現(xiàn)代理論課件9wzj第六章最優(yōu)控制

第六章最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題的提出研究控制系統(tǒng)的兩大課題：●控制系統(tǒng)的分析●

控制系統(tǒng)的綜合在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析系統(tǒng)的各種性能（如：響應(yīng)、能控性、能觀性、穩(wěn)定性）及性能與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和外部作用間的關(guān)系。設(shè)計(jì)控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律，以保證系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)要求都得到滿足。24月-23最優(yōu)控制問題的提出1.常規(guī)綜合：綜合目標(biāo)僅是為了使系統(tǒng)的性能滿足某種籠統(tǒng)的指標(biāo)。2.最優(yōu)綜合：綜合目標(biāo)要確保系統(tǒng)的性能指標(biāo)在某種意義上達(dá)到最優(yōu)。系統(tǒng)綜合的分類：系統(tǒng)的最優(yōu)控制34月-23最優(yōu)控制與最優(yōu)化的關(guān)系⒈最優(yōu)控制屬于最優(yōu)化的范疇。⒉最優(yōu)控制和最優(yōu)化有著共同的性質(zhì)和理論基礎(chǔ)。⒊最優(yōu)化所涉及的內(nèi)容極為廣泛。⒋最優(yōu)控制通常是針對(duì)控制系統(tǒng)而言。研究最優(yōu)控制的理論方法：變分法極小值原理動(dòng)態(tài)規(guī)劃44月-23§6-1

概述(1)一、最優(yōu)化的概念A(yù)900包C1200包B600包運(yùn)費(fèi)1元運(yùn)費(fèi)2元運(yùn)費(fèi)4元運(yùn)費(fèi)4元運(yùn)費(fèi)5元運(yùn)費(fèi)9元倉庫甲1500包水泥倉庫乙1800包水泥怎樣發(fā)運(yùn)使運(yùn)費(fèi)最?。?4月-23§6-1

概述(2)

二、建立數(shù)學(xué)模型設(shè)：甲倉庫運(yùn)往A、B、C工地的水泥包數(shù)分別為：乙倉庫運(yùn)往A、B、C工地的水泥包數(shù)分別為：總運(yùn)費(fèi)將是的函數(shù)64月-23§6-1概述(3)

最優(yōu)化的任務(wù)：為最小確定

x

使目標(biāo)函數(shù)三、約束條件：由于目標(biāo)函數(shù)與約束條件都是x

的一次函數(shù)——線性最優(yōu)化74月-23§6-1

概述(4)

考慮甲倉庫到各工地的運(yùn)費(fèi)便宜，故有：將此約束條件代入到等式得到：約束條件由不等式等式約束條件84月-23§6-1概述(5)

四、最優(yōu)化的通常描述目標(biāo)函數(shù)：約束條件為等式約束和不等式約束最優(yōu)化的任務(wù)：在上述約束條件下，尋求

x

，使目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)值（最大或最?。?。94月-23§6-1概述(6)五、靜態(tài)優(yōu)化和動(dòng)態(tài)優(yōu)化1.靜態(tài)優(yōu)化：若變量x

與時(shí)間無關(guān)，為靜態(tài)優(yōu)化。2.動(dòng)態(tài)優(yōu)化：在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，受控對(duì)象是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，所有的變量都是時(shí)間的函數(shù)，為動(dòng)態(tài)優(yōu)化。3.靜態(tài)優(yōu)化和動(dòng)態(tài)優(yōu)化的關(guān)系在動(dòng)態(tài)優(yōu)化中，將時(shí)域[t0，tf]分成許多有限區(qū)段，在每一個(gè)區(qū)段中將變量近似看作常量，則動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題可近似按分段靜態(tài)優(yōu)化問題來處理；——離散時(shí)間優(yōu)化問題！104月-23§6-1概述(7)六、泛函數(shù)的概念在動(dòng)態(tài)優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)是時(shí)間函數(shù)的函數(shù)，稱之為泛函數(shù)。結(jié)論：分段越多，近似程度越高。靜態(tài)優(yōu)化和動(dòng)態(tài)優(yōu)化不是截然分立的。4.動(dòng)態(tài)優(yōu)化的分類確定性動(dòng)態(tài)優(yōu)化——沒有隨機(jī)變量，系統(tǒng)的參數(shù)全部為確定的。隨機(jī)性動(dòng)態(tài)優(yōu)化——系統(tǒng)的參數(shù)有隨機(jī)變量。114月-23§6-1概述(8)例如，在時(shí)間定義域[t

0，t

f

]上的目標(biāo)泛函數(shù)為基本約束條件是受控對(duì)象的狀態(tài)方程，如最優(yōu)控制要解決的問題——在滿足上式的約束條件下，尋求最優(yōu)控制函數(shù)使目標(biāo)泛函數(shù)取得極值（最大值或最小值）。124月-23§6-2研究最優(yōu)控制的前提條件(1)一、給出受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述（狀態(tài)方程）連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：二、明確控制作用域應(yīng)滿足某些約束條件即不能在空間任意取值，134月-23§6-2研究最優(yōu)控制的前提條件(2)將所有滿足以上約束條件的點(diǎn)的集合稱為控制集，記作將屬于的稱為容許控制三、明確初始條件固定始端：初始時(shí)刻t0給定，初始狀態(tài)給定。自由始端：初始時(shí)刻t0給定，初始狀態(tài)任意。144月-23§6-2研究最優(yōu)控制的前提條件(3)可變始端：如果必須滿足某種約束條件；相應(yīng)的始端集為此時(shí)，稱之為可變始端。四、明確終端條件固定終端：終端時(shí)刻tf

給定，終端狀態(tài)給定。自由終端：終端時(shí)刻tf

給定，終端狀態(tài)任意。154月-23§6-2研究最優(yōu)控制的前提條件(4)可變終端：指的情況，其中，是由約束條件形成的一個(gè)目標(biāo)集。五、給出目標(biāo)泛函數(shù)（性能指標(biāo)）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：離散時(shí)間系統(tǒng)：164月-23§6-2研究最優(yōu)控制的前提條件(5)六、關(guān)于最優(yōu)控制從可供選擇的容許控制集U

中，尋求一個(gè)控制矢量使受控系統(tǒng)在時(shí)間域[t0，tf]內(nèi)，從初始狀態(tài)終止?fàn)顟B(tài)或目標(biāo)集時(shí)，性能指標(biāo)J

取最小（大）值。滿足上述條件稱之為最優(yōu)控制狀態(tài)方程的解在作用下稱之為最優(yōu)軌跡J沿最優(yōu)軌跡使J

達(dá)到最優(yōu)稱之為最優(yōu)指標(biāo)174月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(1)靜態(tài)最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)求解的方法：古典微分法求函數(shù)的極值多元普通函數(shù)動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)泛函數(shù)求解的方法：古典變分法求泛函數(shù)的極值一、一元函數(shù)的極值為區(qū)間[a，b]上的單值連續(xù)可微函數(shù)，存在極值點(diǎn)的必要條件是：184月-23為拐點(diǎn)§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(2)為極小值的充要條件：為極大值的充要條件：注意：極值點(diǎn)只是相對(duì)于的鄰域而言，具有局部性相對(duì)極值。在整個(gè)定義區(qū)間[a，b]上最小的極小值最小值記為：194月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(3)二、多元函數(shù)的極值n

元函數(shù)n

維列向量取得極值的必要條件：或函數(shù)的梯度為0矢量：取得極小值的充要條件：204月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(4)即，海賽矩陣為正定矩陣214月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(5)例題6-1設(shè)：求的極值點(diǎn)和極小值解：由極值的必要條件得到聯(lián)立解得224月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(6)海賽矩陣：正定極值點(diǎn)為極小值點(diǎn)極值點(diǎn)為：極小值234月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(7)三、具有等式約束條件的極值通過等效變換，將等式約束化為無約束例：封閉圓柱形容器的容積現(xiàn)給定鐵皮的面積S

＝A

為一定容積為最大，受約束條件的約束常用的解決方法：嵌入法（消元法）拉格朗日乘子法（增元法）244月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(8)⑴嵌入法從約束條件中解出一個(gè)變量，然后帶入目標(biāo)函數(shù)受約束條件限制的目標(biāo)函數(shù)無約束條件限制的目標(biāo)函數(shù)在圓柱容器容積問題中，解出代入目標(biāo)函數(shù)，得到無約束條件限制的目標(biāo)函數(shù)254月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(9)取極值：得到極值點(diǎn)：極大值點(diǎn)最大容積：264月-23§6-3靜態(tài)最優(yōu)化問題的解(10)⑵拉格朗日乘子法（增元法）約束條件乘子λ×＋目標(biāo)函數(shù)新的可調(diào)整函數(shù)沒有約束條件的三元函數(shù)取得極值的條件：274月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(1)一、基本形式離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)：第k

步～k

＋１步間系統(tǒng)的控制輸入，ｒ維。離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制使目標(biāo)函數(shù)最小確定控制矢量序列284月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(2)強(qiáng)調(diào)不趨于零時(shí)，在目標(biāo)函數(shù)中要付出的代價(jià)。二、與靜態(tài)最優(yōu)化的區(qū)別——只是變量的個(gè)數(shù)增加了N倍，本質(zhì)沒有區(qū)別。約束條件294月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(3)拉格朗日待定系數(shù)也增加了N倍構(gòu)造的新函數(shù)為：求：有約束條件的目標(biāo)函數(shù)J

的極小值求：無約束條件的目標(biāo)函數(shù)V

的極小值304月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(4)記：令：注意下標(biāo)！314月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(5)求V的增量，忽略高階無窮小，得其線性主部：324月-23§6-4離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制(6)V

取極小值的必要條件為：△V

＝0由有前式取得極小值的必要條件變成：334月-23§6-6泛函及其極值——變分法(1)一、變分法的基本概念⒈泛函的概念——函數(shù)的函數(shù)（通俗的概念）函數(shù)：定義域中的每一個(gè)x

y

都有一個(gè)（或一組）確定的值對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)則稱：y

是x

的函數(shù)，記為泛函的概念？宗量，不是獨(dú)立的自變量因變量——是某獨(dú)立自變量

t

的函數(shù)（函數(shù)的嵌套）泛函344月-23§6-6泛函及其極值——變分法(2)關(guān)于泛函的定義還可理解為：對(duì)應(yīng)某一類函數(shù)中的每一個(gè)確定的函數(shù)因變量J都有一確定的值注意：不是函數(shù)值！注意：不是函數(shù)！是宗量的泛函數(shù)354月-23§6-6泛函及其極值——變分法(3)△x△y△xy0例如：曲線長(zhǎng)度（弧長(zhǎng)）是曲線函數(shù)的泛函數(shù)。364月-23§6-6泛函及其極值——變分法(4)確切的值弧長(zhǎng)是宗量函數(shù)的泛函數(shù)374月-23§6-6泛函及其極值——變分法(5)由于L

一般也是x，y

的函數(shù)，因此；在控制系統(tǒng)中，自變量是時(shí)間t

，宗量函數(shù)是狀態(tài)矢量積分型泛函384月-23§6-6泛函及其極值——變分法(6)2.泛函的極值——變分變分——求泛函極大值或極小值的問題稱之為變分問題變分法——求泛函極值的方法稱之為變分法泛函數(shù)在任意一條與接近的曲線上所取的值不小于，即△則稱：泛函在曲線上達(dá)到極小值。泛函極小值定義：394月-23§6-6泛函及其極值——變分法(7)泛函極大值定義：△兩個(gè)函數(shù)的接近問題：如果定義域中的一切x

都成立：與則稱；函數(shù)有零階接近度特點(diǎn)：具有零階接近度的兩條曲線的形狀差別可能很大404月-23§6-6泛函及其極值——變分法(8)如果滿足：與則稱函數(shù)有k

階接近度特點(diǎn)：接近度階次越高，兩條曲線的形狀差別越小。

414月-23§6-6泛函及其極值——變分法(9)線性泛函：424月-23§6-6泛函及其極值——變分法(10)⒊泛函的變分泛函的增量：宗量的變分的線性連續(xù)泛函的高階無窮小項(xiàng)△定義：泛函增量的線性主部為泛函的變分434月-23泛函可微定義：若泛函有變分且其增量可用下式表示△則泛函J

是可微的泛函的變分也可定義為：且等于§6-6泛函及其極值——變分法(11)444月-23§6-6泛函及其極值——變分法(12)證明：454月-23§6-6泛函及其極值——變分法(13)464月-23§6-6泛函及其極值——變分法(14)泛函變分的規(guī)則：474月-23§6-6泛函及其極值——變分法(15)例題6-3求泛函的變分解：由式△得線性主部：484月-23§6-6泛函及其極值——變分法(16)泛函的變分：另一解法：由式得到：494月-23§6-6泛函及其極值——變分法(17)結(jié)果：與前一種方法求得的結(jié)果相同⒋泛函極值定理若可微泛函在上達(dá)到極值，則在上的變分＝0504月-23§6-6泛函及其極值——變分法(19)二、泛函極值的必要條件——?dú)W拉方程1.關(guān)于求泛函的極值問題求的極值確定一個(gè)函數(shù)使Min2.求泛函極值的幾何意義尋求一條曲線給定的連續(xù)可微函數(shù)沿該曲線的積分達(dá)到極?。ù螅┲禈O值曲線514月-23§6-6泛函及其極值——變分法(20)3.定理取得極值的必要條件是：為二階微分方程

的解性能泛函終點(diǎn)始點(diǎn)展開式二階連續(xù)可導(dǎo)至少二次連續(xù)可微524月-23§6-6泛函及其極值——變分法(21)證明：任意連續(xù)可微在極值曲線附近有一容許曲線則代表了～之間所有可能的曲線534月-23§6-6泛函及其極值——變分法(22)將式代入得到分析：每一條不同的曲線，性能泛函J

對(duì)應(yīng)著不同的值尋求使

J

達(dá)到極值的曲線考察的變動(dòng)對(duì)于J

變化的影響544月-23§6-6泛函及其極值——變分法(23)分析：曲線的變動(dòng)，是ε變化的結(jié)果結(jié)論：性能泛函J

成了ε的函數(shù)，并在上達(dá)到極值。有下式成立：式6-101554月-23§6-6泛函及其極值——變分法(24)對(duì)ε求導(dǎo)并利用式6-101式6-100式6-102564月-23§6-6泛函及其極值——變分法(25)上式左端第2項(xiàng)：代入到式6-102中因設(shè)端點(diǎn)固定574月-23§6-6泛函及其極值——變分法(26)泛函數(shù)取得極值的必要條件歐拉（Euler）方程歐拉方程是一個(gè)二階微分方程極值曲線是滿足歐拉方程的解以上為微分處理的方法：將性能泛函J

看作ε的函數(shù)，然后用微分求極值。實(shí)際應(yīng)用中，采用變分法來求泛函的極值584月-23§6-6泛函及其極值——變分法(27)性能泛函在ε=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù)一次以上高次項(xiàng)泛函的增量：594月-23§6-6泛函及其極值——變分法(28)

的一階變分

的一階變分△J

的線性主部604月-23§6-6泛函及其極值——變分法(29)泛函取得極值的必要條件為：歐拉方程橫截條件在固定端點(diǎn)問題中，所以，泛函數(shù)取得極值的必要條件就是歐拉方程。614月-23§6-6泛函及其極值——變分法(30)求解歐拉方程有2個(gè)積分常數(shù)待定；固定端點(diǎn)：——兩個(gè)邊界條件自由端點(diǎn)：有1個(gè)或2個(gè)端點(diǎn)是自由的，因此缺少1個(gè)或2個(gè)邊界條件，可由橫截條件來補(bǔ)充；——始端自由終端自由——624月-23§6-6泛函及其極值——變分法(31)例題6-5受控對(duì)象的微分方程為求：最優(yōu)控制，使下列目標(biāo)泛函取得極小值?！獮檫吔鐥l件解：將微分方程代入到目標(biāo)泛函中解此微分方程：————?dú)W拉方程為：634月-23§6-6泛函及其極值——變分法(32)將邊界條件代入得到：解出積分常數(shù)極值曲線為：雙曲正弦函數(shù)最優(yōu)控制為：644月-23§6-6泛函及其極值——變分法(33)三、多元泛函的極值條件含標(biāo)量未知函數(shù)的泛函極值問題設(shè)——n

維變量多元泛函的目標(biāo)函數(shù)成為：及和的標(biāo)量函數(shù)⒈多元泛函的目標(biāo)函數(shù)矢量的情況654月-23§6-6泛函及其極值——變分法(34)2.求多元泛函的極值條件思路——令：中的任意一個(gè)進(jìn)行變分其余n–1個(gè)變量保持不變，或其變分為0因此，J

就成了只依賴的泛函數(shù)，J

取得極值的必要條件——?dú)W拉方程例如664月-23§6-6泛函及其極值——變分法(35)由于

i

是中任意一個(gè)；取得極值的必要條件是下列方程組成立：．．．．．．歐拉方程邊界條件674月-23§6-6泛函及其極值——變分法(36)歐拉方程的矢量形式為：邊界條件：對(duì)自由端點(diǎn)，其邊界條件為：自由終端：自由始端：684月-23§6-6泛函及其極值——變分法(37)邊界條件為：求泛函例6-6的極值曲線解：被積函數(shù)首先將看成常數(shù)，得到關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)694月-23§6-6泛函及其極值——變分法(38)得到歐拉方程為：704月-23§6-6泛函及其極值——變分法(39)再將看成常數(shù)，得到關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)得到歐拉方程為：714月-23§6-6泛函及其極值——變分法(40)聯(lián)立解方程組：由邊界條件得到：極值曲線為：724月-23§6-6泛函及其極值——變分法(41)四、可變端點(diǎn)問題（以下開始為非考試范圍）始端和終端或是固定，或是自由；前面討論問題的前提：但：始端時(shí)刻和終端時(shí)刻都是固定不變始端固定〔和給定〕，終端時(shí)刻沿給定曲線（靶線）變動(dòng)?，F(xiàn)在討論問題的前提：734月-23§6-6泛函及其極值——變分法(42)現(xiàn)在的問題：尋求一條連續(xù)可微的極值曲線，當(dāng)它由給定的端點(diǎn)性能泛函：——待求量給定終端約束曲線取得極值744月-23§6-6泛函及其極值——變分法(43)分析：是變動(dòng)的，因此其變分必須落在終端約束曲線上終止?fàn)顟B(tài)求泛函的極值：確定最優(yōu)軌跡確定最優(yōu)終端時(shí)刻定理：設(shè)軌跡從固定始端到達(dá)給定終端曲線使性能泛函754月-23§6-6泛函及其極值——變分法(44)取得極值的必要條件是：———————?dú)W拉方程——終端橫截條件二階連續(xù)可導(dǎo)至少兩次連續(xù)可微一階連續(xù)可導(dǎo)764月-23§6-6泛函及其極值——變分法(45)證明：極值曲線對(duì)應(yīng)的終端為包含在內(nèi)的一束鄰近曲線終端為由于變動(dòng)必須定義一個(gè)與相應(yīng)的終端時(shí)刻集合每一條軌跡的都不同代入774月-23§6-6泛函及其極值——變分法(46)根據(jù)極值條件：784月-23§6-6泛函及其極值——變分法(47)注意：和不是相互獨(dú)立的受約束于終端條件————由式6-128式6-129代入對(duì)ε求導(dǎo)，并令ε→0794月-23§6-6泛函及其極值——變分法(48)代入式6-133中804月-23§6-6泛函及其極值——變分法(49)由于