固體物理(黃昆) 3.4三維晶格振動－黃

模型運動方程

試探解色散關(guān)系波矢q范圍B--K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:2n-22n-12n2n+12n+2Mma晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)，格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。一維單原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=11支格波晶體的自由度數(shù)=N頻率數(shù)為N一維雙原子鏈，設(shè)晶體有N個原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=22支格波晶體的自由度數(shù)=2N頻率數(shù)為2N一、色散關(guān)系(1)模型

設(shè)三維無限大的晶體,每個原胞中有n個原子，各原子的質(zhì)量分別為原胞中這n個原子平衡時的相對位矢分別為。

表示平衡時頂點位矢為的原胞內(nèi)第s個原子的位矢；3.4三維晶格的振動

表示頂點位矢為的原胞內(nèi)第s個原子離開平衡位置在方向的位移。在簡諧近似下，上式的右端是位移的線性代數(shù)式。[(=3,s=n)共有3n個方程](=1,2,3；s=1,2,3,···,n)可得到3n個線性齊次方程。(2)運動方程和解試探解：這3支格波稱為聲學(xué)支格波。

其余的(3n-3)支格波的頻率比聲學(xué)波的最高頻率還要高稱之為光學(xué)支格波。2、波矢q的取值和范圍設(shè)晶體有N個原胞,原胞的基矢為：沿基矢方向各有N1、N2、N3個原胞,As有非零解,必須其系數(shù)行列式為零3n個的實根在3n個實根中，其中有3個當(dāng)波矢q0時,根據(jù)玻恩---卡門周期性條件：(h1、h2、h3為整數(shù))波矢具有倒格矢的量綱，得出:三維格波的波矢不是連續(xù)的而是分立的，其中為波矢的基矢，波矢的點陣亦具有周期性。(二維圖示)每個波矢代表點占有的體積為：晶體體積正格子原胞體積波矢密度：波矢空間中單位體積的波矢數(shù)目。

將的取值限制在一個倒格子原胞范圍內(nèi)，此區(qū)間稱為簡約布里淵區(qū)。每個波矢代表點占有的體積為：1.布里淵區(qū)定義

在倒格空間中以任意一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格子空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)(簡約布里淵區(qū))：圍繞原點的最小閉合區(qū)域；第n+1布里淵區(qū)：從原點出發(fā)經(jīng)過n個中垂面(或中垂線)才能到達(dá)的區(qū)域(n為正整數(shù))。晶格振動頻率數(shù)目:3支聲學(xué)波(3n-3)支光學(xué)波晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)mn。設(shè)晶體有N個原胞,每個原胞有n個原子,

m支聲學(xué)波，m(n-1)支光學(xué)波，這里m是晶體的維數(shù)，n是原胞中原子的數(shù)目。波矢可取的數(shù)目：

例1：金剛石結(jié)構(gòu)有幾支格波?幾支聲學(xué)波?幾支光學(xué)波?設(shè)晶體有N個原胞，晶格振動模式數(shù)為多少?答:金剛石結(jié)構(gòu)為復(fù)式格子,每個原胞有2個原子。有6支格波，3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波。振動模式數(shù)為6N。晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)mn。例2考慮一個全同原子組成的平面方格子，用記第ι行，第m列的原子垂直于格平面的位移，每個原子質(zhì)量為M，最近最近鄰原子的力常數(shù)為c。

（a）證明運動方程為：

這里a是最近鄰原子的間距，證明運動方程是可以滿足的，如果（b）設(shè)解的形式為：

這就是問題的色散關(guān)系。

（c）證明獨立解存在的k空間區(qū)域是一個邊長為正方形，這就是平方格子的第1布里淵區(qū)。構(gòu)出k＝kx，而ky＝0時，和kx＝ky時的ω－k圖。（d）對于ka<<1，證明

解：

(ι,m)(ι,m＋1)(ι,m－1)(ι－1,m)(ι＋1,m)（ι＋1，m）對（ι，m）的作用力

（ι-1，m）對（ι，m）的作用力

（ι，m+1）對（ι，m）的作用力

（ι，m-1）對（ι，m）的作用力

(a)運動方程：