湖南省九校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷【含答案】

高三下學(xué)期數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題1．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程的兩根為，則（）A．4 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)，則下列論述正確的是（）A．且，使B．，當(dāng)時(shí)，有恒成立C．使有意義的必要不充分條件為D．使成立的充要條件為4．如圖所示，一個(gè)球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（）A． B． C． D．5．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面，平面截圓錐側(cè)面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．26．下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率知識的判斷，正確的是（）A．將總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，且已知，則總體方差B．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則7．如圖，是平行四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則（）A．2 B． C． D．18．已知、，且，對任意均有，則（）A．， B．，C．， D．，二、多選題9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱10．已知為圓上的兩點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A．直線與圓相離B．當(dāng)為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)C．當(dāng)時(shí)，的最大值是D．當(dāng)為圓的兩條切線時(shí)，直線過定點(diǎn)11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為712．如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為三、填空題13．已知的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.14．對于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，則稱數(shù)列為原數(shù)列的二階差數(shù)列.已知數(shù)列的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.15．已知直線，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.若過點(diǎn)的圓與直線相切，且與直線交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為.16．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.四、解答題17．已知分別為三角形三個(gè)內(nèi)角的對邊，且有.（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求.18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，試求除以3的余數(shù).19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實(shí)助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收.某貧困地區(qū)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2022年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲~39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，且“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”.參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表（1）現(xiàn)對該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)？使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表

年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用直播售用戶不常使用直播銷售用戶合計(jì)（2）某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇：方案一：線下銷售?根據(jù)市場調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%，可能虧損15%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.方案二：線上直播銷售.根據(jù)市場調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為針對以上兩種銷售方案，請你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說明理由.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最大值為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.求證：直線過定點(diǎn).22．已知.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

1．B2．C3．B4．D5．A6．C7．D8．B9．B,C10．A,D11．A,B,D12．B,C,D13．-8414．15．16．17．（1）解：由，有，.即，所以，因?yàn)?，所以，即：，又因?yàn)椋?（2）解：解法一：設(shè)，則，在△中，由正弦定理知，，即，化簡得，，則，即.解法二：如圖所示，取中點(diǎn)，延長與的延長線交于點(diǎn)，連接，由有，由，設(shè)，則，即，故，所以，即為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以，又，所以△為正三角形，又平分，所以，所以.18．（1）解：由有，即，又，故，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，故，兩式相減得，即，所以，因此的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）及，有，所以，又，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以存在正整數(shù)使得，故，所以除以3的余數(shù)為2.19．（1）證明：取中點(diǎn)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危摇?，則有∥=所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以四邊形為矩形，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?又平面，所以，由，得，又，所以為等腰直角三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，三條直線兩兩互相垂直且交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，由，有，取，設(shè)平面的法向量為，由，有，取，.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．（1）解：由圖1知，“年輕人”占比為，即有人），“非年輕人”有200人由圖2知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶”占比為，即有（人），“不常使用直播銷售用戶”有（人）.“經(jīng)常使用直播銷售用戶中的年輕人”有（人），“經(jīng)常使用直播銷售用戶中的非年輕人”有120-人.∴補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：

年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用直播銷售用戶10020120不常使用直播銷隹用戶602080合計(jì)16040200零假設(shè)：經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡相互獨(dú)立，即經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡無關(guān).于是.∴.根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，即認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡無關(guān).（2）解：若按方案一，設(shè)獲利萬元，則可取的值為，則的分布列為：3000萬元..（或.）若按方案二，設(shè)獲利萬元，則可取的值為，則的分布列為：5000萬元，106900.（或.）∵.①方案一與方案二的利潤均值差異不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，從穩(wěn)定性方面看方案一線下銷售更穩(wěn)妥，故答案為：方案一.②方案一的利潤均值低于方案二，選擇方案二.21．（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則，則，因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，解得（舍去）；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述：，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)且，則，則直線為，令，得，即，同理可得.∵與關(guān)于軸對稱，則，解得，矛盾；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，其中且，聯(lián)立方程組，消去化簡可得，，則，所以，由，可得，所以直線的方程為，令，得，即，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)楹完P(guān)于軸對稱，則，把代入上式，則，整理可得，則，∵，則，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)；綜上所述：直線過定點(diǎn).22．（1）解：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或，，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或，，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）證明：由，有，