全國(guó)通用版講義第二章 平面解析幾何初步2-1-1

§2.1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式2.1.1數(shù)軸上的基本公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解實(shí)數(shù)運(yùn)算在數(shù)軸上的幾何意義.2.掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式.3.掌握數(shù)軸上向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)一數(shù)軸(或直線坐標(biāo)系)思考1數(shù)軸是怎樣定義的？答案一條給出了原點(diǎn)、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說(shuō)在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系．思考2實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有怎樣的關(guān)系？答案實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．梳理數(shù)軸的概念(1)數(shù)軸(直線坐標(biāo)系)的定義：一條給出了原點(diǎn)、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說(shuō)在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系．(2)數(shù)軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x的對(duì)應(yīng)法則點(diǎn)P的位置原點(diǎn)朝正向的一側(cè)原點(diǎn)原點(diǎn)朝負(fù)向的一側(cè)與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x正數(shù)0負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)x的大小等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離0絕對(duì)值等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離依據(jù)這個(gè)法則，實(shí)數(shù)集和數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)數(shù)軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)如果點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)，則稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，記作P(x)．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)軸上的向量及有關(guān)概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？答案它們都是既有大小，又有方向的量．思考2一名同學(xué)從A地直接跑到B地，用eq\o(AB,\s\up6(→))表示，你能用這種方法表示該同學(xué)從B地返回到A地嗎？它們相等嗎？答案eq\o(BA,\s\up6(→)).不相等，因?yàn)樗鼈兎较虿煌伎?相等的向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)相等嗎？答案相等的向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定相等，可以通過(guò)平移將所有相等的向量移到同一個(gè)向量處．梳理數(shù)軸上的向量及有關(guān)概念(1)向量的定義如果數(shù)軸上的任意一點(diǎn)A沿著軸的正向或負(fù)向移動(dòng)到另一點(diǎn)B，則說(shuō)點(diǎn)在軸上作了一次位移，點(diǎn)不動(dòng)則說(shuō)點(diǎn)作了零位移，位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡(jiǎn)稱為向量．(2)向量的描述向量的表示從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量，記作eq\o(AB,\s\up6(→))，點(diǎn)A叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)，點(diǎn)B叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的終點(diǎn)向量的長(zhǎng)度線段AB的長(zhǎng)叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|(3)相等的向量數(shù)軸上同向且等長(zhǎng)的向量叫做相等的向量．知識(shí)點(diǎn)三數(shù)軸上的基本公式位移的和在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A作一次位移到點(diǎn)B，接著由點(diǎn)B再作一次位移到點(diǎn)C，則位移eq\o(AC,\s\up6(→))叫做位移eq\o(AB,\s\up6(→))與位移eq\o(BC,\s\up6(→))的和，記作eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))向量坐標(biāo)運(yùn)算法則對(duì)數(shù)軸上任意三點(diǎn)A，B，C，都具有關(guān)系A(chǔ)C＝AB＋BC向量坐標(biāo)表示及距離公式已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(x1)，B(x2)，則AB＝x2－x1，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|類型一數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系例1(1)如果點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(－2)，點(diǎn)N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)A(x2＋x＋1)與點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))的位置關(guān)系．解(1)由題意可知，點(diǎn)M(－2)位于點(diǎn)N(3)的左側(cè)，而P點(diǎn)位于兩點(diǎn)之間，應(yīng)滿足－2<x<3.(2)∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∴當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，A、B兩點(diǎn)重合；當(dāng)x≠－eq\f(1,2)時(shí)，x2＋x＋1>eq\f(3,4)，∴點(diǎn)A位于點(diǎn)B右側(cè)．綜上所述，A、B兩點(diǎn)重合或點(diǎn)A位于點(diǎn)B右側(cè)．反思與感悟根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)軸上的點(diǎn)自左到右對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)依次增大．跟蹤訓(xùn)練1不在數(shù)軸上畫(huà)點(diǎn)，判斷下列各組點(diǎn)的位置關(guān)系(主要說(shuō)明哪一個(gè)點(diǎn)位于另一個(gè)點(diǎn)的右側(cè))．(1)A(－1.5)，B(－3)；(2)A(a)，B(a2＋1)；(3)A(|x|)，B(x)．解(1)∵－1.5>－3，∴點(diǎn)A(－1.5)位于點(diǎn)B(－3)的右側(cè)．(2)∵a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴a2＋1>a，∴點(diǎn)B(a2＋1)位于點(diǎn)A(a)的右側(cè)．(3)當(dāng)x≥0時(shí)，|x|＝x，則點(diǎn)A(|x|)和點(diǎn)B(x)為同一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x<0時(shí)，|x|>x，則點(diǎn)A(|x|)位于點(diǎn)B(x)的右側(cè)．類型二數(shù)軸上的向量和基本公式例2已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3.(1)求OA，AB的坐標(biāo)；(2)求所有滿足條件的點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離之和．解(1)∵點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為3或－3.①當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3時(shí)，∵A，B之間的距離為1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2或4.此時(shí)OA的坐標(biāo)為3，AB的坐標(biāo)為－1或1；②當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為－3時(shí)，∵A，B之間的距離為1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為－4或－2.此時(shí)OA的坐標(biāo)為－3，AB的坐標(biāo)為－1或1.(2)所有滿足條件的點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離之和為2＋4＋4＋2＝12.反思與感悟數(shù)軸上的向量的計(jì)算策略(1)熟練掌握一些條件變換，如－MQ＝QM.(2)通過(guò)條件變換合理分組，靈活地運(yùn)用向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．(3)熟記公式并正確地理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義．跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A(－1)，B(5)，C(x)．(1)當(dāng)|AB|＋d(B，C)＝8時(shí)，求x；(2)當(dāng)AB＋CB＝0時(shí)，求x；(3)當(dāng)AC＝1時(shí)，求證：AB＋BC＝AC.(1)解由題意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|，當(dāng)|AB|＋d(B，C)＝8時(shí)，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)解由AB＋CB＝0可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)證明當(dāng)AC＝1時(shí)，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.類型三數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離例3已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)，B(5)．求：當(dāng)a為何值時(shí)，(1)兩點(diǎn)間的距離為5；(2)兩點(diǎn)間的距離大于5；(3)兩點(diǎn)間的距離小于3.解數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B之間的距離為|AB|＝|a－5|.(1)根據(jù)題意得|a－5|＝5，解得a＝0或a＝10.(2)根據(jù)題意得|a－5|>5，即a－5>5或a－5<－5，解得a>10或a<0.(3)根據(jù)題意得|a－5|<3，即－3<a－5<3，解得2<a<8.反思與感悟一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義是實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．跟蹤訓(xùn)練3已知M，N，P是數(shù)軸上三點(diǎn)，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M，P)．解M，N，P是數(shù)軸上三點(diǎn)，|MN|＝5，|NP|＝3.(1)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M，N之間時(shí)(如圖所示)，d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M、N之外時(shí)(如圖所示)，d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.綜上所述，d(M，P)＝2或d(M，P)＝8.1．下列說(shuō)法中，正確的是()A．向量不能比較大小，所以向量無(wú)大小B．零向量是沒(méi)有方向的C．向量的長(zhǎng)度也是向量的數(shù)量D．若AB＝4，則BA＝－4答案D2．下列說(shuō)法正確的是()A．兩點(diǎn)確定一條有向線段B．有向線段AB的數(shù)量AB＝－|BA|C．若A，B，C是數(shù)軸上的任意三點(diǎn)，則一定有AB＝AC＋CBD．點(diǎn)A(2)，B(－1)，則AB＝3答案C3．A，B為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是－1，AB＝6，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．5B．－7C．5或－7D．－5或7答案A4．若在直線坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6)，B(－9)，且AB＋BC＝2016，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案20225．在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)A(－9)的距離是它到點(diǎn)B(－3)的距離的2倍．解設(shè)所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5)．1．向量的有關(guān)概念及表示要正確區(qū)分向量、向量的長(zhǎng)度、向量的坐標(biāo)(數(shù)量)這幾個(gè)概念，它們分別用eq\o(AB,\s\up6(→))、|eq\o(AB,\s\up6(→))|、AB來(lái)表示；兩個(gè)向量相等，必須長(zhǎng)度和方向都相同；零向量是起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，它的長(zhǎng)度為0，方向不確定．2．向量的有關(guān)運(yùn)算公式數(shù)軸上向量加法的運(yùn)算法則是對(duì)于數(shù)軸上任意三點(diǎn)A，B，C，都具有AC＝AB＋BC(或eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．?dāng)?shù)軸上的向量坐標(biāo)公式AB＝x2－x1(A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1，x2)，即數(shù)軸上一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式d(A，B)＝|x2－x1|.3．?dāng)?shù)軸上向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則對(duì)數(shù)軸上的任意三點(diǎn)A，B，C都有AC＝AB＋BC，可理解為AC的坐標(biāo)等于首尾相連的兩個(gè)向量AB，BC的坐標(biāo)之和.一、選擇題1．下列說(shuō)法中正確的是()A．?dāng)?shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)B．?dāng)?shù)軸上有兩個(gè)不同的點(diǎn)表示同一個(gè)實(shí)數(shù)C．任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一的點(diǎn)D．有的實(shí)數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來(lái)答案C解析根據(jù)點(diǎn)與實(shí)數(shù)在數(shù)軸上建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可以判定．2．在數(shù)軸上M，N，P的坐標(biāo)分別是3，－1，－5，則MP－PN等于()A．－4B．4C．－12D．12答案C解析∵M(jìn)P＝－5－3＝－8，PN＝－1－(－5)＝4，∴MP－PN＝－8－4＝－12.3．在數(shù)軸上從點(diǎn)A(－2)引一線段到點(diǎn)B(1)，再同向延長(zhǎng)同樣的長(zhǎng)度到點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．13B．0C．4D．－2答案C解析如圖所示，故C(4)為所求．4．如圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A，B，C，D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a，b，c，d，且d－2a＝10，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是()A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)答案B解析用排除法，如原點(diǎn)為A，則a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A；同樣的方法，排除C、D；若原點(diǎn)為B，則a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，滿足條件，故選B.5．若點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，則AD等于()A．0B．－2C．10D．－10答案B6．在數(shù)軸上，已知任意三點(diǎn)A，B，O，下列關(guān)系中，不正確的是()A．AB＝OB－OAB．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OBD．AB＋AO＋BO＝0答案D解析∵OB－OA＝OB＋AO＝AO＋OB＝AB，∴AB＝OB－OA，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B、C顯然正確；AB＋AO＋BO＝2AO≠0，故選項(xiàng)D不正確．7．在數(shù)軸上，已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．x＞2B．x＞1C．x＜3D．x＜1答案B解析∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐標(biāo)公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故選B.8．設(shè)數(shù)軸上三點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在A，C之間，則下列等式成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|B．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|答案C解析根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的相對(duì)位置可知，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，故C成立．二、填空題9．已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，則x1的值為_(kāi)_______．答案－6或4解析由|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4.10．在數(shù)軸上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，AB＝4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______；已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為2，|MN|＝1，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案－11或3解析設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x.∵AB＝3－x＝4，∴x＝－1.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為y.∵|MN|＝|2－y|＝1，∴y＝1或y＝3.11．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，則a＝________；若AB＝7.5，則a＝________.答案－2或13－2解析∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，則5.5－a＝7.5，解得a＝－2.三、解答題12．在數(shù)軸上，已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－3,7,9.(1)求AB＋BC＋CA的值；(2)求|AB|＋|BC|＋|CA|的值．解(1)AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；(2)|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.13．已知數(shù)軸上有點(diǎn)A(－2)，B(1)，D(3)，點(diǎn)C在直線AB上，且有eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2)，延長(zhǎng)DC到E，使eq\f(dC，E,dD，E)＝eq\f(1,4)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解設(shè)C(x)，E(x′)，則eq