全國通用版講義第二章 平面解析幾何初步2-1-1

§2.1平面直角坐標系中的基本公式2.1.1數(shù)軸上的基本公式學習目標1.理解實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系，理解實數(shù)運算在數(shù)軸上的幾何意義.2.掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式.3.掌握數(shù)軸上向量加法的坐標運算．知識點一數(shù)軸(或直線坐標系)思考1數(shù)軸是怎樣定義的？答案一條給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標系．思考2實數(shù)集與數(shù)軸上的點有怎樣的關系？答案實數(shù)集與數(shù)軸上的點存在著一一對應的關系．梳理數(shù)軸的概念(1)數(shù)軸(直線坐標系)的定義：一條給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標系．(2)數(shù)軸上的點P與實數(shù)x的對應法則點P的位置原點朝正向的一側原點原點朝負向的一側與點P對應的實數(shù)x正數(shù)0負數(shù)實數(shù)x的大小等于點P到原點的距離0絕對值等于點P到原點的距離依據(jù)這個法則，實數(shù)集和數(shù)軸上的點之間建立了一一對應關系．(3)數(shù)軸上點P的坐標如果點P與實數(shù)x對應，則稱點P的坐標為x，記作P(x)．知識點二數(shù)軸上的向量及有關概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？答案它們都是既有大小，又有方向的量．思考2一名同學從A地直接跑到B地，用eq\o(AB,\s\up6(→))表示，你能用這種方法表示該同學從B地返回到A地嗎？它們相等嗎？答案eq\o(BA,\s\up6(→)).不相等，因為它們方向不同．思考3相等的向量的起點與終點相等嗎？答案相等的向量的起點與終點不一定相等，可以通過平移將所有相等的向量移到同一個向量處．梳理數(shù)軸上的向量及有關概念(1)向量的定義如果數(shù)軸上的任意一點A沿著軸的正向或負向移動到另一點B，則說點在軸上作了一次位移，點不動則說點作了零位移，位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡稱為向量．(2)向量的描述向量的表示從點A到點B的向量，記作eq\o(AB,\s\up6(→))，點A叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的起點，點B叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的終點向量的長度線段AB的長叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|(3)相等的向量數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量．知識點三數(shù)軸上的基本公式位移的和在數(shù)軸上，如果點A作一次位移到點B，接著由點B再作一次位移到點C，則位移eq\o(AC,\s\up6(→))叫做位移eq\o(AB,\s\up6(→))與位移eq\o(BC,\s\up6(→))的和，記作eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))向量坐標運算法則對數(shù)軸上任意三點A，B，C，都具有關系AC＝AB＋BC向量坐標表示及距離公式已知數(shù)軸上兩點A(x1)，B(x2)，則AB＝x2－x1，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|類型一數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應關系例1(1)如果點P(x)位于點M(－2)，點N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點A(x2＋x＋1)與點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))的位置關系．解(1)由題意可知，點M(－2)位于點N(3)的左側，而P點位于兩點之間，應滿足－2<x<3.(2)∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∴當x＝－eq\f(1,2)時，A、B兩點重合；當x≠－eq\f(1,2)時，x2＋x＋1>eq\f(3,4)，∴點A位于點B右側．綜上所述，A、B兩點重合或點A位于點B右側．反思與感悟根據(jù)數(shù)軸上點與實數(shù)的對應關系，數(shù)軸上的點自左到右對應的實數(shù)依次增大．跟蹤訓練1不在數(shù)軸上畫點，判斷下列各組點的位置關系(主要說明哪一個點位于另一個點的右側)．(1)A(－1.5)，B(－3)；(2)A(a)，B(a2＋1)；(3)A(|x|)，B(x)．解(1)∵－1.5>－3，∴點A(－1.5)位于點B(－3)的右側．(2)∵a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴a2＋1>a，∴點B(a2＋1)位于點A(a)的右側．(3)當x≥0時，|x|＝x，則點A(|x|)和點B(x)為同一個點；當x<0時，|x|>x，則點A(|x|)位于點B(x)的右側．類型二數(shù)軸上的向量和基本公式例2已知數(shù)軸上有A、B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3.(1)求OA，AB的坐標；(2)求所有滿足條件的點B到原點O的距離之和．解(1)∵點A與原點O的距離為3，∴點A的坐標為3或－3.①當點A的坐標為3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為2或4.此時OA的坐標為3，AB的坐標為－1或1；②當點A的坐標為－3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為－4或－2.此時OA的坐標為－3，AB的坐標為－1或1.(2)所有滿足條件的點B到原點O的距離之和為2＋4＋4＋2＝12.反思與感悟數(shù)軸上的向量的計算策略(1)熟練掌握一些條件變換，如－MQ＝QM.(2)通過條件變換合理分組，靈活地運用向量的運算法則進行計算．(3)熟記公式并正確地理解數(shù)學符號的含義．跟蹤訓練2已知數(shù)軸上的三點A(－1)，B(5)，C(x)．(1)當|AB|＋d(B，C)＝8時，求x；(2)當AB＋CB＝0時，求x；(3)當AC＝1時，求證：AB＋BC＝AC.(1)解由題意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|，當|AB|＋d(B，C)＝8時，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)解由AB＋CB＝0可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)證明當AC＝1時，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.類型三數(shù)軸上兩點間的距離例3已知數(shù)軸上兩點A(a)，B(5)．求：當a為何值時，(1)兩點間的距離為5；(2)兩點間的距離大于5；(3)兩點間的距離小于3.解數(shù)軸上兩點A，B之間的距離為|AB|＝|a－5|.(1)根據(jù)題意得|a－5|＝5，解得a＝0或a＝10.(2)根據(jù)題意得|a－5|>5，即a－5>5或a－5<－5，解得a>10或a<0.(3)根據(jù)題意得|a－5|<3，即－3<a－5<3，解得2<a<8.反思與感悟一個實數(shù)的絕對值的幾何意義是實數(shù)在數(shù)軸上的對應點到原點的距離．跟蹤訓練3已知M，N，P是數(shù)軸上三點，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M，P)．解M，N，P是數(shù)軸上三點，|MN|＝5，|NP|＝3.(1)當點P在點M，N之間時(如圖所示)，d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)當點P在點M、N之外時(如圖所示)，d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.綜上所述，d(M，P)＝2或d(M，P)＝8.1．下列說法中，正確的是()A．向量不能比較大小，所以向量無大小B．零向量是沒有方向的C．向量的長度也是向量的數(shù)量D．若AB＝4，則BA＝－4答案D2．下列說法正確的是()A．兩點確定一條有向線段B．有向線段AB的數(shù)量AB＝－|BA|C．若A，B，C是數(shù)軸上的任意三點，則一定有AB＝AC＋CBD．點A(2)，B(－1)，則AB＝3答案C3．A，B為數(shù)軸上的兩點，點A的坐標是－1，AB＝6，那么點B的坐標為()A．5B．－7C．5或－7D．－5或7答案A4．若在直線坐標系中，有兩點A(6)，B(－9)，且AB＋BC＝2016，則點C的坐標為________．答案20225．在數(shù)軸上求一點P，使它到點A(－9)的距離是它到點B(－3)的距離的2倍．解設所求點P的坐標為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5)．1．向量的有關概念及表示要正確區(qū)分向量、向量的長度、向量的坐標(數(shù)量)這幾個概念，它們分別用eq\o(AB,\s\up6(→))、|eq\o(AB,\s\up6(→))|、AB來表示；兩個向量相等，必須長度和方向都相同；零向量是起點和終點重合的向量，它的長度為0，方向不確定．2．向量的有關運算公式數(shù)軸上向量加法的運算法則是對于數(shù)軸上任意三點A，B，C，都具有AC＝AB＋BC(或eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．數(shù)軸上的向量坐標公式AB＝x2－x1(A、B兩點的坐標分別為x1，x2)，即數(shù)軸上一個向量的坐標等于其終點坐標減去起點坐標，數(shù)軸上兩點距離公式d(A，B)＝|x2－x1|.3．數(shù)軸上向量加法的坐標運算法則對數(shù)軸上的任意三點A，B，C都有AC＝AB＋BC，可理解為AC的坐標等于首尾相連的兩個向量AB，BC的坐標之和.一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．數(shù)軸上一個點可以表示兩個不同的實數(shù)B．數(shù)軸上有兩個不同的點表示同一個實數(shù)C．任何一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對應的唯一的點D．有的實數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來答案C解析根據(jù)點與實數(shù)在數(shù)軸上建立一一對應關系可以判定．2．在數(shù)軸上M，N，P的坐標分別是3，－1，－5，則MP－PN等于()A．－4B．4C．－12D．12答案C解析∵MP＝－5－3＝－8，PN＝－1－(－5)＝4，∴MP－PN＝－8－4＝－12.3．在數(shù)軸上從點A(－2)引一線段到點B(1)，再同向延長同樣的長度到點C，則點C的坐標為()A．13B．0C．4D．－2答案C解析如圖所示，故C(4)為所求．4．如圖所示，在數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位長度，點A，B，C，D對應的數(shù)分別是整數(shù)a，b，c，d，且d－2a＝10，那么數(shù)軸的原點應是()A．A點B．B點C．C點D．D點答案B解析用排除法，如原點為A，則a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A；同樣的方法，排除C、D；若原點為B，則a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，滿足條件，故選B.5．若點A，B，C，D在一條直線上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，則AD等于()A．0B．－2C．10D．－10答案B6．在數(shù)軸上，已知任意三點A，B，O，下列關系中，不正確的是()A．AB＝OB－OAB．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OBD．AB＋AO＋BO＝0答案D解析∵OB－OA＝OB＋AO＝AO＋OB＝AB，∴AB＝OB－OA，故選項A正確；選項B、C顯然正確；AB＋AO＋BO＝2AO≠0，故選項D不正確．7．在數(shù)軸上，已知A，B，C三點的坐標分別為x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，則實數(shù)x的取值范圍是()A．x＞2B．x＞1C．x＜3D．x＜1答案B解析∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐標公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故選B.8．設數(shù)軸上三點A，B，C，點B在A，C之間，則下列等式成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|B．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|答案C解析根據(jù)A，B，C三點的相對位置可知，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，故C成立．二、填空題9．已知數(shù)軸上點A，B的坐標分別為x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，則x1的值為________．答案－6或4解析由|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4.10．在數(shù)軸上，已知點B的坐標為3，AB＝4，則點A的坐標為________；已知點N的坐標為2，|MN|＝1，則點M的坐標為________．答案－11或3解析設點A的坐標為x.∵AB＝3－x＝4，∴x＝－1.設點M的坐標為y.∵|MN|＝|2－y|＝1，∴y＝1或y＝3.11．已知數(shù)軸上兩點A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，則a＝________；若AB＝7.5，則a＝________.答案－2或13－2解析∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，則5.5－a＝7.5，解得a＝－2.三、解答題12．在數(shù)軸上，已知A，B，C三點的坐標分別為－3,7,9.(1)求AB＋BC＋CA的值；(2)求|AB|＋|BC|＋|CA|的值．解(1)AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；(2)|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.13．已知數(shù)軸上有點A(－2)，B(1)，D(3)，點C在直線AB上，且有eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2)，延長DC到E，使eq\f(dC，E,dD，E)＝eq\f(1,4)，求點E的坐標．解設C(x)，E(x′)，則eq