《有理數(shù)》(基礎(chǔ))知識講解

SHAPE《有理數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念.

2．理解并會用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運(yùn)算法則進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算.

3．學(xué)會借助數(shù)軸來理解絕對值、有理數(shù)比較大小等相關(guān)知識.4.理解科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)的相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用.5.體會數(shù)學(xué)知識中體現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)思想.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：要點(diǎn)詮釋：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線．要點(diǎn)詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點(diǎn)詮釋：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．?dāng)?shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．要點(diǎn)詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為（5）【答案與解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計算，然后利用各種運(yùn)算法則計算，有時可以利用運(yùn)算律來簡化運(yùn)算．舉一反三：

【變式】計算：（1）（2）【答案】解：（1）（2）=-16+4-3×1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用5．（1）數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則a，-a，1的大小關(guān)系．A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a(chǎn)＜1＜-a（2）分類討論思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）轉(zhuǎn)化思想：計算：【答案與解析】解：（1）將-a在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖所示，得到a＜1＜-a，所以大小關(guān)系為：a＜1＜-a．所以正確選項(xiàng)為：D．（2）因?yàn)閨x|＝5，所以x為-5或5因?yàn)閨y|＝3，所以y為3或-3．當(dāng)x＝5，y＝3時，x-y＝5-3＝2當(dāng)x＝5，y＝-3時，x-y＝5-(-3)＝8當(dāng)x＝-5，y＝3時，x-y＝-5-3＝-8當(dāng)x＝-5，y＝-3時，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值為±2或±8（3）原式=【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段．?dāng)?shù)形結(jié)合——“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”．舉一反三：

【變式】若a是有理數(shù)，|a|-a能不能是負(fù)數(shù)?為什么?【答案】解：當(dāng)a＞0時，|a|-a＝a-a＝0；當(dāng)a＝0時，|a|-a＝0-0＝0；當(dāng)a＜0時，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，對于任何有理數(shù)a，|a|-a都不會是負(fù)數(shù)．類型四、規(guī)律探索6．將1，，，，，，…，按一定規(guī)律排列如下：請你寫出第20行從左至右第10個數(shù)是________．【思路點(diǎn)撥】通過觀察題目所給的圖形、表格或一段語言敘述，然后歸納總結(jié)，尋找規(guī)律．【答案】【解析】認(rèn)真觀察可知，第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，第3行有3個數(shù)，……，所以第20行有20個數(shù)，從第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝21