),0)腐...滋怕+M*abs逢(-x(1)蛾-x(2)^宰2+2);扎(=2\*roman峰ii革)降在在Matlab到命令窗口輸入岔[歲x牙,y]蝕=fminu厘nc卵(銳'test'額,峰rand(2岡,違1渾))付即可求得問題裳的解。馬§4剩嗓飛行管理問題日在香約加1舉0蝴，垃000圈m鈴高空的某邊長(zhǎng)怨160幟km心的正方形區(qū)域盛內(nèi)，經(jīng)常有若碎干架飛機(jī)作水墳平飛行。區(qū)域符內(nèi)每架飛機(jī)的挑位置和速度向癢量均由計(jì)算機(jī)納記錄其數(shù)據(jù)，底以便進(jìn)行飛行梢管理。當(dāng)一架廢欲進(jìn)入該區(qū)域斑的飛機(jī)到達(dá)區(qū)洞域邊緣時(shí)，記虹錄其數(shù)據(jù)后，帶要立即計(jì)算并汗判斷是否會(huì)與條區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)慘發(fā)生碰撞。如據(jù)果會(huì)碰撞，則折應(yīng)計(jì)算如何調(diào)昨整各架（包括昏新進(jìn)入的）飛忠機(jī)飛行的方向驕角，以避免碰學(xué)撞?，F(xiàn)假定條竭件如下：派1扮）不碰撞的標(biāo)酷準(zhǔn)為任意兩架奧飛機(jī)的距離大康于同8袍km介;鄙2脹）飛機(jī)飛行方侮向角調(diào)整的幅水度不應(yīng)超過么30禾度；迅3扮）所有飛機(jī)飛換行速度均為每北小時(shí)振800營(yíng)km劫;蔬4長(zhǎng)）進(jìn)入該區(qū)域旦的飛機(jī)在到達(dá)懸區(qū)域邊緣時(shí)，奶與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)范的距離應(yīng)在寬60km夢(mèng)以上；獵5仁）最多需考販慮摧6芳架飛機(jī)；換6聽）不必考慮飛歷機(jī)離開此區(qū)域賢后的狀況。恒請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避厚免碰撞的飛行脅管理問題建立逢數(shù)學(xué)模型，列貼出計(jì)算步驟，竟對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)場(chǎng)行計(jì)算（方向感角誤差不超王過掘0葡.01控度），要求飛促機(jī)飛行方向角前調(diào)整的幅度盡蔑量小。攀設(shè)該區(qū)拴域陽(yáng)4瘋個(gè)頂點(diǎn)的座標(biāo)悟?yàn)橹?屑0,0)立，蒙(校160,0)劉，慨(160,1皮60射)箏，小(齒0,160)竄。記錄數(shù)據(jù)為迎：姨飛機(jī)編碼號(hào)蓮男紋橫座標(biāo)醒榨胖縱座標(biāo)售氏華方向角（度）天1工腰15塔0痛1揮40竄攏243核2釀主8抽5基喘85瞞奏236缸3局店15興0沈1抓55戰(zhàn)河220到.5竿4染憑14盾5日奏50苗嬌159亮5堤營(yíng)13強(qiáng)0流1鄉(xiāng)50谷艙230躺脹新進(jìn)魔入油閘0詠岸0什乞多52役注：方向角指耳飛行方向與尼軸正向的夾角遍。述試根據(jù)實(shí)際應(yīng)同用背景對(duì)你的墊模型進(jìn)行評(píng)價(jià)權(quán)與推廣。提示：，，滿其中渴為飛機(jī)的總架梳數(shù)，設(shè)為返時(shí)刻第蓮架飛機(jī)的坐標(biāo)遮，糟分別表示第匪架飛機(jī)飛出正壘方形區(qū)域邊界壇的時(shí)刻。這里，，；，，；次其中皮為飛機(jī)的速度輛，輔分別為第梨架飛機(jī)的初始很方向角和調(diào)整豪后的方向角。令其中，樸則兩架飛機(jī)不