高中數(shù)學(xué)“總體分布估計(jì)”教案

高中數(shù)學(xué)“總體分布估計(jì)”教案

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教案）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是

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高中數(shù)學(xué)“總體分布估計(jì)”教案

課題：總體分布估計(jì)

教學(xué)目的：

1了解當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí),可用頻率分布表或頻率分

布條形圖估計(jì)總體分布,并會(huì)用這兩種方式估計(jì)總體分布；

⒉了解當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值較多，甚至無限時(shí)，可用頻率分

布表或頻率分布直方圖估計(jì)總體分布，并會(huì)用這兩種方式估計(jì)總體分布

教學(xué)重點(diǎn)：用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

教學(xué)難點(diǎn)：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制

授課類型：新授課

課時(shí)安排:1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

內(nèi)容分析：

統(tǒng)計(jì)學(xué)中有兩個(gè)核心問題,一是如何從整體中抽取樣本？二是如何用

樣本估計(jì)總體？經(jīng)過前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)了解了一些常用的抽樣方

法．本節(jié)課，我們?cè)诔踔袑W(xué)過樣本的頻率分布的基礎(chǔ)上，研究總體的分

布及其估計(jì)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N．如果通過逐個(gè)抽取的

方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就

稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣⑴用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體

中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概

1n

率為N；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為N；⑵簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣的特點(diǎn)是，逐個(gè)抽取,且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；⑶簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基

礎(chǔ)．（4）。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：它是不放回抽樣；它是逐個(gè)地進(jìn)行抽

取；它是一種等概率抽樣

2.抽簽法:先將總體中的所有個(gè)體（共有N個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可從1到

N），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上(號(hào)簽可用小球、卡片、紙

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條等制作），然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽

時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本

適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)

優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行,當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法．

3.隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)

體編號(hào)；第二步，選定開始的數(shù)字;第三步，獲取樣本號(hào)碼

4.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部

分,然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本,

這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機(jī)的方式將總體中

的個(gè)體編號(hào)為簡(jiǎn)便起見,有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的準(zhǔn)

考證號(hào)、街道上各戶的門牌號(hào)，等等②為將整個(gè)的編號(hào)分段（即分成幾

N

個(gè)部分),要確定分段的間隔k當(dāng)n（N為總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù),n為樣本

NN

容量)是整數(shù)時(shí)，k=n;當(dāng)n不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使

N

剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N能被n整除,這時(shí)k=n.③在第一段用簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)l④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本

（通常是將l加上間隔k，得到第2個(gè)編號(hào)l+k,第3個(gè)編號(hào)

l+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本）

①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，它與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

的聯(lián)系在于:將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣；

②與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣,系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣,它是客觀的、公平

的．

③總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí),可用它們的比值作為

系統(tǒng)抽樣的間隔;當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除在

進(jìn)行系統(tǒng)抽樣

5。分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),為了使樣本

更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的

比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層

6。不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它

放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放

回總體,稱這樣的抽樣為放回抽樣．

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隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣

7.分布列：

ξxx…x…

12i

PPP…P…

12i

分布列的兩個(gè)性質(zhì)：⑴P≥0，i＝1,2，…；⑵P+P+…=1

i12

二、講解新課:

⒈頻率分布表或頻率分布條形圖

歷史上有人通過作拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，得到了如下試驗(yàn)結(jié)果：

試驗(yàn)結(jié)果頻數(shù)頻率

正面向上36120。

(0)45011

反面向上35960.498

（1)49

拋擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果的全體構(gòu)成一個(gè)總體，則上表

就是從總體中抽取容量為72088的相當(dāng)大的樣本的

頻率分布表．盡管這里的樣本容量很大，但由于不同

取值僅有2個(gè)(用0和1表示），所以其頻率分布

可以用上表和右面的條形圖表示．其中條形圖是用

高來表示取各值的頻率．

說明：⑴頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，

而頻率分布條形圖比較直觀，兩者相互補(bǔ)充，使我們對(duì)數(shù)據(jù)的頻率分布

情況了解得更加清楚．⑵①各長(zhǎng)條的寬度要相

概

同;②相鄰長(zhǎng)條之間的間隔要適當(dāng)．試驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)，兩種試驗(yàn)率結(jié)果的頻

率值就成為相應(yīng)的概率，得到右表，正面向上(記0．除了抽樣

造成的誤差，精確地反映了總體取值為0）5的概率分

布規(guī)律．這種整體取值的概率分布規(guī)反面向上(記0．律通常稱

為總體分布。為1）5

說明：頻率分布與總體分布的關(guān)系：

⑴通過樣本的頻數(shù)分布、頻率分布可以估計(jì)總體的概率分布.

⑵研究總體概率分布往往可以研究其樣本的頻數(shù)分布、頻率分布.

2.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律

在實(shí)踐中,往往是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的頻率分布去估計(jì)

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總體分布一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確

3.總體密度曲線：樣本容量越大,所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接

近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距

無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線，這條曲

線叫做總體密度曲線．

總體密度曲線

頻率/組距

單位

Oab

它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總

體在區(qū)間(a,b）內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸

所圍圖形的面積．

三、講解范例：

例1．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100

名年齡為17。5歲~18歲的男生的體重情況,結(jié)果如下(單位:kg）

56.69.6561.6466.6464.7658.

555。5555

727356677057.65687175

。55。5

626862.6659.63.6467.7368

。5555。55

557266746360557064.58

。5。55

64705762.656971.736258

。555

767166635659.63657074.

。55。55

68.6455.72666876576071.

55。5。5。55

5769.7464.5961.67686358

555。5

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596562.69726475.686462

。55。5。55。5

65.5867.70.656666706359.

5。555。55

試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖,并對(duì)相應(yīng)的總體分布作出估

計(jì)

解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布.

（1)求最大值與最小值的差.在上述數(shù)據(jù)中,最大值是76,最小值是55,

它們的差(又稱為極差）是76—55=21）所得的差告訴我們,這組數(shù)據(jù)的變

動(dòng)范圍有多大。

(2）確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由21÷2=10。5，組數(shù)

為11,這個(gè)組數(shù)適合的.于是組距為2,組數(shù)為11。

（3）決定分點(diǎn).根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54。5，

第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從

而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的。這樣，所得

到的分組是

[54.5，56.5），［56.5，58。5），…，［74。5，76。5）.

（4）列頻率分布表,如表①頻率分布表

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

［54.5,56

20。02

。5）

[56。

60。06

5,58.5）

［58.5，

100.10

60.5）

［60。5，

100.10

62。5)

［62。5，

140。14

64。5）

[64.5,66.

160。16

5）

［66.5，

130.13

68。5）

[68.5，110。11

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70。5）

[70.5，

80.08

72。5）

[72.5，

70。07

74。5)

［74.5，

30.03

76。5)

合計(jì)1001.00

(5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方圖如圖所示

頻率/組距

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5體重

由于圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個(gè)圖形的面積

的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方

面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補(bǔ)

充的作用.

在得到了樣本的頻率后，就可以對(duì)相應(yīng)的總體情況作出估計(jì)。例如

可以估計(jì)，體重在（64.5，66。5）kg的學(xué)生最多,約占學(xué)生總數(shù)的16％；

體重小于58.5kg的學(xué)生較少，約占8％；等等

例2．對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

壽命100200300~400500

（ｈ）～～400～～

200300500600

個(gè)數(shù)2030804030

出頻率分布表；

(２)畫出頻率分布直方圖和累計(jì)頻率分布圖；

(３）估計(jì)電子元件壽命在100ｈ~400ｈ以內(nèi)的概率；

（４）估計(jì)電子元件壽命在400ｈ以上的概率;

(５）估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望值

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解：(１）

壽命頻數(shù)頻累計(jì)

率頻率

100~2200。0。10

001

200～300。0.25

30015

300～800。0.65

40040

400～400。0。85

50020

500~6300。1

0015

合計(jì)2001

（２)頻率分布直方圖如右和累計(jì)頻率分布圖如下

（３）頻率分布圖可以看出，壽命在100ｈ～400ｈ的電子元件出現(xiàn)的頻

率為0。65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100ｈ～400ｈ的概率為0。65

(４)由頻率分布表可知，壽命在400ｈ以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為

0.20+0.15＝0。35,故我們估計(jì)電子元件壽命在400ｈ以上的概率為0.35

(５）樣本的期望值為

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100200200300300400400500

0.100.150.400.20

2222

500600

0.151537.51409082.5365

2所以，我們估計(jì)總

體生產(chǎn)的電子元件壽命的期望值（總體均值）為365ｈ

四、課堂練習(xí)：

1。為檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個(gè)容量為30的樣本，檢測(cè)結(jié)果

為一級(jí)品5件，二級(jí)品8件,三級(jí)品13件，次品14件．

⑴列出樣本頻率分布表；

⑵畫出表示樣本頻率分布的條形圖;

⑶根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)此種商品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約是多少？

解：⑴樣本的頻率分布表為

頻

產(chǎn)品頻率

數(shù)

一級(jí)0。

5

品17

二級(jí)

80.27

品

三級(jí)

130.43

品

0。

次品4

13

⑵樣本頻率分布的條形圖如右：

⑶此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率為0.27+0.43=0。7

2.如下表:

頻頻頻頻

分組分組

數(shù)率數(shù)率

[10.75,10.［11.25，

320

85)11.35)