線性2對(duì)偶變量的經(jīng)濟(jì)含義

大連海事大學(xué)交通運(yùn)輸管理學(xué)院對(duì)偶問(wèn)題2.4.1對(duì)偶問(wèn)題的提出2.4.2原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題2.4.3對(duì)偶問(wèn)題的性質(zhì)2.4.4對(duì)偶變量的經(jīng)濟(jì)含義2.4.5對(duì)偶單純形法

第四節(jié)對(duì)偶問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容安排影子價(jià)格的定義影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義Cj→x1x2x3x4XBbCB1 1 1 01 2 012 3 0 034x3x400cj-zj23003/1=34/2=21/2 0 1 -1/21/2 1 01/2x3x212cj-zj1/2 00-3/203241 0 2 -10 1 -11x1x221cj-zj0 0 -1 -123單純形法計(jì)算：θiB-1一影子價(jià)格的概念在單純形法的每步迭代中，目標(biāo)函數(shù)取值，檢驗(yàn)數(shù)中都有乘子那么Y的經(jīng)濟(jì)意義是什么？1對(duì)偶問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)解釋---影子價(jià)格影子價(jià)格的概念討論對(duì)稱形式：（LP）問(wèn)題maxz=CXs.t.AX≤bX≥0（DP）問(wèn)題minw=Ybs.t.YA≥CY≥0已知當(dāng)LP求得最優(yōu)解x*時(shí)，其DP也得到最優(yōu)解y*，且有

bi

代表：第i種資源的擁有量；對(duì)偶變量yi*的意義代表：在資源最優(yōu)利用條件下，對(duì)單位第i種資源的估價(jià)。這種估價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而作的估價(jià)。

影子價(jià)格(shadowprice)(1)

B是LP的最優(yōu)基，Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+…+yi*bi+…+ym*bm當(dāng)bi

變?yōu)閎i+1時(shí)（其余右端項(xiàng)不變，B不受影響），

目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值變?yōu)椋?/p>

Z′*=y1*b1+y2*b2+…+yi*（bi+1）+…+ym*bm

∴△Z*=Z′*－Z*=yi*也可以寫成：即yi*表示Z*對(duì)bi的變化率。邊際價(jià)格影子價(jià)格的定義：在資源最優(yōu)利用條件下，對(duì)單位第i種資源的估價(jià)。是對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解Y*=(y1*,y2*,…，ym*),是一個(gè)向量，它的每個(gè)分量yi*表示：最優(yōu)目標(biāo)值隨相應(yīng)資源數(shù)量變化的變化率。是在一對(duì)LP和DP中，在其它條件不變的情況下，當(dāng)LP的某個(gè)約束條件的右端項(xiàng)常數(shù)bi

增加一個(gè)單位時(shí)，所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值Z*的改變量。此時(shí)，yi*稱為L(zhǎng)P的第i個(gè)約束條件的影子價(jià)格，又稱為邊際價(jià)格。原問(wèn)題是利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題單位產(chǎn)品的利潤(rùn)（元/件）產(chǎn)品產(chǎn)量（件）總利潤(rùn)（元）資源限量（噸）單位產(chǎn)品消耗的資源（噸/件）剩余的資源（噸）消耗的資源（噸）對(duì)原問(wèn)題的求解是確定資源的最優(yōu)分配方案的問(wèn)題。資源限量（噸）資源價(jià)格（元/噸）總利潤(rùn)（元）對(duì)偶問(wèn)題是資源定價(jià)問(wèn)題，對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解y1、y2、...、ym稱為m種資源的影子價(jià)格（ShadowPrice）原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都取得最優(yōu)解時(shí)，最大利潤(rùn)maxz=minω出售價(jià)（最小收購(gòu)價(jià)）x1x2①①②②③③2x1+2x2134x1175x216(3,3)z*=15(3.5，3)z*=16(2.8,3.2)z*=15.2各約束條件的資源量增加一個(gè)單位，有y1=1x3=0y2=0x4=4y3=0.2=1/5x5=0例2幾何解釋：圖解法分析1、當(dāng)增加一個(gè)單位的資源，立即能夠產(chǎn)生價(jià)值，即說(shuō)明該資源目前已耗盡。

2、對(duì)于影子價(jià)格為零的資源企業(yè)，其資源不一定有剩余.

如果有剩余,企業(yè)應(yīng)該充分利用剩余的資源,開辟新的生產(chǎn)途徑,以增加企業(yè)的總收益。

3、如果最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃下，某種資源有剩余，說(shuō)明資源未被充分利用，松弛變量不產(chǎn)生價(jià)值，此時(shí)這種資源的影子價(jià)格一定等于0。

4、影子價(jià)格越大，說(shuō)明這種資源越是相對(duì)緊缺；影子價(jià)格越小，說(shuō)明這種資源相對(duì)不緊缺。

y1=1x3=0y2=0x4=4y3=0.2=1/5x5=02x1+2x2134x1175x2161．影子價(jià)格不是市場(chǎng)價(jià)資源的市場(chǎng)價(jià)格是已知數(shù)，相對(duì)比較穩(wěn)定，而資源的影子價(jià)格則有賴于資源的利用情況，是未知數(shù)。由于企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化，資源的影子價(jià)格也隨之改變。二影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義市場(chǎng)價(jià)格影子價(jià)格市場(chǎng)企業(yè).在純市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下,設(shè)第i種資源的單位市場(chǎng)價(jià)格為mi

，當(dāng)yi>mi

時(shí)，企業(yè)愿意購(gòu)進(jìn)這種資源，單位資源的純利為yi－mi

，則有利可圖；如果yi<mi

，則企業(yè)有償轉(zhuǎn)讓這種資源，可獲單位資源的純利為mi－yi

，否則，企業(yè)無(wú)利可圖，甚至虧損。隨著資源的買進(jìn)賣出，它的影子價(jià)格也將隨之發(fā)生變化，一直到影子價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格保持同等水平時(shí)，才處于平衡狀態(tài)。2．資源的影子價(jià)格是一種機(jī)會(huì)成本影子價(jià)格的大小客觀的反映資源在系統(tǒng)內(nèi)的稀缺程度，影子價(jià)格越高，資源在系統(tǒng)中越稀缺。產(chǎn)品資源影子價(jià)格(萬(wàn)元)鋼材煤機(jī)時(shí)

1221343/401/4單位利潤(rùn)(萬(wàn)元)

13影子價(jià)格可以告訴決策者應(yīng)如何考慮新產(chǎn)品的價(jià)格ABB單位產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本=2×3/4+1×0+4×1/4=5/2兩種新產(chǎn)品A,B的機(jī)會(huì)成本為:A單位產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本=1×3/4+2×0+3×1/4=3/2則A產(chǎn)品的定價(jià)一定要大于1.5才能增加公司的收益，如售價(jià)低于1.5的話，生產(chǎn)是不劃算的。3．影子價(jià)格是一種邊際價(jià)格。

說(shuō)明的值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，每增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)的增量。y1y2ym

1對(duì)偶約束的經(jīng)濟(jì)解釋---產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本（opportunitycost

）

減少一件產(chǎn)品可以節(jié)省的資源增加單位資源可以增加的總利潤(rùn)機(jī)會(huì)成本表示減少一件產(chǎn)品所節(jié)省的資源可以增加的利潤(rùn)三LP和DP中其它概念的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義

---產(chǎn)品的差額成本（ReducedCost）利潤(rùn)ym+j=(y1a1j+y2a2j+…+ymamj)-cj=YTaj–cj

差額成本=機(jī)會(huì)成本-利潤(rùn)機(jī)會(huì)成本差額成本2對(duì)偶約束松弛變量的經(jīng)濟(jì)解釋又當(dāng)資源的影子價(jià)格不為零時(shí)，bi

表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費(fèi)完畢。

這表明生產(chǎn)過(guò)程中如果某種資源未得到充分利用時(shí)，該種資源的影子價(jià)格為零；3互補(bǔ)松弛定理的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義

從影子價(jià)格的含義上考察單純形表的檢驗(yàn)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。（4）—第j種產(chǎn)品的產(chǎn)值—生產(chǎn)第j件產(chǎn)品所消