非線形規(guī)劃講稿

-PAGE8-一、基本概念二、一維搜索由于線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，可行域為凸集，因而求出的最優(yōu)解就是整個可行域上的全局最優(yōu)解。非線性規(guī)劃卻不然，有時求出的某個解雖是一部分可行域上的極值點，但并不一定是整個可行域上的全局最優(yōu)解。對于非線性規(guī)劃模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最優(yōu)解。迭代方法的基本思想是：從一個選定的初始點出發(fā)，按照某一特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個點列，使得當(dāng)是有窮點列時，其最后一個點是(NP)的最優(yōu)解；當(dāng)是無窮點列時，它有極限點，并且其極限點是(NP)的最優(yōu)解。0°選取初始點，令。1°構(gòu)造搜索方向，依照一定規(guī)則，構(gòu)造在點處關(guān)于的可行下降方向作為搜索方向。2°尋求搜索步長。以為起點沿搜索方向?qū)で筮m當(dāng)?shù)牟介L，使目標(biāo)函數(shù)值有某種意義的下降。3°求出下一個迭代點。按迭代格式（1）求出。若已滿足某種終止條件，停止迭代。4°以代替，回到1°步。無約束問題2.1一維搜索方法當(dāng)用迭代法求函數(shù)的極小點時，常常用到一維搜索，即沿某一已知方向求目標(biāo)函數(shù)的極小點。一維搜索的方法很多，常用的有：（1）試探法（“成功—失敗”，斐波那契法，0.618法等）；插值法（拋物線插值法，三次插值法等）；（3）微積分中的求根法（切線法，二分法等）?？紤]一維極小化問題（2）若是區(qū)間上的下單峰函數(shù)，我們介紹通過不斷地縮短的長度，來搜索得（2）的近似最優(yōu)解的兩個方法。雅為了縮短區(qū)間捷，逐步搜索得石（傻2默）的最優(yōu)解狂的近似值，我襪們可以采用以蜓下途徑：在閱中任取兩個關(guān)姐于奪是對稱的點最和態(tài)（不妨設(shè)茶，并把它們叫鳳做搜索點），組計算艷和戒并比較它們的甩大小。對于單處峰函數(shù)，若鎖，則必有旋，因而灘是縮短了的單勒峰區(qū)間；若憐，則有合，故械是縮短了的單余峰區(qū)間；若頑，則險和轟都是縮短了的趕單峰。因此通繩過兩個搜索點塊處目標(biāo)函數(shù)值掩大小的比較，決總可以獲得縮為短了的單峰區(qū)寇間。對于新的夠單峰區(qū)間重復(fù)魄上述做法，顯戶然又可獲得更佛短的單峰區(qū)間止。如此進(jìn)行，釘在單峰區(qū)間縮鳳短到充分小時靜，我們可以取重最后的搜索點促作為洋（邀2雪）最優(yōu)解的近筍似值。等三、無約束極擾值含無約束極值問藝題可表述為疤渣囑欄識虎幟重幸鏈岔（泥5因）訪求解問題隸（蚊5趨）的迭代法大靜體上分為兩種愿：紹一是用到函數(shù)潛的一階導(dǎo)數(shù)或罪二階導(dǎo)數(shù)，稱蘆為解析法。另權(quán)一是僅用到函徐數(shù)值，稱為直湯接法。坑債前解析法本汽.1殊梯度法（最速增下降法）定對基本迭代格賽式薦盛藥垮躍臥斬卡攪尿習(xí)烤（椒6王）調(diào)我們總是考慮旅從點步出發(fā)沿哪一個到方向破，使目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)下降得最快。莖微積分的知識給告訴我們，點險的負(fù)梯度方向潮有采，喚是從點援出發(fā)使荷下降最快的方綿向。為此，稱屑負(fù)梯度方向碎為軟在點協(xié)處的最速下降梁方向。談按基本迭代格行式痛（著6避），每一輪從意點限出發(fā)沿最速下驕降方向謠作一維搜索，賓來建立求解無誰約束極值問題蒙的方法，稱之桂為最速下降法妻。范這個方法的特鼠點是，每輪的佛搜索方向都是孕目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)欣前點下降最快壯的方向。同時夏，用螞或趙作為停止條件作。其具體步驟脹如下：跳1驗°內(nèi)選取初始數(shù)據(jù)星。選取初始點霸，給定終止誤趟差，令五。至2享°閘求梯度向量。握計算折，描逃若饅，停止迭代，莊輸出啞。否則，進(jìn)辨行馳3絮°膜。勞3賄°僵研構(gòu)造負(fù)梯度方晉向。取.卻4°致進(jìn)行一維搜索燥。求閑，使得拔杜令轉(zhuǎn)2°。墓例醉4給漠高用最速下降法柜求解無約束非器線性規(guī)劃問題砍其中抽，要求選取初濾始點概，終止誤差妙。解：（=1\*romani）倆編寫央M既文件佛detaf.廈m泊如下許functi適on感[f,df]棗=detaf任(x);雹f=x(1)午^2+25*哪x(2)^2墊;舅df(1)=夜2*x(1)鍋;器df(2)=健50*x(2直);近（=2\*roman動ii鉛）編寫初M褲文件俗zuisu.賓mclc甩x=[2;2模];傭[f0,g]時=detaf洪(x);熟while懲norm(g嬌)>0.00魔0001務(wù)p=-殿g'/nor廊m(g);當(dāng)響t=1.0;榮f=deta腹f(x+t*未p);差學(xué)while安f>f0蠶磨t=t/2;撇f=deta勾f(x+t*史p);end看x=x+t*聾p屆[f0,g]泛=detaf梁(x)end限2煎.3.1的.2Ne胃wton釘法關(guān)考慮目標(biāo)函數(shù)橫在點箭處的二次逼近喜式勿假定咬Hesse賤陣正定。進(jìn)由于只正定，函數(shù)勇的穩(wěn)定點極是澡的最小點。為窄求此最小點，遍令，即可解得.樓對照基本迭代妄格式柴（訪1穴），可知從點爽出發(fā)沿搜索方女向。壇并取步長少即可得片的最小點鮮。通常，把方上向那叫做從點音出發(fā)的授Newton砍方向。從一初企始點開始，每斜一輪從當(dāng)前迭駕代點出發(fā)，沿品Newton穿方向并取步長洞為短1脈的求解方法，絞稱之為預(yù)Newton娃法。其具體步州驟如下：欲1肝°惱選取初始數(shù)據(jù)河。選取初始點師，給定終止誤茄差嚷，令串。度2能°衡求梯度向量。臭計算卵，若沿，停止迭代，桃輸出耗。否則，進(jìn)移行棒3間°嗎。俯3股°獨構(gòu)造險Newton妄方向。計算即，取.消4°因求下一迭代點怒。令佛，鳥轉(zhuǎn)律2貸°美。位例鄰5蘭建礦用賀Newton漂法求解，選取，。解：（=1\*romani）溜編寫標(biāo)M熊文件蟲nwfun.蘋m儲如下：亭functi釣on震[f,df,貧d顆2f奴]=nwfu務(wù)n(x);廚f=x(1)謎^4+25*脾x(2)^4墊+x(1)^撲2*x(2)摘^2;刃df(1)=勿4*x(1)抗^3+2*x攪(1)*x(之2)^2;敲df(2)=搏100*x(烤2)^3+2誓*x(1)^蠶2*x(2)卻;沾d魂2f罵(我1,1)=1河2*x(1)照^2+2*x媽(2)^2;株d念2f孟(您1,2)=4腐*x(1)*栽x(2);尼d鑒2f粒(狼2,1)=d宅2f紡(籠1,2);芒d棄2f監(jiān)(看2,2)=3我00*x(2規(guī))^2+4*袍x(1)*x姿(2);伯（=2\*roman蕩ii糠）編寫遙M敏文件：clc羊x=[2;2翼];細(xì)[f0,g1你,g2]=n黎wfun(x帥)枝while病norm(g周1)>0.0辱0001撲禽%dead我loop,f氣ori=1攻:3清葛p=-inv朵(g2)*g旗1',p=p水/norm(距p)則t=1壘.0,f=d濟(jì)etaf(x沸+t*p)振愁while堪f>f0醒館t=t/2,僅f=deta攝f(x+t*應(yīng)p),end殊x=x+t*圾p和[f0,g1勞,g2]=n李wfun(x澆)end稿如果目標(biāo)函數(shù)主是非二次函數(shù)襪，一般地說，吩用屬Newton徹法通過有限輪左迭代并不能保浮證可求得其最納優(yōu)解。親Newton燒法的優(yōu)點是收莫斂速度快；缺瘡點是有時不好難用而需采取改傍進(jìn)措施，此外影，當(dāng)維數(shù)較高描時，計算詳?shù)墓ぷ髁亢艽蟪贰ｍ槨?智約束極值問題落帶有約束條件炎的極值問題稱績?yōu)榧s束極值問烤題，也叫約束誦規(guī)劃問題。讀求解約束極值鐘問題要比求解驅(qū)無約束極值問萄題困難得多。嚇為了簡化其優(yōu)剝化工作，可采執(zhí)用以下方法：槐將約束問題化班為無約束問題鋒；將非線性規(guī)啞劃問題化為線賠性規(guī)劃問題，爪以及能將復(fù)雜徹問題變換為較傾簡單問題的其板它方法。二次規(guī)劃圓若某非線性規(guī)訴劃的目標(biāo)函數(shù)聚為自變量丘的二次函數(shù)，肌約束條件又全蓄是線性的，就射稱這種規(guī)劃為鍬二次規(guī)劃。肅Matlab甜中二次規(guī)劃的稠數(shù)學(xué)模型可表義述如下：未這里想是實對稱矩陣驢，巾是列向量，維是相應(yīng)維數(shù)的愚矩陣。滋Matlab乏中求解二次規(guī)慕劃的命令是貫[X,FVA編L]=QU娃ADPROG踢(H,f,A昏,b,Aeq盟,beq,L撞B,UB,X早0,OPTI榜ONS)菠X肢的返回值是向續(xù)量需，車FVAL宴的返回值是目拍標(biāo)函數(shù)在刷X菌處的值。（具杏體細(xì)節(jié)可以參溜看在木Matlab艦指令中運行溫helpq者uadpro拒g蝶后的幫助）。爹例悶8易圣主求解二次規(guī)劃虹解千羨垮編寫如下程序享：襲h=[4,-君4;-4,8摔];渠f=[-6;囑-3];荷a=[1,1彈;4,1];皇b=[3;9鼻];怎[x,val憑ue]=qu胸adprog治(h,f,a壁,b,[],死[],zer長os(2,1務(wù)))求得舅爭脖。罰函數(shù)法草利用罰函數(shù)法福，可將非線性恥規(guī)劃問題的求殘解，轉(zhuǎn)化為求覆解一系列無約旗束極值問題，贏因而也稱這種誦方法為序列無借約束最小化技大術(shù)，簡記為鋸

SUMT奧(Seque若ntial豈Uncons選traine型dMini攜mi副zation鋼Techn江ique)把。汁罰函數(shù)法求解工非線性規(guī)劃問稅題的思想是，腳利用問題中的財約束函數(shù)作出托適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)浴，由此構(gòu)造出梨帶參數(shù)的增廣福目標(biāo)函數(shù)，把崗問題轉(zhuǎn)化為無流約束非線性規(guī)趟劃問題。主要存有兩種形式，德一種叫外罰函涂數(shù)法，另一種汽叫內(nèi)罰函數(shù)法作，下面介紹外鷹罰函數(shù)法。近考慮如下問題妨：s.t.帝取一個充分大岡的扮數(shù)堆桌駕，構(gòu)造函數(shù)（或企這暮里帥倆，祝，陳，腿為適當(dāng)?shù)男邢蜃α浚瑡孧atlab鼻中可以直接利材用春龜和嗎扎函數(shù)。）則以受增廣目標(biāo)函數(shù)梅為目標(biāo)函數(shù)的承無約束極值問貫題補(bǔ)的最優(yōu)解重也是原問題的齒最優(yōu)解。羅例燥9圾求下列非線性你規(guī)劃泰解罩輸(=1\*roman稿i帝)盛編趙寫倒去M挨文底件開離test.m狂蛛functi王on據(jù)g=test采(x);鎮(zhèn)M=5000犧0;偷f=x(1)工^2+x(2拒)^2+8;京g=f-M*捎min(x(華1),0)-邁M*min(太x(2),0掏)-M*mi氏n(x(1)堤^2-x(2瘡),0)腐...滋怕+M*abs逢(-x(1)蛾-x(2)^宰2+2);扎(=2\*roman峰ii革)降在在Matlab到命令窗口輸入岔[歲x牙,y]蝕=fminu厘nc卵(銳'test'額,峰rand(2岡,違1渾))付即可求得問題裳的解。馬§4剩嗓飛行管理問題日在香約加1舉0蝴，垃000圈m鈴高空的某邊長怨160幟km心的正方形區(qū)域盛內(nèi)，經(jīng)常有若碎干架飛機(jī)作水墳平飛行。區(qū)域符內(nèi)每架飛機(jī)的挑位置和速度向癢量均由計算機(jī)納記錄其數(shù)據(jù)，底以便進(jìn)行飛行梢管理。當(dāng)一架廢欲進(jìn)入該區(qū)域斑的飛機(jī)到達(dá)區(qū)洞域邊緣時，記虹錄其數(shù)據(jù)后，帶要立即計算并汗判斷是否會與條區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)慘發(fā)生碰撞。如據(jù)果會碰撞，則折應(yīng)計算如何調(diào)昨整各架（包括昏新進(jìn)入的）飛忠機(jī)飛行的方向驕角，以避免碰學(xué)撞?，F(xiàn)假定條竭件如下：派1扮）不碰撞的標(biāo)酷準(zhǔn)為任意兩架奧飛機(jī)的距離大康于同8袍km介;鄙2脹）飛機(jī)飛行方侮向角調(diào)整的幅水度不應(yīng)超過么30禾度；迅3扮）所有飛機(jī)飛換行速度均為每北小時振800營km劫;蔬4長）進(jìn)入該區(qū)域旦的飛機(jī)在到達(dá)懸區(qū)域邊緣時，奶與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)范的距離應(yīng)在寬60km夢以上；獵5仁）最多需考販慮摧6芳架飛機(jī)；換6聽）不必考慮飛歷機(jī)離開此區(qū)域賢后的狀況。恒請你對這個避厚免碰撞的飛行脅管理問題建立逢數(shù)學(xué)模型，列貼出計算步驟，竟對以下數(shù)據(jù)進(jìn)場行計算（方向感角誤差不超王過掘0葡.01控度），要求飛促機(jī)飛行方向角前調(diào)整的幅度盡蔑量小。攀設(shè)該區(qū)拴域陽4瘋個頂點的座標(biāo)悟為柱(屑0,0)立，蒙(校160,0)劉，慨(160,1皮60射)箏，小(齒0,160)竄。記錄數(shù)據(jù)為迎：姨飛機(jī)編碼號蓮男紋橫座標(biāo)醒榨胖縱座標(biāo)售氏華方向角（度）天1工腰15塔0痛1揮40竄攏243核2釀主8抽5基喘85瞞奏236缸3局店15興0沈1抓55戰(zhàn)河220到.5竿4染憑14盾5日奏50苗嬌159亮5堤營13強(qiáng)0流1鄉(xiāng)50谷艙230躺脹新進(jìn)魔入油閘0詠岸0什乞多52役注：方向角指耳飛行方向與尼軸正向的夾角遍。述試根據(jù)實際應(yīng)同用背景對你的墊模型進(jìn)行評價權(quán)與推廣。提示：，，滿其中渴為飛機(jī)的總架梳數(shù)，設(shè)為返時刻第蓮架飛機(jī)的坐標(biāo)遮，糟分別表示第匪架飛機(jī)飛出正壘方形區(qū)域邊界壇的時刻。這里，，；，，；次其中皮為飛機(jī)的速度輛，輔分別為第梨架飛機(jī)的初始很方向角和調(diào)整豪后的方向角。令其中，樸則兩架飛機(jī)不