高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)：第66課等差、等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

第66課等差、等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用1.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比數(shù)列模型，并能運用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題.2.通過解決實際問題的過程，培養(yǎng)提出問題，分析問題，解決問題的能力.1.閱讀：必修5第45～46頁，第58～59頁.2.解悟：①生活中的等差數(shù)列和等比數(shù)列模型；②體會課本中從情境中提煉出等差數(shù)列和等比數(shù)列的方法；③整理數(shù)列求和的常用方法.3.踐習(xí)：在教材空白處，做第58、59頁例題.基礎(chǔ)診斷1.用火柴棒按下圖的方法搭.……按圖示的規(guī)律搭下去，則可推測第n個圖中所用的火柴棒數(shù)量an＝2n＋1.解析：由圖可知，三角形的個數(shù)增加一個，則火柴棒的數(shù)量增加2，所以火柴棒數(shù)量an是一個首項為3，公差為2的等差列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.2.某種細(xì)胞在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(1個變成2個)，那么經(jīng)過3小時，這種細(xì)胞由1個可以分裂成512個.解析：3×60÷20＝9(次)，29＝512(個)，故經(jīng)過3小時，這種細(xì)胞由1個可以分裂成512個.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則這座塔的頂層共有燈3盞.解析：設(shè)塔的頂層有a盞燈.由題意可知，各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為a，公比為2的等比數(shù)列，所以eq\f(a（1－27）,1－2)＝381，解得a＝3，故塔的頂層共有燈3盞.4.一個梯形兩底邊的長分別是12cm與22cm，將梯形的一條腰10等分，過每個分點作平行于梯形底邊的直線，這些直線夾在梯形兩腰間的線段的長度的和為153cm.解析：因為是10等分，所以設(shè)上底a1，下底a11，根據(jù)梯形的中位線定理可知a1＋a11＝2a6，a2＋a10＝2a6，a3＋a9＝2a6，a4＋a8＝2a6，a5＋a7＝2a6，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9a6，a6＝eq\f(a1＋a11,2)＝eq\f(12＋22,2)＝17，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9×17＝153，故夾在梯形兩腰間的線段的長度的和為153cm.范例導(dǎo)航考向?等差數(shù)列模型例1流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求出這一天的新患者人數(shù).解析：由題意知11月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，a1＝20，d1＝50，所以11月n日新感染者人數(shù)an＝50n－30.從n＋1日到30日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，b1＝50n－60，d2＝－30，所以這30天內(nèi)感染該病毒的患者人數(shù)為eq\f(（20＋50n－30）n,2)＋(30－n)·(50n－60)＋eq\f(（30－n）（29－n）,2)×(－30)＝8670，化簡得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍)，即11月12日這一天感染此病毒的新患者人數(shù)最多有570人.考向?等比數(shù)列模型例2某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少eq\f(1,5)，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加eq\f(1,4).(1)設(shè)n年內(nèi)(本年為第1年)總投入An萬元，旅游業(yè)總收入Bn萬元，求An和Bn；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？(lg2≈0.301)解析：(1)第一年投入800萬元，第二年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))萬元，…，第n年投入800(1－eq\f(1,5))n－1萬元，所以n年內(nèi)的總投入為An＝800＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)＝4000－4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)；第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))萬元，…，第n年旅游業(yè)收入為400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)萬元，所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為Bn＝400＋400×(1＋eq\f(1,4))＋…＋400×(1＋eq\f(1,4))n－1＝1600×(eq\f(5,4))n－1600.(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，則Bn－An＞0，即1600×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)－1600－4000＋4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)＞0，化簡得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)－7＞0.設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)＝x，代入上式得2x2－7x＋5＞0，解得x＞eq\f(5,2)或x＜1(舍去)，稱軸方程為x＝10.5，知當(dāng)x＝10或11時，s取得最小值2000.3.某人為了購買商品房，從2008年起，每年1月1日到銀行存入a元一年定期儲蓄.若年利率為p，每年到期存款及利息均自動轉(zhuǎn)為新一年定期存款，到2016年1月1日(當(dāng)日不存只取)將所有的存款及利息全部取回(不計利息稅)，則可取人民幣總數(shù)為eq\f(a（1＋p）[（1＋p）8－1],p)元.解析：到2016年1月1日可取回錢的總數(shù)為a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝eq\f(a（1＋p）[（1＋p）8－1],p).4.現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長為10cm，最下面的三節(jié)長度之和為114cm，第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項，則n＝16.解析：由題意得每節(jié)竹竿的長度構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d(d>0).由題意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，aeq\o\al(2,6)＝a1an，則3an－1＝114，解得an－1＝38，所以(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝10＋2(n－2)＝38，解得