空間問題的有限單元法演示文稿

空間問題的有限單元法演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有58頁\編輯于星期四（優(yōu)選）空間問題的有限單元法現(xiàn)在是2頁\一共有58頁\編輯于星期四7.1三維應(yīng)力狀態(tài)工程結(jié)構(gòu)一般都是立體的彈性體。受力作用后，其內(nèi)部各點(diǎn)將沿x、y、z坐標(biāo)軸方向產(chǎn)生位移，是三維空間問題，其應(yīng)力狀態(tài)如圖7-1所示。圖7-1空間結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)各點(diǎn)沿x、y、z方向的位移以u、v、w表示，這些位移為各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，即：u=u(x、y、z)v=v(x、y、z)w=w(x、y、z)第77章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是3頁\一共有58頁\編輯于星期四由彈性力學(xué)知，應(yīng)變與位移間的幾何關(guān)系是

(7-1)三維彈性體的應(yīng)變分量，用矩陣表示為(7-2)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是4頁\一共有58頁\編輯于星期四彈性體受力作用，內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)也是三維的，用列向量表示為在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變間的物理關(guān)系矩陣表達(dá)式為對于各向同性彈性體，在三維應(yīng)力狀態(tài)下，彈性矩陣的形式為(7-3)(7-4)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是5頁\一共有58頁\編輯于星期四7.2空間結(jié)構(gòu)的離散化

空間問題所選用的單元形狀如圖7-2所示。

四結(jié)點(diǎn)四面體單元(b)八結(jié)點(diǎn)平行6面體單元(c)八結(jié)點(diǎn)任意6面體單元(d)二十結(jié)點(diǎn)任意6面體單元(e)八結(jié)點(diǎn)板殼單元(f)四面體組合體圖7-2空間結(jié)構(gòu)單元類型第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是6頁\一共有58頁\編輯于星期四其中，最簡單的空間單元是四面體單元。采用四面體單元和線性位移函數(shù)處理空間問題，可以看作是平面三角形單元的推廣。如圖7-2(f)所示，一個(gè)平行6面體可由5個(gè)四面體組成，其基本單元仍是四面體。它們分別由如下結(jié)點(diǎn)組成：2→3→4→7，1→2→4→5，2→4→7→5，2→7→6→5，4→7→5→8。7.3簡單四面體單元7.3.1形狀函數(shù)圖7-2(a)表示任一簡單四面體單元，其中四個(gè)結(jié)點(diǎn)編號設(shè)為i、j、m、n(或1、2、3、4)。單元變形時(shí)，各結(jié)點(diǎn)沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示為第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是7頁\一共有58頁\編輯于星期四單元變形時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)也有沿x、y、z方向的位移u、v、w，一般應(yīng)為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。對于這種簡單的四面體單元，其內(nèi)部位移可假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù)，為滿足變形協(xié)調(diào)條件，取為(7-5)式(7-5)含有12個(gè)待定系數(shù)a，可由單元的12項(xiàng)結(jié)點(diǎn)位移決定.將4個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入式(7-5)的u式中。

i、j、m、n共4個(gè)結(jié)點(diǎn)，分別有(7-7)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是8頁\一共有58頁\編輯于星期四由式(7-7)求出、、和，再代回式(7-5)中，整理后得其中式中，V為四面體的體積，且有

(7-7)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是9頁\一共有58頁\編輯于星期四為使四面體的體積V不為負(fù)值，在右手坐標(biāo)系中，使右手旋轉(zhuǎn)按著由i-j-m的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時(shí)，是向法向n方向前進(jìn)。用求位移u的同樣方法，可求得將位移的3個(gè)線性方程形成的線性方程組用矩陣表示為(7-8)式中(7-9)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是10頁\一共有58頁\編輯于星期四7.3.2單元剛度矩陣將式(7-8)代入幾何方程式(7-2)，經(jīng)過微分運(yùn)算，可得單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)?7-10)式中(7-11)簡單四面體單元內(nèi)，各點(diǎn)的應(yīng)變都是一樣的，這是一種常應(yīng)變單元。這一點(diǎn)與平面問題的簡單三角形單元相似，由于單元內(nèi)位移都假定為線性變化的，因而由位移一階導(dǎo)數(shù)組成的應(yīng)變也為常量。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是11頁\一共有58頁\編輯于星期四同樣，用虛功原理建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，從而得出簡單四面體單元的剛度矩陣。(7-12)(7-13)按結(jié)點(diǎn)分塊表示，此單元剛度矩陣可表示為(7-14)其中任一子矩陣為第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是12頁\一共有58頁\編輯于星期四(r=i、j、m、n，S=i、j、m、n)

(7-15)其中

彈性體三維（空間）問題的原始平衡方程組，即其中7.3.3整體結(jié)構(gòu)載荷列向量整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)載荷列向量(7-17)式中——單元上集中力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；——單元上表面力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；——單元上體積力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；——單元結(jié)點(diǎn)載荷列向量。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是13頁\一共有58頁\編輯于星期四常應(yīng)變四面體單元

①位移函數(shù)包含了坐標(biāo)的一次完全多項(xiàng)式，且在單元間公共邊上位移連續(xù)，滿足收斂準(zhǔn)則。②常應(yīng)變四面體單元對邊界擬合能力強(qiáng)，但精度較差。現(xiàn)在是14頁\一共有58頁\編輯于星期四體積坐標(biāo)任意一點(diǎn)P(x,y,z)

P點(diǎn)的體積坐標(biāo)

一、體積坐標(biāo)定義xyzijkmP—四面體ijkm的體積

—四面體kmiP的體積—四面體Pmij的體積—四面體ijkP的體積—四面體Pjkm的體積現(xiàn)在是15頁\一共有58頁\編輯于星期四一、體積坐標(biāo)定義體積坐標(biāo)的特點(diǎn)：①一點(diǎn)的四個(gè)體積坐標(biāo)是線性相關(guān)的②③在四個(gè)結(jié)點(diǎn)上當(dāng)Li為常數(shù)時(shí)，表示內(nèi)平行于jkm面的面。

體積坐標(biāo)xyzijkmP現(xiàn)在是16頁\一共有58頁\編輯于星期四二、體積坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系

體積坐標(biāo)xyzijkmP現(xiàn)在是17頁\一共有58頁\編輯于星期四三、體積積分公式體積坐標(biāo)xyzijkmP現(xiàn)在是18頁\一共有58頁\編輯于星期四高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點(diǎn)二次四面體單元現(xiàn)在是19頁\一共有58頁\編輯于星期四高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點(diǎn)二次四面體單元形函數(shù)的構(gòu)造P為插值函數(shù)次數(shù)現(xiàn)在是20頁\一共有58頁\編輯于星期四高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點(diǎn)二次四面體單元角結(jié)點(diǎn)

棱邊結(jié)點(diǎn)

現(xiàn)在是21頁\一共有58頁\編輯于星期四高次四面體單元

2、20結(jié)點(diǎn)四面體單元6201914181713324157119101215168角結(jié)點(diǎn)棱邊二分點(diǎn)面內(nèi)結(jié)點(diǎn)應(yīng)變和應(yīng)力是坐標(biāo)的二次函數(shù)現(xiàn)在是22頁\一共有58頁\編輯于星期四五面體單元

645123ζ

6結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)1、6結(jié)點(diǎn)線性三棱柱單元為三角形面積坐標(biāo)

現(xiàn)在是23頁\一共有58頁\編輯于星期四五面體單元

2、15結(jié)點(diǎn)二次三棱柱單元645123ζ15結(jié)點(diǎn)五面體單元879101112131415形函數(shù)角結(jié)點(diǎn)

矩形邊中點(diǎn)

三角形邊中點(diǎn)

現(xiàn)在是24頁\一共有58頁\編輯于星期四六面長方體單元

634158ξηζ271、8結(jié)點(diǎn)六面長方體單元形函數(shù)位移函數(shù)現(xiàn)在是25頁\一共有58頁\編輯于星期四六面長方體單元

2、20結(jié)點(diǎn)六面長方體單元634158ξηζ2720191418171391012151611角結(jié)點(diǎn)邊中點(diǎn)六面長方體單元，由于形狀規(guī)則，難以適應(yīng)工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜外形現(xiàn)在是26頁\一共有58頁\編輯于星期四六面體等參元

12345678一個(gè)八結(jié)點(diǎn)實(shí)際單元xyzξηζ2自然坐標(biāo)系中的母單元634158ξηζ7現(xiàn)在是27頁\一共有58頁\編輯于星期四所謂等參單元：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進(jìn)行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進(jìn)行有限元離散。現(xiàn)在是28頁\一共有58頁\編輯于星期四7.420結(jié)點(diǎn)等參元7.4.1形狀函數(shù)為適應(yīng)三維結(jié)構(gòu)的曲面邊界，可以采用曲面7面體單元。正方體基本單元內(nèi)任一點(diǎn)與實(shí)際曲面單元內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，結(jié)點(diǎn)也一一對應(yīng)。這里，實(shí)際單元邊界線中間的結(jié)點(diǎn)9、10、……、20，都“映射”成為正方體的棱邊中點(diǎn)。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是29頁\一共有58頁\編輯于星期四(a)直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元(b)自然坐標(biāo)系與基本單元圖7-320結(jié)點(diǎn)三維等參單元位移函數(shù)和幾何坐標(biāo)的變換式應(yīng)取為相同的參數(shù)，其坐標(biāo)變換關(guān)系可表示為(7-17)則單元的位移函數(shù)可寫成第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是30頁\一共有58頁\編輯于星期四(7-18)在自然坐標(biāo)系中，各結(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)可寫成如下形式對于8個(gè)頂角結(jié)點(diǎn)（i＝1，2，……，8）式中xi、yi、zi——結(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)；

ui、vi、wi——結(jié)點(diǎn)i沿x、y、z方向的位移；

Ni——對應(yīng)于i結(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)。對于的邊上點(diǎn)（i＝9，11，13，15）對于的邊上點(diǎn)（i＝10，12，14，17）第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是31頁\一共有58頁\編輯于星期四對于的邊上點(diǎn)（i＝17，18，19，20）(7-19)7.4.2單元剛度矩陣三維變形狀態(tài)下，一點(diǎn)的應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為(7-20)第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是32頁\一共有58頁\編輯于星期四式中為單元結(jié)點(diǎn)位移列向量，而單元應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣[B]可按結(jié)點(diǎn)分塊表示為其中每個(gè)子矩陣又可分為上下兩塊，有（i＝1，2，…20）(7-21)單元的剛度矩陣為第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是33頁\一共有58頁\編輯于星期四(7-22)為便于以下計(jì)算，彈性矩陣[D]可分塊寫為(7-23)令,則，為60×60的方陣，可按結(jié)點(diǎn)寫為子塊形式第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是34頁\一共有58頁\編輯于星期四式中第i行j列的子矩陣為(7-24)將(7-20)、(7-22)分塊式代入(7-23)，其被積函數(shù)可寫為(7-25)式中按坐標(biāo)變換式(7-17)，應(yīng)有第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是35頁\一共有58頁\編輯于星期四同樣可有(7-27)三維7面體的雅可比矩陣為(7-27)同理可采用三維高斯求積公式計(jì)算單元剛度矩陣。即第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是36頁\一共有58頁\編輯于星期四式中，L，M，N為沿、、方向的積分點(diǎn)數(shù)目，而積分點(diǎn)坐標(biāo)及權(quán)重可由高斯積分表查得。7.5ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例7.5.1問題描述如圖7-4所示，一個(gè)圓柱實(shí)體。柱高0.2m，圓柱橫截面直徑為0.1m。約束方式：底面全約束。承受載荷：第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是37頁\一共有58頁\編輯于星期四

A點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；B點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=5000N；C點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；D點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=-5000N。彈性模量為EX=210GP，泊松比μ=0.3。圖7-4圓柱實(shí)體示意圖7.5.2ANSYS求解操作過程打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作:第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是38頁\一共有58頁\編輯于星期四（1）選擇單元類型運(yùn)行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框，如圖7-5所示。然后單擊Add，彈出LibraryofElementTypes窗口，如圖7-7所示，選擇SOLID45單元，單擊OK。圖7-5單元類型對話框圖7-7單元類型庫對話框第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是39頁\一共有58頁\編輯于星期四（2）設(shè)置材料屬性運(yùn)行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，彈出如圖7-7所示對話框。雙擊Isotropic，彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框，如圖7-8所示，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖7-7選擇材料屬性對話框圖7-8設(shè)置材料屬性對話框第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是40頁\一共有58頁\編輯于星期四（3）建立模型運(yùn)行Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By2Corners，彈出如圖7-9所示對話框，在WPX選項(xiàng)欄中填寫0，在WPY選項(xiàng)欄中填寫0，在Width選項(xiàng)欄中填寫0.05，在Height選項(xiàng)欄中填寫0.2，點(diǎn)擊OK。生成如圖7-10所示圖形。圖7-9兩點(diǎn)建立矩形對話框圖7-10生成的長方形面第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是41頁\一共有58頁\編輯于星期四將長方形旋轉(zhuǎn)成柱體，運(yùn)行Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Areas>AboutAxis，彈出如圖7-11所示拾取框。選擇圖7中長方形后彈出單擊OK，再選擇長方形左上角和左下角結(jié)點(diǎn)后，單擊OK.。彈出如圖7-12所示對話框。在ARC選項(xiàng)欄中填入旋轉(zhuǎn)角度360度，設(shè)置完畢單擊OK按鈕，生成如圖7-13所示圓柱體。圖7-11拾取對稱軸對話框圖7-12設(shè)置繞軸旋轉(zhuǎn)參數(shù)對話框圖7-13圓柱模型第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是42頁\一共有58頁\編輯于星期四運(yùn)行Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Global>Size彈出如圖7-14所示對話框，設(shè)置SIZE選項(xiàng)欄中的數(shù)據(jù)為0.01。運(yùn)行Meshing>Mesh>Volumes>Free自由劃分網(wǎng)格后得到如圖7-15所示圖形。圖7-14設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框圖7-15圓柱有限元模型（5）施加約束運(yùn)行Solution>DefineLoads>Apply>Displacement>OnAreas，拾取圓柱的底面，施加全約束。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是43頁\一共有58頁\編輯于星期四（7）施加載荷顯示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)行PlotCtrls>Numbering彈出如圖7-17所示對話框，激活KPNumbers后面的選框，使它變成on形式。選擇菜單Solution>DefineLoads>Apply>Structure>

Force/MomentOnKeypoints，載荷分別如下：8點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；10點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=5000N；3點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；7點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=-5000N。施加載荷，圖形如圖7-17所示。圖7-17編號顯示設(shè)置對話框第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是44頁\一共有58頁\編輯于星期四圖7-17圓柱實(shí)體示意圖（7）求解選擇Solution>Solve>CurrentLS，開始計(jì)算，計(jì)算結(jié)束會彈出計(jì)算完畢對話框，單擊Close。關(guān)閉對話框計(jì)算完畢。（8）后處理運(yùn)行GeneralPostproc>PlotResults>ContourPlot>NodalSolu。彈出如圖7-18所示對話框，運(yùn)行DOFSolution>Displacementvectorsum和Stress>vonMisesstress，分別顯示圓柱體的位移和應(yīng)力云圖。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是45頁\一共有58頁\編輯于星期四圖7-18云圖顯示對話框結(jié)果顯示如圖7-19和圖7-20所示。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是46頁\一共有58頁\編輯于星期四圖7-19位移云圖圖7-20應(yīng)力云圖7.5.3結(jié)論

從圖7-19圓柱的位移云圖可知，最大位移發(fā)生在B點(diǎn)處，最大位移為m。從圖7-20圓柱的應(yīng)力云圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生在A點(diǎn)處，最大應(yīng)力為71.7MPa。第7章空間問題的有限單元法現(xiàn)在是47頁\一共有58頁\編輯于星期四圓筒直徑0.4m，高度0.6m，壁厚0.005m；材料Q235，彈性模量E=2.1e11Pa，泊松比μ=0.3；約束：圓筒的下部在軸線方向固定，其它方向自由；載荷：頂部環(huán)線上承受軸向線壓力P＝-200000N/m。

圖7-4圓筒示意圖圖7-5單元類型對話框7.3.1問題描述

7.3ANSYS軸對稱旋轉(zhuǎn)單元計(jì)算示例

現(xiàn)在是48頁\一共有58頁\編輯于星期四（1）選擇單元類型運(yùn)行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框單擊Add，彈出LibraryofElementTypes對話框，如圖7-6所示，選擇SHELL51單元。7.3.2ANSYS求解操作過程

圖7-6單元類型庫對話框圖7-7選擇材料屬性對話框現(xiàn)在是49頁\一共有58頁\編輯于星期四（2）設(shè)置材料屬性運(yùn)行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，彈出DefineMaterialModelBehavior對話框，如圖7-7所示。雙擊Isotropic選項(xiàng)，彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框，如圖7-8所示。圖7-8設(shè)置材料屬性對話框現(xiàn)在是50頁\一共有58頁\編輯于星期四（3）定義單元實(shí)常數(shù)選擇MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，彈出如圖7-9所示對話框，單擊Add按鈕彈出ElementTypeforRealConstants對話框，如圖7-10所示，選擇Type1SHELL51，單擊OK，彈出RealConstantSetNumber1,forSHELL51對話框，如圖7-11所示，在TK(I)項(xiàng)輸入0.005，單擊OK。圖7-9實(shí)常數(shù)對話框圖7-10選擇要設(shè)置實(shí)常數(shù)的單元類型現(xiàn)在是51頁\一共有58頁\編輯于星期四圖7-11設(shè)置SHELL51實(shí)常數(shù)對話框（4）建立模型首先生成關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)行主菜單Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS，彈出如圖7-12所示對話框。創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)1（0.2,0,0），2（0.2,0.6,0）。生成圓筒母線：運(yùn)行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>StraightLine，彈出拾取關(guān)鍵點(diǎn)對話框，拾取關(guān)鍵點(diǎn)1、2，單擊OK。

現(xiàn)在是52頁\一共有58頁\編輯于星期四

圖7-12創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)對話框（5）設(shè)置單元屬性運(yùn)行MainMenu>Preprocessor>Meshing>MeshTool，彈出MeshTool對話框，在ElementAttributes下拉列表中選擇Lines，然后單擊其后的Set按鈕彈出拾取線對話框，單擊PickAll，彈出分配線單元屬性對話框，將MAT,TEAL,TYPE依次設(shè)置為1，1，1，單擊OK。（6）劃分網(wǎng)格

現(xiàn)在是53頁\一共有58頁\編輯于星期四單擊MeshTool中Lines后的Set按鈕，彈出拾取線對話框，單擊PickAll彈出控制線單元尺寸對話框，將NDIV設(shè)置為10，單擊OK。在MeshTool對話框中的Mesh下拉列表中選擇Lines單擊Mesh，彈出拾取線對話框，單擊PickAll，劃分網(wǎng)格完畢。運(yùn)行PlotCtrls>Style>SizeandShape，彈出如圖7-13所示對話框。在Displayofelement選項(xiàng)后面選擇on，單擊OK按鈕。顯示如圖7-14所示圖形。圖7-13尺寸和形狀顯示設(shè)置對話框圖7-14有限元模型現(xiàn)在是54頁\一共有58頁\編輯于星期四（7）施加約束運(yùn)行Main