2023年還原問(wèn)題知識(shí)講解及練習(xí)

還原問(wèn)題知識(shí)講解及練習(xí)（含答案）

已知一個(gè)數(shù)，通過(guò)某些運(yùn)算之后，得到了一個(gè)新數(shù)，求本來(lái)的數(shù)是多少的應(yīng)用問(wèn)題，它的解法經(jīng)

常是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問(wèn)題就是

還原問(wèn)題。

還原問(wèn)題又叫做逆推運(yùn)算問(wèn)題.解這類問(wèn)題運(yùn)用加減互為逆運(yùn)算和乘除互為逆運(yùn)算的道理，根據(jù)

題意的敘述順序由后向前逆推計(jì)算.在計(jì)算過(guò)程中采用相反的運(yùn)算，逐步逆推。

在解題過(guò)程中注意兩個(gè)相反：一是運(yùn)算順序與本來(lái)相反；二是運(yùn)算方法與本來(lái)相反。

板塊一、單個(gè)變量的還原問(wèn)題

【例1】某數(shù)先加上3,再乘以3,然后除以2,最后減去2,結(jié)果是10,問(wèn)：原數(shù)是多少？

【解析】分析時(shí)可以從最后的結(jié)果是10逐步倒著推。這個(gè)數(shù)沒(méi)減去2時(shí)應(yīng)當(dāng)是多少？沒(méi)除以2時(shí)應(yīng)當(dāng)是多少？沒(méi)

乘以3時(shí)應(yīng)當(dāng)是多少？沒(méi)加上3時(shí)應(yīng)當(dāng)是多少？這樣依次逆推，就可以推出某教。

假如沒(méi)減去2,此數(shù)是：10+2=12

假如沒(méi)除以2,此數(shù)是：12x2=24

假如沒(méi)乘以3,此數(shù)是：24+3=8

假如沒(méi)加上3,此數(shù)是：8-3=5

綜合算式（10+2）、2+3—3=5

【鞏固】1、（2023年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）有一個(gè)數(shù)，假如用它加上6,然后乘以6,再減去6,最后

除以6,所得的商還是6,那么這個(gè)數(shù)是.

【鞏固】2、一個(gè)數(shù)減16加上24,再除以7得36,求這個(gè)數(shù).你知道這個(gè)數(shù)是幾嗎?

【鞏固】3、少先隊(duì)員采集樹(shù)種子，采得的個(gè)數(shù)是一個(gè)有趣的數(shù).把這個(gè)數(shù)除以5,再減去25,還剩25,你算一算,

共采集了多少個(gè)樹(shù)種子?

［例2］牛老師帶著37名同學(xué)到野外春游.休息時(shí)，小強(qiáng)問(wèn)：“牛老師您今年多少歲啦?”牛老師有趣地回答：“我

的年齡乘以2,減去16后，再除以2,加上8,結(jié)果恰好是我們今天參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù).”小朋友們，你

知道牛老師今年多少歲嗎？

【解析】采用倒推法，我們可以從最后的結(jié)果“參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)”即38倒著往前推.這個(gè)數(shù)沒(méi)加上8時(shí)應(yīng)是多

少？沒(méi)除以2時(shí)應(yīng)是多少？沒(méi)減去16時(shí)應(yīng)是多少？沒(méi)乘以2時(shí)應(yīng)是多少？

這樣依次逆推，就可以求出牛老師今年的歲數(shù).沒(méi)加上8時(shí)應(yīng)是：38-8=30;沒(méi)除以2時(shí)應(yīng)是：30x2=60;

沒(méi)減去16時(shí)應(yīng)是：60+16=76;沒(méi)乘以2時(shí)應(yīng)是：76+2=38,

即［08—8）x2+16］+2=38（歲）.

【鞏固】1、小智問(wèn)小康：“你今年幾歲？”小康回答說(shuō)：“用我的年齡數(shù)減去8,乘以7,加上6,除以5,正好等

于4.請(qǐng)你算一算，我今年幾歲？”

【鞏固】2、學(xué)學(xué)做了這樣一道題：某數(shù)加上10,乘以10,減去10,除以10,其結(jié)果等于10,求這個(gè)數(shù).

根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，通過(guò)加法、乘法、減法、除法的變化，得到結(jié)果10,應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10,根據(jù)

力口、減法與乘、除法的互逆運(yùn)算，倒著往前計(jì)算.

10x10=100,100+10=110,1104-10=11,11-10=1

解這種還原問(wèn)題的關(guān)鍵是從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是本來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算，

即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘.列式時(shí)還要注意運(yùn)算順序，對(duì)的使用括號(hào)，這種逆向思維

的方法是數(shù)學(xué)中常用的思維方法.

綜合算式為：

【鞏固】3、學(xué)學(xué)做了這樣一道題：一個(gè)數(shù)加上3,減去5,乘以4,除以6得16,求這個(gè)數(shù).小朋友，你知道答

案嗎？

【解析】根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，通過(guò)加法、減法、乘法、除法的變化，得到結(jié)果16,應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10,根據(jù)

加、減法與乘、除法的互逆運(yùn)算，倒著往前計(jì)算.

某數(shù)

綜合算式為:

【例3】一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽頒獎(jiǎng)會(huì)上，小剛問(wèn)老師：“我得了多少分？”老師說(shuō)：“你的得分減去6后，縮小2倍，再加

上10后，擴(kuò)大2倍，恰好是100分”.小剛這次競(jìng)賽得了多少分？

【解析】從最后一個(gè)條件“恰好是100分”向前推算.擴(kuò)大2倍是100分，沒(méi)有擴(kuò)大2倍之前應(yīng)是100+2=50（分），

加上10后是50分，沒(méi)有加上10前應(yīng)是50-10=40（分），縮小2倍是40分，那么沒(méi)有縮小2倍前應(yīng)是

40x2=80（分），減去6后是80分，沒(méi)有減去6前應(yīng)是80+6=86（分）.

綜合列式為：（100+2—10）x2+6=40x2+6=86（分）

【鞏固】1、在小新?tīng)敔斀衲甑哪挲g數(shù)減去15后,除以4,再減去6之后,乘以10,恰好是100,問(wèn):小新?tīng)敔斀衲甓嗌?/p>

歲數(shù)？

【鞏固】2、學(xué)學(xué)和思思在游玩時(shí)，碰到一位小神仙，他們問(wèn)這位神仙：“你一定不到100歲吧！”誰(shuí)知這位神仙搖

搖頭說(shuō)：“你們算算吧！把我的年齡加上75,再除以5,然后減去15,再乘以10,恰好是2023歲小

朋友，你知道這位神仙現(xiàn)在有多少歲嗎？

［例4］哪吒是個(gè)小馬虎，他在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的6錯(cuò)寫(xiě)成9,減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫(xiě)成6,最后

所得的差是577,那么這道題的對(duì)的答案應(yīng)當(dāng)是多少呢？

【解析】被減數(shù)十位上的6變成9,使被戒數(shù)增長(zhǎng)90-60=30,差也增長(zhǎng)了30;喊數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫(xiě)成6,使減數(shù)

減少了9-6=3,這樣又使差增長(zhǎng)了3,這道題可以說(shuō)成：對(duì)的的差加上30后又加上3得577,求對(duì)的差.

所以列式得：577-（9-6）-（90-60）=544.

【鞏固】1、小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的9看作6,十位上的6看作9,結(jié)果和是174,那么對(duì)

的的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是多少呢？

【鞏固】2、調(diào)皮在做一道減法時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9當(dāng)作了3,把十位上的4當(dāng)作了7,得到的結(jié)果是164,請(qǐng)你

幫調(diào)皮算算對(duì)的的答案應(yīng)當(dāng)是多少呢？

【鞏固】3、小新在做一道加法題，由于粗心，將個(gè)位上的5看作9,把十位上的8看作3,結(jié)果所得的和是123.對(duì)

的的答案是多少？

【例5】三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了這堆桃的一半少1個(gè)；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1個(gè)；小

猴子分得余下的8個(gè)桃，桃子就被全分完了。問(wèn)，這堆桃子共多少個(gè)？

【分析與解】此題條件較復(fù)雜，我們可以通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)行分析，你能從圖中發(fā)現(xiàn)哪個(gè)部分是大猴子拿的桃子嗎？其實(shí)

解決這類問(wèn)題我們關(guān)鍵是要找到“一半”所相應(yīng)的數(shù)量，從最后進(jìn)行推算。

剩下的一半：8+1=9（個(gè)）；剩下多少個(gè)：9X2=18（個(gè)）

一半是多少個(gè)：18-1=17（個(gè)）；一共有多少個(gè)桃子：17X2=34（個(gè)）

算式：[（8+1）x2-1]x2

說(shuō)明：多拿、多吃、多做、多用.…在還原問(wèn)題算式中表現(xiàn)為“+"；

【鞏固】1、學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長(zhǎng)的一半還多2米，第二次用去余下的一

半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子本來(lái)有多少米呢？

【解析】根據(jù)題意，畫(huà)圖倒推分析：

用去15米還剩9米

第三次亡-一F

15+9=24（米）

用去___剩__下_24米

第二次f*一F

一半

16米

（24-10）x2=28（米）

_剩下28米

第一次仁一?"V,一，

*2米

（28+2）x2=60（米）

綜合算式:

【鞏固】2、一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后

還剩7米。這捆電線本來(lái)有多少米？

【解析】可依照題意畫(huà)出右圖。從線段圖上可以看出：

【鞏固】3、甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個(gè)，第二天又加工了剩下的一半又10個(gè)，還

剩下25個(gè)沒(méi)有加工，問(wèn)：這批零件有多少個(gè)？

【解析】如右圖所示，按照?qǐng)D與題目的條件，

零件的一半10個(gè)剩下的一半10個(gè)25個(gè)

圖3

列綜合算式：

［例6］貨場(chǎng)原有煤若干噸。第一次運(yùn)出原有煤的一半，第二次運(yùn)進(jìn)450噸，第三次又運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半又

50噸，結(jié)果剩余煤的2倍是1200噸。貨場(chǎng)原有煤多少噸？

原有媒？蛇

V

第一次用去原有媒的一半第二次運(yùn)進(jìn)450噸

現(xiàn)有炭收一半50.噸1倍

第三次運(yùn)出的

1200噸

圖4

結(jié)合上面的線段圖，用倒推法進(jìn)行分析，題中的數(shù)量關(guān)系就可以躍然紙上，使學(xué)生們一目了然。

根據(jù)“剩余煤的2倍是1200噸”，就可以求剩余煤的噸數(shù)；根據(jù)“第三次運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半又50噸”

和剩余煤的噸數(shù)，就可以求出現(xiàn)有煤的一半是多少噸，進(jìn)而可求出現(xiàn)有煤的噸數(shù)；用現(xiàn)有煤的噸數(shù)減

去第二次運(yùn)進(jìn)的450噸，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少噸。

(1)剩余煤的噸數(shù)是：1200+2=60()(噸)

(2)現(xiàn)有煤的一半是：600+50=650(噸)

(3)現(xiàn)有煤的噸數(shù)是：650x2=1300(噸)

(4)原有煤的一半是：1300—450=85()(噸)

(5)原有煤的噸數(shù)是:850x2=1700(噸)

算式：[(600+50)X2-450]X2

【鞏固】1、食堂買進(jìn)一批大米，第一天吃了所有的一半少28公斤，第二天吃了余下的一半少8公斤，最后剩下122

公斤.這批大米共有多少公斤？

【鞏固】2、山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一半

多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問(wèn)：樹(shù)上本來(lái)有多少個(gè)桃子？

【鞏固】3、修建一條下水道，第一周修了全長(zhǎng)的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了

30米，最后還剩18米，這條下水道長(zhǎng)多少米？

【解析】如下圖，從圖中可知30+18-12=36是第一周修后余下的一半，36x2-12=84米是下水道全長(zhǎng)的一半.

第二周

M的第三拒修的30米

多12米少12米剩下18米

［例7］小麗用4元買了一本《童話大王》，又用剩下的錢的一半買了一本《兒童時(shí)代》，買鋼筆又用去第二次剩

下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問(wèn)：小麗原有多少錢？

3

4元第一次剩下的一半7^

第二次剩下的一半

【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是4+1=5（元），第二次剩下5x2=10（元），第一次剩下10x2=20（元），

本來(lái)有20+4=24（元）。

列綜合算式：（4+l）x2x2+4=24

【鞏固】1、有一筐蘋(píng)果，甲取出一半又1個(gè)；乙取出余下的一半又1個(gè)；丙取出再余下的一半又1個(gè)，這時(shí)筐里

只剩下1個(gè)蘋(píng)果。這筐蘋(píng)果共值6元6角，問(wèn)每個(gè)蘋(píng)果平均值多少錢？

1個(gè)余下的一半1個(gè)彳個(gè)1個(gè)

甲取出的乙取出的丙取出的

【例8】（2023年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）工程隊(duì)要修一條小路，第一天修了全長(zhǎng)的一半多6米，第二

天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此時(shí)還剩下14米沒(méi)有修，則這條小路長(zhǎng)米。

【分析】如圖1所示，先根據(jù)線段圖理清數(shù)量關(guān)系，可得全長(zhǎng)為:

［（14+30-20）x2+6］x2=108（:米）。

余下的一半

全長(zhǎng)的一半

第一天

第二天-4——第三天30—>

圖1

【鞏固】1、一個(gè)人沿著公園馬路走了全長(zhǎng)的一半后，又走了剩下路程的一半，還剩下1千米，問(wèn)：公園馬路全長(zhǎng)

多少千米？

【解析】如圖，

?

全長(zhǎng)的一半

【例9】思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，這時(shí)還剩下8米,

你知道這段五彩布本來(lái)長(zhǎng)多少米嗎？

【解析】根據(jù)題意，畫(huà)出線段圖，倒推分析.

剪去一半

第二次28x2=16（米）

剪去一半剩下16米

第一次IT16x2=32（米）

算式：8x2x2

【鞏固】1、一群螞蟻搬家，原存一堆食物.第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克.第二天運(yùn)出剩下的一半少12克，結(jié)

果窩里還剩下43克.問(wèn)螞蟻家原有食物多少克？

【解析】采用倒推法，教師可畫(huà)線段圖幫助學(xué)生理解.假如第二天再多運(yùn)出12克，就是剩下的一半，所以第一天運(yùn)

出后，剩下的一半重量是43—12=31（克）；這樣，第一天運(yùn)出后剩下的重31x2=62（克）.那么同理，一半

的重量是62-12=50（克），原有食物50x2=100（克）.即

【鞏固】2、一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后

還剩7米，這捆電線原有多少米?

【鞏固】3、修建一條下水道，第一周修了全長(zhǎng)的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了

30米，最后還剩18米，這條下水道長(zhǎng)多少米？

【解析】如下圖，從圖中可知30+18-12=36是第一周修后余下的一半，36x2-12=84米是下水道全長(zhǎng)的一半.

第二周

修的第弓產(chǎn)修的30米

多12米少12米剩下18米

【例10】桃園里來(lái)了第一群猴子，吃去桃子總數(shù)的一半又半個(gè)；第二群猴子又來(lái)吃掉剩下桃子的一半又半個(gè)；第

三群猴子又來(lái)吃掉剩下桃子數(shù)的一半又半個(gè).這時(shí)桃園里還只有100個(gè)桃了.那么園中原有多少桃？

【解析】第三群猴沒(méi)吃，相應(yīng)有桃（100+0.5）x2=201（個(gè)）

第二群猴沒(méi)吃，相應(yīng)有桃（201+05）x2=403（個(gè)）

第一群猴沒(méi)吃，相應(yīng)有桃（即桃園中原有桃）（403+05）x2=807（個(gè)）

算式：{[（100+0.5）x2+0.5]x2+0.5}x2

【鞏固】1、山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一半

多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問(wèn)：樹(shù)上本來(lái)有多少個(gè)桃子？

【例11】剛打完籃球，冬冬覺(jué)得非?？?，就拿起一大瓶礦泉水狂喝.他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝

了剩下的！，第三口則喝了剩下的！，第四口再喝剩下的工，第五口喝了剩下的此時(shí)瓶子里還剩0.5

3456

升礦泉水，那么最開(kāi)始瓶子里有幾升礦泉水？

【解析】最開(kāi)始瓶子里有礦泉水:

?！埃ā保?，（*），（叫）+（1]廣（1-1/2）

即0.5+13（升）.

【鞏固】1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一

枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份一枚.問(wèn)：本來(lái)至少有多少枚棋子？

【詳解】棋子最少的情況是最后一次四等分時(shí)每份為1枚.由此逆推，得到

第三次分之前有1x4+1=5（枚），

第二次分之前有5x4+1=21（枚），

第一次分之前有21x4+1=85（枚）.

【鞏固】2、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一

枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份兩枚.問(wèn)：本來(lái)至少有多少枚棋子？

板塊二、多個(gè)變量的還原問(wèn)題

【例12】三人有不等的存款，只知假如甲給乙40元，乙再給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這樣三人各

有240元，三人本來(lái)各有存款多少元？

【解析】甲：240+40—20=260（元）：

乙：240—40+30-70=160（元）；

丙：240-30+20+70=300.

【鞏固】1、小巧、小亞、小紅共有90個(gè)玻璃球，小巧給小亞6個(gè)，小亞給小紅5個(gè)，小紅給小巧8個(gè)，他們的玻

璃球個(gè)數(shù)正好相等.小巧、小亞、小紅本來(lái)各有多少個(gè)玻璃球？

【鞏固】2、三棵樹(shù)上共有36只鳥(niǎo)，有4只鳥(niǎo)從第一棵樹(shù)上飛到第二棵樹(shù)上，有8只鳥(niǎo)從第二棵樹(shù)上飛到第三棵樹(shù)

上，有10只鳥(niǎo)從第三棵樹(shù)上飛到第一棵樹(shù)上，這時(shí)，三棵樹(shù)上的鳥(niǎo)同樣多.本來(lái)每棵樹(shù)上各有幾只鳥(niǎo)？

【鞏固】3、三棵樹(shù)上共有27只鳥(niǎo)，從第一棵飛到第二棵2只，從第二棵飛到第三棵3只，從第三棵飛到第一棵4

只，這時(shí)，三棵樹(shù)上的鳥(niǎo)同樣多.本來(lái)每棵樹(shù)上各有幾只鳥(niǎo)？

【鞏固】4、三個(gè)籠子里共養(yǎng)了78只鸚鵡，假如從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里，再?gòu)牡?個(gè)籠子里取出6

只放到第3個(gè)籠子里，那么3個(gè)籠子里的鸚鵡同樣多.求3個(gè)籠子里本來(lái)各養(yǎng)了多少只鸚鵡？

【鞏固】5、解放軍某部參與抗震救災(zāi)，從第一隊(duì)抽調(diào)一半人支援第二隊(duì)，抽調(diào)35人支援第三隊(duì)，又抽調(diào)剩下的一

半支援第四隊(duì)，后來(lái)又調(diào)進(jìn)8人，這時(shí)第一隊(duì)尚有30人，求第一隊(duì)原有多少人？

【例13】甲、乙兩班各要種若干棵樹(shù)，假如甲班拿出與乙班同樣多的樹(shù)給乙班，乙班再?gòu)默F(xiàn)有的樹(shù)中也拿出與甲

班同樣多的樹(shù)給甲班，這時(shí)兩班恰好都有28棵樹(shù)，問(wèn)甲、乙兩班本來(lái)各有樹(shù)多少棵？

【解析】假如后來(lái)乙班不給與甲班同樣多的樹(shù)，甲班應(yīng)有樹(shù)28+2=14（棵），乙班有28+14=42（棵），假如開(kāi)始

不從甲班拿出與乙班同樣多的樹(shù)，乙班原有樹(shù)42+2=21（棵），甲班原有樹(shù)14+21=35（棵）.列表倒推

如下:

甲班乙班

本來(lái)3521

第一次后35-21=1421+14=42

第二次后14+14=2842-14=28

【鞏固】1、一班、二班、三班各有不同數(shù)目的圖書(shū).假如一班拿出本班的一部分圖書(shū)分給二班、三班，使這兩個(gè)

班的圖書(shū)各增長(zhǎng)一倍；然后二班也拿出一部分圖書(shū)分給一班、三班，使這兩個(gè)班的圖書(shū)各增長(zhǎng)一倍；接

著三班也拿出一部分圖書(shū)分給一班、二班，使這兩個(gè)班的圖書(shū)各增長(zhǎng)一倍.這時(shí)，三個(gè)班的圖書(shū)數(shù)目都

是48本.求三個(gè)班本來(lái)各有圖書(shū)多少本？

【解析】我們可采用倒推法，再結(jié)合列舉法進(jìn)行分析推理.在每一次重新變化后，三個(gè)班的圖書(shū)總數(shù)目是一個(gè)不變

的數(shù)，由此，可從最后三個(gè)班的圖書(shū)數(shù)目都是48本出發(fā)進(jìn)行倒推，求每一次重新變化以前三個(gè)班各自的

圖書(shū)數(shù)目，逐步倒推出原有的圖書(shū)數(shù)目.依據(jù)題意可知，一班、二班的圖書(shū)數(shù)目各增長(zhǎng)一倍才是48本,

因此增長(zhǎng)前各應(yīng)有24本，所以一班、二班的圖書(shū)數(shù)目各應(yīng)減半，還給三班.其余各次，以此類推，把倒

推解答的過(guò)程用下表表達(dá):

一班二班三班

結(jié)果484848

第三次

第二次

第一次

【鞏固】2、甲、乙、丙3人共有192張郵票.從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再?gòu)囊业泥]票中取出丙那么多

給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時(shí)甲、乙、丙3人郵票數(shù)相同，甲、乙、丙本來(lái)各有多

少?gòu)垼?/p>

【解析】甲、乙、丙原共有192張郵票，通過(guò)三次互換后，甲乙丙三人仍有郵票192張，并且三人郵票數(shù)相同，即

3人各有郵票：1924-3=64（張）.第三次互換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說(shuō)明這次互換前甲有郵

票64+2=32（張），丙有由F票：64+32=96（張），依此類推，就可以推出答案了.最后相等時(shí)各有192+3=64

（張），列表倒推如下:

甲（張）乙（張）丙（張）

最后646464

前次

再前次

本來(lái)

【鞏固】3、有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆.現(xiàn)在按如下方法移動(dòng)棋子：第一次從甲堆中拿出和乙堆

同樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆

中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆.照此移法，移動(dòng)三次后，甲、乙兩堆棋子數(shù)恰好都是32個(gè).問(wèn)

甲、乙兩堆棋子本來(lái)各有多少個(gè)？

甲乙

結(jié)果

第三次互換前

第二次互換前

第一次互換前

【鞏固】4、甲、乙、丙三人各有銅板若干枚，開(kāi)始甲把自己的銅板拿出一部分給乙、丙，使乙、丙的銅板數(shù)各增

長(zhǎng)了1倍；乙把自己的銅板拿出一部分給甲、丙，使甲、丙的銅板數(shù)各增長(zhǎng)了1倍；丙把自己的銅板拿出一部分給

乙、甲，使乙、甲的銅板數(shù)各增長(zhǎng)了1倍，這時(shí)三人銅板數(shù)都是8枚，本來(lái)每人各有幾枚？

甲乙丙

結(jié)果

第三次互換前

第二次互換前

第一次互換前

【例14】3個(gè)探險(xiǎn)家結(jié)伴去原始森林探險(xiǎn)，路上覺(jué)得十分乏味就聚在一起玩牌.第一局，甲輸給了乙和丙，使他們每

人的錢數(shù)都翻了一番.第二局，甲和乙一起贏了，這樣他們倆錢袋里面的錢也都翻了倍.第三局，甲和丙又

贏了，這樣他們倆錢袋里的錢都翻了一倍.結(jié)果，這3位探險(xiǎn)家每人都贏了兩局而輸?shù)袅艘痪郑詈?人手

中的錢是完全同樣的.細(xì)心的甲數(shù)了數(shù)他錢袋里的錢發(fā)現(xiàn)他自己輸?shù)袅?00元.你能推算出來(lái)甲、乙、丙3

人剛開(kāi)始各有多少錢嗎？

【解析】假設(shè)最后每個(gè)人手中的錢是8份，三人總共24份，運(yùn)用倒推法.

甲乙丙

第三局后888

第二局后4164

第一局后2814

開(kāi)始1347

從開(kāi)始到最后甲的份數(shù)少了Q3-8）份，說(shuō)明每份是100+（13-8）=20元.

所以剛開(kāi)始時(shí)，甲有13*20=260阮），乙有4x20=80（元），丙有7+20=140（元）.

【鞏固】1、甲乙丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來(lái)一些，使自己的糖豆增長(zhǎng)了一倍；接著乙從丙處取來(lái)一些，使自

己的糖豆也增長(zhǎng)了一倍；丙再?gòu)募滋幦?lái)一些，也使自己的糖豆增長(zhǎng)了一倍.現(xiàn)在三人的糖豆同樣多.假如開(kāi)始時(shí)甲有

51粒糖豆，那么乙最開(kāi)始有多少粒糖豆？

【解析】先假設(shè)后來(lái)三個(gè)人都是4份

甲乙丙

丙取后444

乙取后

甲取后

開(kāi)始

【例15】有甲、乙、丙三個(gè)油桶，各盛油若干公斤.先將甲桶油倒入乙、丙兩桶，使它們各增長(zhǎng)原有油的一倍；再將

乙桶油倒入丙、甲兩桶，使它們的油各增長(zhǎng)一倍；最后按同樣的規(guī)律將丙桶油倒入甲、乙兩桶.這時(shí)，各桶

油都是16公斤.問(wèn)；各桶原有油多少公斤？

【解析】列表逆推如下:

甲桶乙桶丙桶

初始狀態(tài)4+14+8=2628+2=1416+2=8

第一次變化8+2=48+4+16=2832+2=16

第二次變化16+2=816+2=816+8+8=32

第三次變化161616

本來(lái)甲、乙、丙桶分別有油26,14,8公斤.

逆推時(shí)注意，每次變化時(shí)，有兩桶各增長(zhǎng)了一倍，逆推時(shí)應(yīng)分別除以2;另一桶減少了上述兩桶增長(zhǎng)的數(shù)，

逆推時(shí)應(yīng)使用加法.

【鞏固】1、（第四屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）A、B、C三個(gè)油桶各盛油若干公斤.第一次把A桶的一部分

油倒入8、C兩桶，使8、C兩桶內(nèi)的油分別增長(zhǎng)到本來(lái)的2倍；第二次從8桶把油倒入C、A兩桶，使C、

A兩桶內(nèi)的油分別增長(zhǎng)到第二次倒之前桶內(nèi)油的2倍；第三次從C桶把油倒入A、B兩桶，使A、8兩桶

內(nèi)的油分別增長(zhǎng)到第三次到之前桶內(nèi)油的2倍，這樣，各桶的油都為16公斤.問(wèn)A、8、C三個(gè)油桶本來(lái)

各有油多少公斤？

【解析】用“倒推法”列出下表

4BC

結(jié)果

第三次倒之前

第二次倒之前

第一次倒之前

【鞏固】2、三個(gè)容器各放一些水，第一次從第一個(gè)容器倒一些水到另兩個(gè)容器，使得它們的水分別增長(zhǎng)到本來(lái)的

2倍與3倍，第二次從第二個(gè)容器倒一些水到第一個(gè)與第三個(gè)容器中，使它們的水分別增長(zhǎng)到3倍與2

倍，第三次從第三個(gè)容器中倒一些水到第一個(gè)與第二個(gè)容器中，使它們的水都增長(zhǎng)到2倍，這時(shí)三個(gè)容

器中的水都為96毫升，本來(lái)三個(gè)容器中各有多少毫升水？

【解析】可以列一個(gè)表，使每一步之間的關(guān)系一目了然，下列的表是從后面向前倒推的，具體的填法見(jiàn)下面的解答。

容器1容器2容器3

最終結(jié)果

第三次倒之前

第二次倒之前

本來(lái)

答案

例1

1、＜J5x6+6)^-6—6=1

2、36x7-24+16=244.

3、(25+25)x5=250(個(gè))

例2

1(4x5-6)+7+8=1()

2、(10x10+10)-10-10=(100+10)4-10-10=1104-10-10=11-10=1

3、16x6+4+5-3=96+4+5-3=24+5-3=29—3=26

例3

1、(1004-10+6)x4+15=79

2、(20234-10+15)x5-75

例4

1、174+0-6)-10x?-6)=174+3-30=147

2、164+(73-49)=188或164—6+30=188

3、123+(80-30)-(9-5)=169

例5

1,{[(9+15)—10]x2+2}x2

2、[(7+15-10)x2+3]x2=54

3、[(25+10)x2+10]x2=160

例6

1、I(122-8)x2-28jx2=200x2=400

2、2x[(l+2)x2+2]=16

3、[（30+18-12）x2+12]x2=84x2=168

例7

1、{[（1+I）x2+1]X2+1}X2=2266+22=3

例8

1、1x2x2

例9

1、[（43-12）x2-12]x2=100

2、（15+7-10）x2+3=x2=54

3、[（30+18-12）x2+12]x2=84x2=168

例10

1、2x[（l+2）x2+2J=16

例11

R[（14-1+1）4-1+1]-rl+1

444

2x[2-r—+1）-i--+1]4-—+1

444

例12

1、三人同樣多時(shí)，都是90+3=30,小巧本來(lái)有30-2=28（個(gè)），小亞本來(lái)有30-1=29（個(gè)），小紅本來(lái)有30+3=33

2、第一棵樹(shù)上的小鳥(niǎo)只數(shù)：12—10+4=6（只）