2023年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）分層分類匯編-06解答題（提升題）

2023年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯編-06解答題（提升題）

--一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

1.（2023-2023校級一模）某學(xué)校準備購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相

同），若購買2個足球和3個籃球共需340元，購買5個足球和2個籃球共需410元.

（1）購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校的實際情況，需購買足球和籃球共96個，并且總費用不超過5720元.問最多可以購買

多少個籃球？

二.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2023?2023校級一模）如圖，拋物線頂點坐標為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,交y軸于點

B.

（1）求拋物線和直線A8的解析式；

（2）設(shè)點尸是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P,使S△雨B面積最大，若存在，

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）設(shè)點。（異于C點）是拋物線上的一個動點，是否存在一點Q,使&QAB=SACAB.若存在，直接

寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

3.（2023?2023校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)VX2+云+。與x軸的正半軸交于點。，

與y軸交于點C,點A在拋物線上，軸于點跟△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE,連接

DE.當芻/+灰+。<0時，x的取值范圍是一3<x<2.

65

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求證：四邊形O8ED是矩形；

（3）在線段。。上找一點N,過點N作直線"?垂直x軸，交OE于點F,連接OR當尸的面積取

得最大值時，求點N的坐標，在此基礎(chǔ)上，在直線上找一點P,連接。P、QP.使得NOPQ+NQOE

=90°,求點尸的坐標.

4.(2023?2023校級一模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-/+2日+2/?+1與x軸的左交點為

A,右交點為2,與y軸的交點為C,對稱軸為直線/,對于拋物線上的兩點(xi,yi),(X2,y2)(xi<

k<x2),當XI+X2=2時，yi-y2=0恒成立.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點M是第二象限內(nèi)直線AC上方的拋物線上的一點，過點M作于點M求線段MN的最

大值，并求出此時點M的坐標；

(3)點P是直線/右側(cè)拋物線上的一點，PQJJ于點。，4P交直線/于點凡是否存在這樣的點P,使

△PQF與△ACO相似？若存在，請求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

5.(2023?2023一模)二次函數(shù)y=a?+加:+3的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點，與y軸交于

點C,頂點為E.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式：

(2)如圖①，￡)是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當8。的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點。

的坐標；

(3)如圖②，尸是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接0P,取0尸中點Q,連接QC,QE,CE,當4

CEQ的面積為12時，求點P的坐標.

6.(2023?2023一模)如圖，拋物線當+c與x軸交于點A,8,與y軸交于點C,已知A,C兩點

2

坐標分別是A(1,0),C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式；

(2)將△ABC沿8c所在直線折疊，得到△O8C,點A的對應(yīng)點。是否落在拋物線的對稱軸上，若點

。在對稱軸上，請求出點。的坐標；若點。不在對稱軸上，請說明理由；

（3）點P是拋物線圖象上的一動點，當時，直接寫出點P的坐標.

7.（2023?2023一模）如圖，已知直線AB：與拋物線丫=得a-'相父于點A（a，4）、

點8,點B在x軸上，且對于任意實數(shù)x,不等式Ltx22tx-t>［恒成立?

333

（1）求該拋物線及直線A8的解析式；

（2）點M為該拋物線上的一點，過點M作MNLx軸于點N,過點A作軸于點”，當以點M、

N、8為頂點的三角形與△AHB相似，直接寫出滿足條件的全部點M的橫坐標，并選取其中兩種情況寫

出解答過程；

（3）試問，在拋物線y=L,2jL_tx.t上是否存在點Q,使得△0A8的面積等于AAOB的面積的2

313

倍？如果存在，請直接寫出點。的坐標，如果不存在，請說明理由.

8.（2023?2023一模）如圖甲，在△ABC中.ZACB=90°.AC=4.BC=3.如果點P由點8出發(fā)沿54

方向向點A勻速運動.同時點。由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動.它們的速度均為每秒鐘1個單

位長度.連接產(chǎn)。，設(shè)運動時間為f秒鐘（0</<4）.

（1）設(shè)△APQ的面積為S,當實數(shù)r為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下.當S取得最大值時.把此時的aAP。沿射線4c以每秒鐘1個單位長度的速度

平移，當點A平移至與點C重合時停止，寫出平移過程中，△APQ與△ABC的重疊部分面積y與平移

時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍：

(3)如圖乙，連接PC,將△PQC沿。C翻折，得到四邊形PQP'C,當四邊形PQP'C為菱形時，求

實數(shù)f的值.

9.(2023?2023一模)在矩形ABC。中，AB=12,P是邊A8上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B

的對應(yīng)點是點G,過點8作BELCG,垂足為E且在A。上，BE交PC于點F.

(1)如圖1,若點E是AO的中點，求證：AAEB絲ADEC；

(2)如圖2,當AO=25,且AE<Z)E時，求空的值：

PC

圖1圖2圖3

四.圓的綜合題(共5小題)

10.(2023?2023校級一模)如圖，4B是圓。的直徑，弦CZ)與AB交于點H,NBDC=NCBE.

(1)求證：8E是圓。的切線；

(2)CDA.AB,AC=2,BH=3,求劣弧BC的長；

(3)如圖，若CD〃BE,DF//BC,滿足BC=2D尸，連接尸”、BF,求證：FH=BF.

F

11.(2023?2023校級一模)如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZB=90°,E是8c的中點，連接

AC,AE,DE,DE交AC于點尸，且此時/AE￡>=90°.

(1)求證：AABEsAECD；

(2)求證：以8c為直徑的(DE與A￡＞相切；

(3)對角線AC交。E于點G,AB=6,BC=8,求AF的長.

12.(2023?2023—模)如圖1,將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點8恰好與CZ)邊上的動點P重合

(點尸不與點C,。重合)，折痕為MN,點M,N分別在邊A。，8c上，連接MB,MP,BP,BP與

MN相交于點F.

(1)求證：△BFNs^BCP；

(2)①在圖2中，作出經(jīng)過M,D,P三點的。。(要求保留作圖痕跡，不寫作法)；

②隨著點P在CD上運動，當①中的OO恰好與BM,8c同時相切，如圖3,若AB=4,求。P的長.

(3)在②的條件下，點。是。。上的動點，則A。的最小值為.

N

圖3

13.(2023?2023校級一模)如圖，在等邊△ABC中，M是邊BC延長線上一點，連接AM交△ABC的外接

圓于點。，延長8。至M使得BN=AM,連接CN、MN,

(1)猜想△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論;

(2)請你證明CN是。0的切線;

(3)若A。：AB=3：4,BN=8,求等邊△ABC的面積.

14.(2023?2023一模)如圖，已知點。是△48C的外接圓的圓心，AB=AC,點。是弧AB上一點，連接

并延長BD交過點A且平行于BC的射線于點E.

(1)求證：D4平分/CDE；

(2)判斷直線AE與。0的位置關(guān)系，并證明;

(3)若。E=3,BD=6,AC=5,求AC的長.

五.相似三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)

15.(2023?2023一模)如圖，在正方形ABCO中，E是對角線8。上任意一點(BE>DE),CE的延長線

交于點凡連接AE.

(1)求證：AABEs^FDE；

(2)當時,求tan/1的值.

廣東省20232023年中考數(shù)學(xué)模擬題（一模）精選分層分類匯編-06解答題

（提升題）

參考答案與試題解析

一.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

1.（2023-2023校級一模）某學(xué)校準備購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相

同），若購買2個足球和3個籃球共需340元，購買5個足球和2個籃球共需410元.

（1）購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校的實際情況，需購買足球和籃球共96個，并且總費用不超過5720元.問最多可以購買

多少個籃球？

【解答】解：（1）設(shè)購買一個足球需要x元，購買一個籃球需要y元，

根據(jù)題意得：（2x+3y=34°.

|5x+2y=410

解得：fx=50,

ly=80

答：購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80元；

（2）設(shè)購買a個籃球，則購買（96-a）個足球，

根據(jù)題意得：800+50（96-a）W5720,

解得：aW毀，

3

???a是整數(shù)，

答：最多可以購買30個籃球.

二.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2023?2023校級一模）如圖，拋物線頂點坐標為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,交y軸于點

B.

（1）求拋物線和直線A8的解析式；

（2）設(shè)點尸是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點尸，使弘以B面積最大，若存在，

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）設(shè)點。（異于C點）是拋物線上的一個動點，是否存在一點。，使SAQAB=SAC4B.若存在，直接

寫出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

1)2+4,

?'?y=一(x-1)2+4--W+2x+3,

當x=0時，y=3,

：.B(0,3),

設(shè)直線A8的解析式為：y=kx^b,

把A(3,0),B(0,3)代入y=fcv+方中，得：Jb=3

|3k+b=0

解得:(k=T,

|b=3

，直線AB的解析式為：y=-x+3；

(2)存在，

如圖2,連接OP,

設(shè)P(x,-f+2x+3)(0<x<3),

S^PAB=S^OBP+SMOP-S'AOB

=2?3X+L?3(-7+2x+3)-1X3X3

222

22

=-旦(/-3x+^--9)

244

=一旦(x-3)2+ZL,

228

；一旦＜0,

2

.?.當x=3時，△以B的面積最大，此時P(旦，」互)；

224

(3)存在,

分兩種情況：

①當。在A8的上方時，如圖3,過點C作C￡>〃AB,交拋物線于Q,連接QB,QA,此時5AACB=SA

QABJ

??/?l=5?

:.-/+2x+3=-x+5,

解得：xi=LX2=2,

???點。與點C不重合，

：.Q(2,3)；

②當。在AB的下方時，

由①知：直線CQ與y軸的交點為(0,5),即直線48向上平移2個單位,

，將直線AB向下平移2個單位得到y(tǒng)=-x+1,

工-X2+2X+3=-x+1,

解得：XI=3+717,-2=,

22

...0（3W17,-1-V17）或（3g-1W17）.

2222

綜上，點Q的坐標是（2,3）或（鄴叵，士叵）或（3-VT7,土叵）.

2222

3.（2023?2023校級-模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸卷乂。法+。與x軸的正半軸交于點。，

與y軸交于點C,點A在拋物線上，ABJ_y軸于點B./XABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O8E,連接

DE.當芻/+fcr+c<0時，x的取值范圍是一旦<x<2.

65

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求證：四邊形O8EZ）是矩形；

（3）在線段。。上找一點N,過點N作直線"?垂直x軸，交OE于點、F,連接OR當△￡>7尸的面積取

得最大值時，求點N的坐標，在此基礎(chǔ)上，在直線加上找一點P,連接OP、DP.使得NOPD+/DOE

【解答】（1）解：；當且J+bx+cVO時，x的取值范圍是-3<X<2,

65

.?.拋物線與x軸的兩個交點為（2,0）,（-X0）,

-7~X4+2b+c=0

6

\_7_

解得｛6,

c=-l

-—x-1；

6x6

(2)證明：由(1)可知。(2,0),C(0,-1),

：.OD=2,OC=l,

TABLy軸，

?,.△ABC是直角三角形，

*/△4BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至1△OBE,

???OBLBE,AB=O8,

設(shè)A(-m，m),

???加=$m2__1,

66

解得m=-1或"?=旦，

5

AA(-1,1),

.',50=1,

：?BC=BE=2,

：?BE=OD,

?；NBOD=90°,

:.BE〃OD,

???四邊形OBE。是矩形；

(3)VE(2,1),

直線OE的解析式為y=L,

2

設(shè)N(〃，0),則F(〃，工n),

2

:.S=LXDNXFN=LX(2-72)xln=-1(n-1)2+A

22244

在線段0。上，

...當”=1時，S有最大值，

此時N(1,0),F(1,1),

2

VZPNO=90°,

：.ZEOD+ZPOE=90°,

：NOPQ+/QOE=90°,

NPOE+NOPN=NOPD,

?.?。點與。點關(guān)于/對稱，

：.4OPN=NNPD,

：.ZOPN=ZPOE,

：.PF=OF,

設(shè)尸(1」)，

22

t—-2^_+A,

2222

4.(2023?2023校級一模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線尸-7+2丘+2產(chǎn)+1與x軸的左交點為

A,右交點為B,與y軸的交點為C,對稱軸為直線/,對于拋物線上的兩點Cn,W),(%2,y>)(xi<

k<xi),當XI+X2=2時，yi-y2=0恒成立.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點M是第二象限內(nèi)直線AC上方的拋物線上的一點，過點“作MNLAC于點N,求線段MN的最

大值，并求出此時點M的坐標；

(3)點P是直線/右側(cè)拋物線上的一點，PQJJ于點。，4P交直線/于點尸，是否存在這樣的點P,使

△PQF與△ACO相似？若存在，請求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)V(xi,yi),(x2>”)在拋物線y=-7+2fcv+2必+1上，

.?.XI+X2=2匕x\x2=-2A?-1,yi=-xi2+2fcxi+2Z?+1,y2=-%22+2te+2X:2+l,

**.yi-y2=(-xi2+2fcci+2^2+l)-(-x22+2te+2/?+1)=(x2-xi)(尤i+%2-2&),

*.*當XI+X2=2時，yi-”=0恒成立，

???(X2-X1)(2-2k)=0,

\*X\<k<X2f

???2-2k=0,

：.k=\,

??.該拋物線的解析式為y=-/+2x+3；

(2)由(1)知：y=-?+2x+3,

令y=0,得-X2+2X+3=0,

解得：xi=-1,X2=3,

?"(-1,0),8(3,0),

令x=0,得y=3,

：.C(0,3),

在RtAAOC中，AC=VOA2-K)C2=Vl2+32=行，

設(shè)直線AC的解析式為y^mx+n,則［一m4n=°,

ln=3

解得：卜=3,

1n=3

???直線AC的解析式為y=3x+3,

如圖1,過點M作MQ〃y軸交AC于點O,

設(shè)M(r,-?+2r+3)(-l<r<0),則。(r,3r+3),

：.MD=-P+2/+3-(3/+3)=-Z2-6

9：MNLAC,

：.ZMND=90°=N40C,

■:MD//OC,

：.4MDN=NACO,

:.XMDNSXACO,

...嶇=迫，即MN=-t2T

^OAAC'~V10

:.MN=-魚^(r+1)2+2i?,

10240

io

...當r=-2時，線段MN取得最大值叵，此時，M(-1,生)；

24024

(3)存在.

：y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

二拋物線的對稱軸為直線x=\,

設(shè)P(〃7,-/M2+2W+3)(m>l),則Q(l,-/M2+2TO+3),過點P作P從Lx軸于點“，則”(m0),

：PQ_U,/JLx軸，

；.PQ〃x軸，

NFPQ=ZPAH,

'：NPQF=4AHP,

:.XPFQs/xAPH,

當點P在x軸上方時，如圖2,PH=-胴2+2〃?+3,AH=m+\,又。4=1,OC=3,

若△PFQs^oo,則△APHsacAO,

9

???PH-—ifAuHp---Bn----m--+-2-m-+3-—m+1,

0A0C13

解得：m=-1(舍去)或機=a,

3

當機=>?■時，-m2+2〃?+3=-(—)2+2X-^.+3=AL,

3339

：.P&-11)；

39

若△PPQS/\ACO,則△APHS/XACO,

O

?理_=里即m+l=-in+2m+3

,,0Aoc"'~T~~3~

解得：m=-1(舍去)或m=0(不符合題意，舍去)；

當點P在x軸下方時，如圖3,P//=W2-2W-3,AH=m+\,

若APFQsACAO,則△APHSZ\C4O,

?PH_AH叩njZ-Jm-]=m+]

'"oK~oc'i一亍’

解得：，〃=-1(舍去)或,〃=衛(wèi)，

3

當機=22>時，-m2+2m+3=-(-12.)2+2X-12.+3=--1?-,

3339

：.P(旦-馬；

39

巖於PFQS/\ACO,則△APHS△力CO,

0

?AH—PH口口m+]—m-Zm-a

OAOC13

解得：m=-1（舍去）或m=6,

當初=6時，-m2+2加+3=-62+2X6+3=-21,

：.P（6,21）；

綜上所述，點P的坐標為（旦，11）或（獨，-23）或（6,21）.

3939

圖3

5.(2023?2023一模)二次函數(shù)y=/+fov+3的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點，與y軸交于

點C,頂點為￡

(1)求這個二次函數(shù)的表達式：

(2)如圖①，。是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過點C時，求點。

的坐標；

(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接0P,取0P中點Q,連接QC,QE,CE,當X

CEQ的面積為12時，求點P的坐標.

【解答】解：⑴將A(2,0),B(6,0)代入y=/+bx+3,得(4a+2b+3=0,

I36a+6b+3=0

解得，a%,

b=-2

二次函數(shù)的解析式為>=工？-2x+3；

圖1圖2

設(shè)Q(4,團)，

VC(0,3),由勾股定理可得：42+(m-3)2=62+32.

解得〃?=3土屈.

，滿足條件的點。的坐標為(4,3+，網(wǎng))或(4,3-V29)；

(3)如圖3,設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點

設(shè)直線CQ的解析式為y=kx+3f則-〃+旦=&戊+3,

822

解得％=An-2-3,于是C。：y=(L?-2-3)X+3,

4n4n

當x=4時，y=4(A/?-2--)+3=5

4nn

：.M(4,n-5--I?.),ME=n-4-坦

nn

S^CQE=S^CEM+S^QEM=-X—X^*(〃-4--liL)=12,

2222n

...〃2-4?-60=0,

解得附=10或"=-6>

當”=10時，P(10,8),當〃=-6時，P(-6,24).

綜合以上可得，滿足條件的點尸的坐標為(10,8)或(-6,24).

6.(2023?2023一模)如圖，拋物線丫=公2+3*+。與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,已知A,C兩點

2

坐標分別是4(I,0),C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式；

(2)將aABC沿BC所在直線折疊，得到△O8C,點A的對應(yīng)點。是否落在拋物線的對稱軸上，若點

。在對稱軸上，請求出點。的坐標；若點。不在對稱軸上，請說明理由；

(3)點P是拋物線圖象上的一動點，當NPCB=N48C時，直接寫出點P的坐標.

3

.af+c=O

c=-2

，J

解得：a=2',

c=-2

...拋物線的表達式為>=12+當-2,

22

設(shè)直線AC的表達式為y=kx+h,

則（k+b=O,

lb=-2

解得：。=2,

lb=-2

直線AC的表達式為y=2x-2；

（2）點。不在拋物線的對稱軸上，理由是：

?.?拋物線的表達式為尸界+*-2,

...點8坐標為（-4,0）.

：OA=1,OC=2,

■OA=OC

,,QCOB'

又：/4OC=NCO8=90°,

△AOCs^COB.

NACO=NCBO.

.../ACO+/BCO=/O8C+/BCO=90°,

：.ACLBC.

...將△ABC沿BC所在直線折疊，點D一定落在直線AC上，

延長AC至力，使力C=AC,過點。作OE_Ly軸交y軸于點E,如圖1.

又：ZACO=ZDCE,

：./^ACO^ADCE(A4S).

：.DE=AO=\,則點3橫坐標為-1,

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-1.

2

故點D不在拋物線的對稱軸上.

(3)當點尸在x軸下方時，如圖2,

■:NPCB=NABC,

：.CP//AB,

.?.點P的縱坐標為-2,

令v=-2,得-2=-2,

22

解得：x=0(舍去)或*=-3,

.,.P1(-3,-2)；

當點P在x軸上方時，如圖2,設(shè)CP交x軸于點G,設(shè)GG,0),

則OG=-t,BG=t+4,

由勾股定理得：CG2=OG2+OC2=r+4,

?：NPCB=NABC,

:.BG=CG,即(Z+4)2=理+4,

解得：『一旦，

2

：.G(-3,0),

2

設(shè)直線CG的解析式為y=tnx+n,

’3

則為即0,

n=-2

，秘

解得：

n=-2

直線CG的解析式為y=-lx-2,

3

'_4

y=-yx-2

聯(lián)立方程組得，c,

房J亭一2

17

xj=0x2~~

解得:

丫1=-250

y2=V

：.P2（--IL,螞），

39

綜上所述，點P的坐標為（-3,-2）或（-螞）.

39

7.（2023?2023一模）如圖，已知直線AB：與拋物線y=《tx22次“相交于點A（a,-里）、

333

點8,點8在x軸上，且對于任意實數(shù)x,不等式Ltx22tx-t〉秘恒成立.

333

（1）求該拋物線及直線4B的解析式；

（2）點M為該拋物線上的一點，過點用作MNLv軸于點N,過點A作軸于點H,當以點M、

N、8為頂點的三角形與aAHB相似，直接寫出滿足條件的全部點M的橫坐標，并選取其中兩種情況寫

出解答過程；

（3）試問，在拋物線y=ltx2jjA--r上是否存在點Q,使得△QA8的面積等于AAOB的面積的2

33

倍？如果存在，請直接寫出點。的坐標，如果不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知，拋物線尸工上/X-f=L(X-1)2-&

3333

?.?不等式工tX22tx-t〉三恒成立，

333

.,.當x=l時，-生=-4,解得r=l,

33

...拋物線的解析為：尸上火22-].

33

當y=-芻，則[/-1=-生解得苫=1.即a=l,

3333

令y=0,則工/―2犬-1=0,解得x=-l或x=3；

33

：.B(3,0)，

(2)軸,

：.H(1,0),

：.AH=^,BH=2.

3

設(shè)點M的橫坐標為相，

則M(m,A2上m-1),N(/n,0)，

33

2

：.MN=\^mJ^.m-1|,BN=\m-3\,

33

若△MVB與△A/ZB相似，則MMBN=2：3或A/N：BN=3：2,

1|：|m-3|=2：3或Rm2一^"/-」：制-3|=3：2,

3333

解得m=I或m=-3或加=」《或m=-AL.

22

綜上，當以點M、N、B為頂點的三角形與△AH3相似時，點M的橫坐標為1或-3或工或-旦

22

如圖，作點8關(guān)于點。的對稱點E,

：.BE=2OB=6,

：./\ABE的面積等于aAOB的面積的2倍,

過點E作AB的平行線，與拋物線的交點即為點Q,

,JEQ//AB,

，直線EQ的解析式為：y=Zr+2,

3

令2刀+2=工*22了-1,解得X=2+A/7^或x=2-

333

：.Q（2+A/13.工L+W亙）或（2-/H，也-漢逗）.

3333

作直線EQ關(guān)于直線AB的對稱直線E'Q',則直線E'Q'的解析式為：y=Zx-6,

3

令&-6=工/N-x-1,無解.

333

綜上，使得△Q48的面積等于AAOB的面積的2倍的點Q的坐標為（2+后，/逗）或（2-

33

VI3,比漢亙）.

33

三.四邊形綜合題（共2小題）

8.（2023?2023一模）如圖甲，在△ABC中.ZACB=90°.AC=4.BC=3.如果點P由點B出發(fā)沿BA

方向向點A勻速運動.同時點。由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動.它們的速度均為每秒鐘1個單

位長度.連接尸。，設(shè)運動時間為f秒鐘（0</<4）.

（1）設(shè)4人尸。的面積為S,當實數(shù)r為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下.當S取得最大值時.把此時的△APQ沿射線4C以每秒鐘1個單位長度的速度

平移，當點A平移至與點C重合時停止，寫出平移過程中，△APQ與△ABC的重疊部分面積y與平移

時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍；

（3）如圖乙，連接尸C,將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,當四邊形PQP'C為菱形時，求

實數(shù)f的值.

【解答】解：（1）如答圖1,過點尸作PAL4c于H,

VZC=90°,

：.AC1.BC,

J.PH//BC,

/\APH^^ABC,

.?.里=￡

''BC而‘

VAC=4c/n,BC=3cm,

AB—5cm,

?PH=5-t

~5~,

:.PH=3-3,

5

...△AQP的面積為：

（3-M）=-W（r-$）2+匹,

2251028

.?.當，為S秒時，s最大值為耳機2

28

(2)①當0Wx<2■時，y=J^；

28

②當Wwx<2時，y=-旦x+3.

24

③如答圖2,當2WxW4時，XNP'C^/\A'PQ,則Ai_￡=E_2,即與■=.二

AzQPQ5.J.1

252

解得P'C=g(4-x),

4

則y=工(4-x)x3(4-x)=—(4-x)2,

248

V(0<x<7)

-1-x+3(-y:<x'<2)；

綜上所述，y

(4-x)2(24x44)

o

(3)如答圖3,連接PP',PP'交QC于E,

當四邊形PQP'C為菱形時，PE垂直平分QC,即PE_LAC,QE=EC,

.?.△APEs△ABC,

.AE=AP

■而AB*

.XE=^”=(5-t)X4="魚+4

AB55

QE=AE-AQ--—t+4-t--當+4,

55

QE=工。C=L(4-f)=-工f+2,

222

/.-,+4=-—t+2,

52

解得：

13

：0<皎<4,

13

...當四邊形PQP'C為菱形時，r的值是幽.

13

9.(2023,2023一模)在矩形A8C￡>中，AB=12,尸是邊4B上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B

的對應(yīng)點是點G,過點B作BELCG,垂足為E且在AO上，BE交PC于點、F.

(1)如圖1,若點E是4。的中點，求證：△AEB-DEC；

(2)如圖2,當A￡>=25,且AEVQE時，求空的值；

PC

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

是4。中點，

：.AE=DE,

在△AE8和△DEC中,

'AB=DC

<ZA=ZD=90°，

AE=DE

:.4AEB沿4DEC(SAS)；

(2)VBE1.CG,

：.ZBEC=90°,

AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB^-ZABE=90°，

：.ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,

???XABEsADEC,

?ABDE

**AE=CD，

設(shè)AE=x,

：.DE=25-x,

?.?1—2=_-2-5--x-，

X12

'.x=9或x=16,

"：AE<DE,

：.AE=9,力E=16,

.,.CE=20,BE=15,

由折疊得，BC=CG=25,

在矩形4BCC,NA8C=90°,

ABPC沿PC折疊得到△GPC,

.?.NPGC=NPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

'：BEICG,

J.BE//PG,

:.△ECFS^GCP,

?EF_CE_CF,

,*PG=CG"PC'

-CF20=4

"PC"25?'

(3)如圖，連接尸G,

,?BE//PG,

???NGPF=/PFB,

:.NBPF=/BFP,

；?BP=BF；

■:BP=PG,

???團8PGb是菱形，

:.BP〃GF,

：.ZGFE=NABE,

/.△GEF^AEAB,

?EFAB

，-GF=BE，

:.BE?EF=AB?GF,

VBE*EF=108,A8=12,

?,?G產(chǎn)=9,

：.BP=GF=9.

四.圓的綜合題(共5小題)

10.(2023?2023校級一模)如圖，A3是圓。的直徑，弦CD與AB交于點H,ZBDC=ZCBE.

(1)求證：8E是圓。的切線；

(2)若CD_LA5,AC=2,BH=3,求劣弧3C的長；

(3)如圖，若CD〃BE,DF//BC,滿足BC=2O凡連接方從BF,求證：FH=BF.

【解答】(1)證明：,?工8是直徑，

AZACB=90°,

???NCA8+NA8c=90°,

■:NCAB=/CDB,/CDB=NCBE,

：.ZCBE=ZCABf

：.ZCBE+ZABC=90°,

C.ABLBE,

???/W是直徑，

???3E是。。的切線；

(2)解：CDLAB,

：.ZAHC=ZACB=90°,

*：4CAH=4CAB,

?CA=AH

.而CA，

2

：.CA=AH*ABf

設(shè)貝lj4=x(x+3),

解得x=1或-4(-4舍去)，

：.AH=A,A8=4,

：.AC=2AH,

：.ZACH=30°，

：.ZCAH=60°,

：.ZBOC=2ZA=\20°,

二前的長=120?兀-2=&；

1803

(3)證明：如圖，取6c的中點G,連接DG,GH,過點G作GMLBQ于點M,過點H作HKLDB于

點K過點F作FNA.BD于點N,作FT//BD交CD的延長線于點T.

:?DF=BG,

???四邊形。叫G是平行四邊形,

:?BF=DG,BF〃DG,

:./GDM=/FBN,

?：NGMD=NFNB=9O°,

:.4GMD沿AFNC(A4S),

:?GM=FN,

???A8是直徑，AB±CDf

：.DH=HC,E?=BC，

:.DB=DC,

:?/BDC=/BCD,

■:CG=GM,

:.HG〃DB,

*：HKLDB9GMLDB,

:.KH=GM=FN,

?:NHKJ=NFNJ=90°,/KJH=/NJF,

:.△HKJ9AFNJ(A4S),

:.HJ=JF,

?:FT"ID,

；?DT=DH=CH,

：.CD=HT,

VDF〃CB,FT//BD,

:?NFDT=NBCD,NBDC=/T,

工NT=/FDT,

:?FT=FD,

:.FT=CG,

???NT=NC,

:.△DCGQAHTF(SAS),

:?DG=HF,

：.HF=BF.

11.(2023?2023校級一模)如圖，在直角梯形A3CD中，AB//CD,N5=90°,E是BC的中點，連接

ACAE,DE,DE交AC于點、F,且此時NAED=90°.

A-A.A-

(1)求證：/\ABE^/\ECD；

(2)求證：以BC為直徑的OE與A。相切；

(3)對角線AC交。E于點G,AB=6,BC=8,求AF的長.

【解答】(1)證明：NB=90°,

AZDCE=180°-NB=90°,

:.NDCE=NB,

VZAED=90°,

：.ZDCE=900-ZAEB^ZBAE,

:.叢ABEs/\ECD；

(2)證明：過E作于H,延長DE、48交于G,如圖:

；.BE=CE,

'：AB//CD,

：.ZGBE=ZDCE,NBGE=NCDE,

:ABGE當LCDE(A4S),

：.GE=DE,

VZAED=90°,

；.A￡是。G的垂直平分線，

：.AD=AG,

：.ZGAE=ZDAE,

'：ZB=90°,EH1AD,

：.BE=HE,即EH是OE的半徑，

：.AD經(jīng)過半徑EH外端，且EH±AD,

.?.以8c為直徑的。E與4。相切；

(3)解：以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖:

?AB=BE

**CECD)

；AB=6,BC=8,BE=CE,

.?.C￡>=竺里=2,

AB3

：.D(8,邑，

3

由A(0,6),C(8,0)可得直線AC解析式為y=-3X+6,

4

由E(4,0),D(8,旦)可得直線解析式為y=2r一2,

喈產(chǎn)+"蓍