靜電場邊值分析

靜電場邊值分析第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二1.電位微分方程已知電位

與電場強度E

的關(guān)系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強度E

的散度為

那么，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二拉普拉斯方程對于無源區(qū)，，上式變?yōu)?/p>

已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為上式為泊松方程在自由空間的特解。

利用格林函數(shù)可以求出泊松方程在有限空間的通解。第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

靜電場與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件初始條件邊界條件數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨時間和空間的變化特性。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。此處邊界條件實際上是指給定的邊值，它不同于前一章描述靜電場的邊界上場量變化的邊界條件。第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二邊界條件有三種類型：

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄里赫利問題。第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明。

惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。

穩(wěn)定性是指當定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否變化很大。存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。可以證明電位微分方程解具有惟一性。第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

若靜電場的邊界為導(dǎo)體，此時給定導(dǎo)體上的電位就是第一類邊界。已知

因此，對于導(dǎo)體邊界，當邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結(jié)論稱為靜電場惟一性定理?？梢?，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，若給定導(dǎo)體表面上的電荷量就是第二類邊界。第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

靜電場的邊值問題——根據(jù)給定的邊界條件求解靜電場的電位分布。

對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程在無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程利用格林函數(shù)，可以求解泊松方程。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。求解靜電場邊值問題的另一種簡單方法是鏡像法。第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二2.鏡像法

實質(zhì):以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變原來的邊界條件。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二（1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

以一個鏡像點電荷q'代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'共同產(chǎn)生，即

無限大導(dǎo)體平面的電位為零第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

電場線與等位面的分布特性與電偶極子的上半部分完全相同。電場線等位線z第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二*根據(jù)電荷守恒定律，鏡像點電荷的電荷量應(yīng)該等于導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。*上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二q

對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

位于無限大的導(dǎo)體平面附近的線電荷，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。

僅當這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為什么？ll–l第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二（2）點電荷與導(dǎo)體球

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。令鏡像點電荷q

位于球心與點電荷q的連線上，那么球面上任一點電位為

為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為qfOPadrqr第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。

若△OPq~△

OqP

，則鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為

求得鏡像電荷為qfOPadrqr第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

若導(dǎo)體球不接地，則其電位不為零。q

的位置和量值應(yīng)該如何?由q

及q

在球面邊界上形成的電位為零，因此必須再引入一個鏡像電荷q

以產(chǎn)生一定的電位。q第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二以保證導(dǎo)體球表面上總電荷量為零值。

為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q

必須位于球心。

為了滿足電荷守恒定律，第二個鏡像電荷q

必須為導(dǎo)體球的電位?qq"q'第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二l（3）線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d處，平行放置一根鏡像線電荷

。因此，離線電荷r

處，以為參考點的電位為

Pafdr–lO已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為，第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個等位體，必須要求比值與前同理，可令第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

（4）點電荷與無限大的介質(zhì)平面

E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+

對于上半空間，可用鏡像電荷q'

等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。

對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"

等效原來的點電荷q與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2的均勻空間。

第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

必須迫使所求得的場符合邊界條件，即電場切向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即

已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電壓為U，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。

解對于該邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。求得UbaO

選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標r

有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榈?4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二利用邊界條件：最后求得求得第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

為了利用給定的邊界條件，選擇適當?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾?。對于上述一維微分方程，可以采用直接積分方法。

分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而簡化求解過程。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二3.直角坐標系中的分離變量法

在直角坐標系中，拉普拉斯方程展開式為

令式中的左邊各項僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量x

求導(dǎo)，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。代入上式，兩邊再除以，得

第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二同理，再分別對變量y

及z

求導(dǎo)，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為，求得式中，kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。三個分離常數(shù)不是獨立的，必須滿足下列方程第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同?；蛘呤街?，A,B,C,D為待定常數(shù)。例如，含變量x

的常微分方程的通解為第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二當kx為虛數(shù)時，令，則上述通解變?yōu)榛蛘吆兞縳

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。

這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二例兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導(dǎo)電平面封閉，且與半無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。Odxy=0=0=0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榻膺x取直角坐標系。槽中電位分布與z無關(guān)，這是一個二維場的問題。第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用分離變量法，令為了滿足及，Y(y)

的解應(yīng)為槽中電位滿足的邊界條件為因為y=0時，電位=0，因此上式中常數(shù)B=0。為了滿足，分離常數(shù)

ky

應(yīng)為

第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二求得已知，求得可見，分離常數(shù)kx為虛數(shù)，故X(x)的解應(yīng)為式中的常數(shù)C

應(yīng)為零？那么式中的常數(shù)C=AD

。求得第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二因x=0時，電位=0

，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的線性組合作為電位方程的解。為了滿足x=0，=0

，由上式得

即第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二Odxy=0=0=0利用傅里葉級數(shù)的正交性，求出系數(shù)Cn為求得槽中電位分布函數(shù)為

電場線等位面第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二4.圓柱坐標系中的分離變量法在圓柱坐標系中，電位微分方程展開式為

令求得上式中只有第二項為變量

的函數(shù)，因此將上式對

求導(dǎo)，得知第二項對的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項應(yīng)為常數(shù)。令第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二即式中的k為分離常數(shù)，它可以是實數(shù)或虛數(shù)。令，m為整數(shù)，則上式的解為考慮到，以及上式，則前述方程可表示為變量

的變化范圍為，因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)k

一定為整數(shù)。第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二上式第一項僅為變量r

的函數(shù)，第二項僅為變量z

的函數(shù)，因此，它們應(yīng)為常數(shù)。式中的分離常數(shù)kz可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)、雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。式中的C,D

為待定常數(shù)。當kz為實數(shù)時，可令令第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二將變量z的方程代入前式，得

若令，則上式變?yōu)?/p>

上式為標準的貝塞爾方程，其解為貝塞爾函數(shù)，即

式中，為m階第一類貝塞爾函數(shù)；為m階第二類貝塞爾函數(shù)。當r=0時，。因此，當場區(qū)包括r=0時，只能取第一類貝塞爾函數(shù)。

第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第一類貝塞爾函數(shù)x第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第二類貝塞爾函數(shù)x第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

至此，我們分別求出了R(r)

,()

,Z(z)的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。

若靜電場與變量z無關(guān)，則。那么電位微分方程變?yōu)榇朔匠痰慕鉃橹笖?shù)函數(shù)，即

若又與變量無關(guān)，則m=0。那么，電位微分方程的解為

第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式

例設(shè)一根無限長的導(dǎo)體圓柱位于均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導(dǎo)體圓柱。試求導(dǎo)體圓柱外的電場強度。

x

yaE0O第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二

解選取圓柱坐標系。令z

軸為圓柱軸線，電場強度的方向與x軸一致，即

當導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z無關(guān)。x

yaE0O解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足兩個邊界條件。第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二①圓柱表面電場強度的切向分量為零。求得②無限遠處的電場未受到擾動。此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為cos

的函數(shù)。即因此第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二為了滿足②，系數(shù)，且m=1。因此電位函數(shù)應(yīng)為那么，根據(jù)邊界條件即可求得系數(shù)B1，D1

應(yīng)為第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二代入前式，求得圓柱外電位分布函數(shù)為

則圓柱外電場強度為

第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二x

yaE0O圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布電場線等位面第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二令代入上式，得5.球坐標系中的分離變量法

在球坐標系中，電位微分方程的展開式為第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二其解應(yīng)為令若靜電場與變量

無關(guān)，則m=0。將代入上式，得第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二可見，上式中第一項僅為r

的函數(shù)，第二項與r無關(guān)。因此，第一項應(yīng)為常數(shù)。這是歐拉方程，其通解為

為了便于進一步求解，令即,n

為整數(shù)第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二令，則上式變?yōu)樯鲜綖檫B帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m<n

。

當n是整數(shù)時，及為有限項多項式。將上述結(jié)果代入前式，得第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二當場區(qū)包括或時，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二那么，電位微分方程的通解取下列線性組合

若靜電場與變量無關(guān)，則m=0，稱為第一類勒讓德函數(shù)。此時，電位微分方程的通解為通常令第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期二例設(shè)半徑為a，介電常數(shù)為的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場E0

的作用，如圖所示。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場強度。

E0zy

0a解取球坐標系，令。顯然，此時場分布與無關(guān)。球內(nèi)、外的電位分布