行列式按行展開和克萊姆法則

行列式按行展開和克萊姆法則第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即定理證明（分三步）第一步第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二得把D的第i行依次與第i+1行，第i+2行,…,第n行對調(diào)為什么依次對調(diào)行？第二步第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二再把D的第j列依次與第j+1列，第j+2列,…,第n列對調(diào)第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第三步第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例1第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即代數(shù)余子式的重要性質(zhì)推論第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二

證用數(shù)學歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二n-1階范德蒙德行列式第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例４計算行列式解第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例計算階行列式解將第都加到第一列得第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例解第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二提取第一列的公因子，得將第一列的-a1倍加到第2列，-a2倍加到第3列,…,-an倍加到最后一列，得第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的．評注第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例６計算解將行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取第一行的公因子第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二按第一行展開得把第二行加到第一行，再提取公因子得：第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第二列減去第一列得按第一行展開第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．

評注

第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例計算解拆分最后一列使得行列式等于兩個行列式的和第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得即當?shù)?7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二關(guān)于的解法二把第一行的-1被加到第2、3、…、n行，得這是一種典型的行列式,見P17例10當時當時第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二設證明遞推公式：例第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二設求例第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例求第一行各元素的代數(shù)余子式之和設n階行列式靈活運用行列式的按行或按列展開性質(zhì)第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二例３設用行列式的定義證明第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二證明由行列式的定義有第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二利用范德蒙行列式計算例計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．評注第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二用數(shù)學歸納法證明第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二證對階數(shù)n用數(shù)學歸納法假設對階數(shù)小于n的行列式結(jié)論成立，下證對階數(shù)等于N的行列式也成立.現(xiàn)將Dn按最后一行展開所以對一切自然數(shù)成立。第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二評注本例中，為了將Dn展開成能用其同型的Dn-1、Dn-2表示，本利必須按第n行或第n列展開，否則所得的行列式不是與Dn同型的行列式一般來說，當行列式已告訴其結(jié)果，而我們證明的是與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論時，可考慮用數(shù)學歸納法來證明。如果未告訴結(jié)果，也可先猜想其結(jié)果，然后用數(shù)學歸納法證明其猜想結(jié)果成立。第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用．在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二Laplace展開定理定義在n階行列式D中，任取k行k列（k≤n），位于這些行列交叉處的k2個元素按它們在原行列式的相對位置組成的k階行列式（記為N)，稱為D的一個k階子式。在D中劃去N所在的行列，由剩下的元素按原來的相對位置組成的n-k階子式（記為M），稱為N的余子式，如果N的行標和列標分別為和稱為M的代數(shù)余子式，記為A第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定理設在n階行列式中取丁某k行，則D等于這k行的所有k階子式與它們各自對應的代數(shù)余子式的乘積之和。例第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二行列式的乘法法則兩個n階行列式的乘積等于一個n階行列式，與其中第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二克萊姆法則音樂第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數(shù)學家1704-1752）1704年7月31日生于日內(nèi)瓦，早年在日內(nèi)瓦讀書，1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。先后當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、意大利等學會的成員。主要著作是《代數(shù)曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入坐標系的縱軸（Y軸），然后討論曲線變換，并依據(jù)曲線方程的階數(shù)將曲線進行分類。為了確定經(jīng)過5個點的一般二次曲線的系數(shù)，應用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達式。該法則于1729年由英國數(shù)學家馬克勞林得到，1748年發(fā)表，但克萊姆的優(yōu)越符號使之流傳。

第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以表為第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即證略.注意：在利用克萊姆法則解方程組時，