線性代數(shù)期末復習課件(超全)

線性代數(shù)期末復習課件(超全)復習總結性質1

行列式與它的轉置行列式相等.性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.性質６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．復習總結定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法則(Laplace定理)性質奇數(shù)階反對稱行列式等于零性質范德蒙行列式的結構特點和結果復習總結例矩陣的逆復習總結性質矩陣的初等變換矩陣的初等變換矩陣的初等變換矩陣的初等變換

定理

設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.矩陣的初等變換性質：復習總結性質：經(jīng)過同樣的行初等變換，從而，用矩陣乘法表示求矩陣逆的方法求矩陣的初等分解方法Gauss消去法定理線性方程組有解自由未知量個數(shù)為※Gauss消去法推論若推論若向量的線性相關性定義則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關．(1)只有時,（1）式成立線性無關的等價說法：或者（1）式成立時，必有向量的線性相關性例含有零向量的向量組必線性相關.性質若向量組的一個部分組線性相關，則整個向量組也線性相關性質若向量組線性無關，則其任意部分組也線性無關例一個零向量形成的向量組是線性相關的，一個非零向量是線性無關的.向量的線性相關性根據(jù)定義，列出齊次線性方程組，由解的情況進行判斷:

有唯一零解線性無關；有非零解線性相關；推論個維向量線性相關線性無關推論個維向量必線性相關推論設維向量組，若則線性相關向量的線性相關性向量組的秩滿足如下條件：（I）向量組（2）線性無關；（II）向量組（1）中每個向量都可由向量組（2）線性表示.(即再添加任何一個向量都線性相關)則稱向量組（2）為（1）的一個極大線性無關組.定義

一個向量組中，它的極大無關組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩.推論

兩個等價的向量組有相同的秩.向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系：定義

矩陣的行向量組的秩稱為的行秩；的列向量組的秩稱為的列秩.向量組的秩與矩陣的秩互相轉化向量組與矩陣互相轉化向量組的秩上述定理還提供了求向量組的秩的方法：（1）將所給向量組中的各個向量作為矩陣的行向量（或列向量）得到矩陣；（2）將矩陣施行初等變換化為如（7）形式的的矩陣.（3）觀察（7）知，則即為所求向量組的秩.性質初等行（列）變換不改變矩陣的行秩，列秩以及矩陣的秩向量組的秩定理

矩陣經(jīng)初等行變換得矩陣，則與的行向量組等價,且與的列向量組具有相同的線性相關性.所以線性組合系數(shù)也相同的矩陣的初等變換：線性表示，線性相關性，求矩陣、向量組的秩，求極大無關組，求線性表示系數(shù)，求線性方程組的解等等向量組的秩推論3

給定則子空間定義

為一個向量空間，向量滿足（1）線性無關；（2）中任意一個向量都可由向量組線性表出.則向量組稱為向量空間的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，也稱為維向量空間.基的實質：向量組的一個極大無關組線性方程組解的結構線性方程組解的結構線性方程組解的結構線性方程組解的結構通解的向量表示形式線性方程組解的結構線性方程組解的結構線性方程組解的結構通解的向量形式線性方程組解的結構線性方程組解的結構線性方程組解的結構(1)寫出系數(shù)矩陣及其增廣矩陣；求解過程：(2)初等行變換化增廣矩陣為簡化的階梯型矩陣(4)寫出對應的齊次導出組的基礎解系;(3)寫出原來的非齊次組的一個特解；(5)寫出原來的非齊次組的一個通解。復習總結第五章特征值特征向量矩陣特征值，特征向量的定義及實質矩陣相似的定義及相關性質相似對角化的條件，實對稱矩陣特征值、特征向量的性質(3條)特征值，特征向量的具體求法實對稱矩陣的正交相似對角化特征值的性質，與行列式、跡之間的關系復習總結第六章二次型二次型定義，其與矩陣元素之間的關系矩陣的合同關系，二次型的標準型，規(guī)范型復、實對稱矩陣的合同（對角化）條件，正定矩陣的性質與判定定理：四條二次型的規(guī)范形定理

復數(shù)域上任意一個二次型都可以經(jīng)可逆線性替換轉化成唯一的規(guī)范形，即定理任意一個復對稱矩陣都合同于一個形式為亦即推論復對稱矩陣彼此合同的充要條件是它們的秩相同二次型的規(guī)范形定理實數(shù)域上任意一個二次型都可經(jīng)可逆替換轉化成唯一的規(guī)范形。定義二次型的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù)稱之為二次型的正慣性指數(shù)；負平方項的個數(shù)稱之為二次型的負慣性指數(shù)，他們的差稱之為符號差當然，正負慣性指數(shù)之和等于矩陣的秩或者二次型的秩。推論實對稱矩陣彼此合同等價于它們的正負慣性指數(shù)是相同的常用解題思路利用向量空間的思想4.條件要求確定參數(shù)的取值，考慮是否有某行列式為零等等反之，向量組的求秩等運算也經(jīng)常轉化為矩陣之間的乘積運算線性代數(shù)的常用解題思路例1.設且滿足證明：分析：如果將矩陣看作列向量組，即那么它的每一列都是線性方程組的解.則證：將矩陣按列分塊由可知由此得到基礎解系含有個向量，所以即例2.分析：利用例1的結果：再利用證：又因為所以有：即綜上所述，Ch1.行列式1.排列的逆序數(shù)①D=DT2.n階行列式的定義、余子式、代數(shù)余子式3.行列式的性質②初等變換的三種變換對行列式值的影響③行列式等于0的判斷條件④行列式的加法例設二維列向量，已知|A|=6，求解|B|？⑤展開定理4.求解行列式①特殊行列式范德蒙行列式②化三角形法（從上到下，從左到右）③爪型行列式④展開定理（針對含0較多的行列式）⑤遞推法、數(shù)學歸納法解Ch2、3.矩陣1.矩陣的定義一些特殊的矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、對角陣、數(shù)量陣、單位陣2.矩陣的基本運算矩陣相等:同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個矩陣同型，且對應元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：乘法滿足矩陣乘法不滿足：交換律、消去律A是n階方陣，

方陣的冪：方陣的多項式：并且（m,k為正整數(shù)）方陣的行列式：滿足:轉置矩陣:一些特殊的矩陣:

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.滿足：對稱矩陣和反對稱矩陣：冪等矩陣：為n階方陣，且伴隨矩陣：若若若3.逆矩陣定義：A為n階方陣，若存在n階方陣,使得則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣。唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.判定定理:n階方陣A可逆且推論：設A、B為同階方陣，若則A、B都可逆，且滿足規(guī)律：逆矩陣求法：（1）待定系數(shù)法（2）伴隨矩陣法（3）初等變換法分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似．4.分塊矩陣5.初等變換對換變換、倍乘變換、倍加變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．矩陣的等價：如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B等價。記作初等矩陣：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.與矩陣的相似、合同相互比較定理：解矩陣方程的初等變換法(A、B可逆)矩陣方程解Ⅰ、秩（A）：A的不等于0的子式的最高階數(shù)。Ⅱ、秩的基本關系式：Ⅲ、關于秩的重要結論：6、矩陣的秩Ⅳ、秩的求法：1）初等變法：2）若P可逆，則4)當時，5)4)矩陣秩的等式的證明（1）證思路（2）證思路則則有r階子式不為0所有r+1階子式全為0例如：設為階矩陣，為階單位矩陣。證明：證：綜上，例題

設A、B

都是n

階方陣，則e解：R(A)=2一.向量組的線性相關性1.向量間的線性運算：加法、數(shù)乘。2.線性組合、線性表示(1)判斷向量可由向量組線性表示的常用方法方法1：只要證出就可得出ch4.向量組的線性相關性(2)在判斷或證明中，常用到的兩個重要結論結論1：向量可由向量組線性表示結論2：若向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量必能由向量組線性表示，且表示式唯一。方法2：證下列非奇次線性方程組有解方法3：利用矩陣的初等行變換行最簡形矩陣(2)利用常用結論：1個零向量線性相關；一個非零向量線性無關。2個非零向量線性相關對應分量成比例n＋1個n維向量線性相關。部分相關整體相關；整體無關部分無關。3.線性相關性的判別方法(1)一般方法：設數(shù)使得成立轉化為齊次線性方程組是否有非零解的問題。原向量組無關，維數(shù)增加后得到的新向量組依然無關；原向量組相關，維數(shù)減少后得到的新向量組依然相關。(3)利用向量組的秩判斷：設向量組的秩為當時，線性無關。當時，線性相關；4.極大無關組的選取或證明(1)初等變換法（最常用）將列向量組寫成矩陣初等行變換行階梯或行最簡形矩陣的一個極大無關組，例如：求向量組并把其余向量用該極大無關組線性表示。解：是一個極大無關組并且考慮：還有那些極大無關組？初等行變換一定要化成最簡型不能用列變換(2)極大無關組的證明方法1：利用定義線性無關；其它向量都可由線性表示。（即向量組中任意r+1個向量都線性相關）方法2：已知是向量組A的一個極大無關組，又A中部分組與等價，則也是A的一個極大無關組。例如：設是向量組A的極大無關組，且證明也是A的極大無關組。證明：（即證與等價）向量組可由向量組線性表示。又向量組可由向量組線性表示。兩個向量組等價也是極大無關組。二.矩陣的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。三.關于向量組的秩、矩陣的秩的證明關于向量組的秩的幾個重要定理：（1）若向量組可以由向量組線性表示，則(2)(三秩相等)

矩陣A的秩＝A的行秩＝A的列秩。１．向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；

由向量組生成的向量空間．２．子空間的概念．３．向量空間的基，維數(shù)和坐標；求向量空間基和維數(shù)的方法；求向量在給定基底下的坐標。四.向量空間五.正交化與正交矩陣1.正交化、單位化2.正交矩陣的n個列（行）向量組為單位正交向量組也是正交矩陣是正交矩陣，則也是正交矩陣定理1設有非齊次線性方程組(1)定理2設有齊次線性方程組（2）設r(A)=r,則線性方程組的解法與解的結構定理1設有齊次線性方程組（2）方程組的通解、基礎解系定理2設有非齊次線性方程組（1）（2）（1）性質1

性質21、特征值的求法2、特征向量的求法特征值和特征向量3、對角化看清要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。方陣與對角矩陣相似的條件:充要條件:充分條件:①有n個不同特征值;或②A為實對稱矩陣二次型1、利用正交變換化為標準形的過程；2、正定矩陣的判別方法：定義法；利用特征值全大于零；順序主子式全大于零。二次型化為標準形的矩陣與對角矩陣合同.求正交變換化二次型為標準形找正交矩陣,使線性代數(shù)復習課一、內容提要

二、典型例題>>>

一、內容提要行列式的性質性質2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.性質1

行列式與它的轉置行列式相等.性質4對換兩行,行列式值反號.性質3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開,原行列式可以表為相應的兩個行列式之和.性質6

把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應的元素上去,行列式的值不變.性質5若有兩行元素對應成比例,則行列式值為零.

設A,B

為n

階矩陣,則有|AB|=|A||B|.一、內容提要Laplace[按行列展開]定理

行列式等于某一行(列)的元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和.即

設A=(aij)為n

階方陣,則有一、內容提要伴隨陣

設A

為n

階方陣,Aij為(i,j)元的代數(shù)余子式,記稱A

為方陣A

的[轉置]伴隨陣.伴隨陣的性質

設A

為

n階方陣A

的伴隨陣,則有

如果|A|0,那么,稱方陣A為非奇異矩陣.逆陣計算公式

非奇異矩陣A

的逆陣為逆矩陣

如果存在矩陣B,使AB=

BA=

E那么,稱方陣A為可逆的,并稱B

為A

的逆矩陣.定理

設A,B為n

階方陣,若AB=

E,則A,B

可逆,且有一、內容提要逆矩陣的性質

設A,B為n

階可逆矩陣,則有一、內容提要分塊對角陣的性質(3)A可逆的充分必要條件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、內容提要

設Ai(i=1,…,s)都是方陣,

設A,B都是方陣,則有

矩陣A

與B

行等價的充要條件是:存在可逆矩陣

P,使B=

PA.

矩陣A

與B

列等價的充要條件是:存在可逆矩陣

Q,使B=

AQ.具體地有一、內容提要等價矩陣

如果矩陣A

經(jīng)過有限次初等(行,列)變換,化為矩陣B,就稱矩陣A

與B(行,列)等價,記為A～B.行最簡形矩陣

行階梯形矩陣

一、內容提要矩陣的秩

一、內容提要

如果矩陣A

的等價標準形為那么稱F

中單位陣的階數(shù)r為矩陣A

的秩,記為R(A).性質1

等價矩陣有相等的秩.性質2

性質4

性質3

n階方陣A

可逆的充分必要條件是R(A)=

n.

行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質5

矩陣的秩

一、內容提要

如果矩陣A

的等價標準形為那么稱F

中單位陣的階數(shù)r為矩陣A

的秩,記為R(A).性質7

性質8

性質9

若

則

性質6

逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應用

線性方程組的最簡形解法

將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡形,寫出同解方程組,解便一目了然.

矩陣方程AX=

B,XA=

B的初等變換解法一、內容提要(1)當R(A,b)>R(A)時,

方程組無解;(2)當R(A,b)=R(A)=n

時,

方程組有唯一解;

(3)當R(A,b)=R(A)

<n

時,

方程組有無窮多解.

設n

元線性方程組Ax=b.

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)

n.

AX=B有解的充要條件是R(A)=

R(A,B).線性方程組的可解性定理

當A為方陣時,Ax=0有非零解的充要條件是|A|=0.

一、內容提要齊次通解結構定理

設n

元齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系為x1,…,xn-r,其中r=R(A),則Ax=0的通解為(k1,…,kn-r

為任意數(shù))非齊次通解結構定理(k1,…,kn-r

為任意數(shù))

設

x

=h

是n元非齊次線性方程組Ax=

b的一個解(稱特解),x1,…,xn-r

是導出組Ax=0的一個基礎解系,則Ax=

b的通解為一、內容提要一、內容提要線性組合

設有向量組及向量如果存在一組數(shù)使那么,稱向量b為向量組的一個線性組合,稱向量b可由向量組并線性表示.

設矩陣則線性方程組

Ax=

b有一組解等價于線性相關性

設有向量組如果存在一組不全為0

的數(shù)使那么,稱線性相關.否則,稱線性無關.基本性質

一、內容提要(1)若向量

b

可由向量組a1,…,am

線性表示,則向量組b,a1,…,am

線性相關.(2)若部分組線性相關,則整個向量組也線性相關.(3)若向量組線性無關,則任一部分組也線性無關.定理

線性相關性

設有向量組如果存在一組不全為0

的數(shù)使那么,稱線性相關.否則,稱線性無關.一、內容提要

向量組線性無關的充分必要條件是

a1,…,am

線性無關,也即向量方程只有零解.向量組的秩

設

A為一向量組,A中線性無關向量組所含向量個數(shù)的最大值r,稱為向量組

A

的秩,記為R(A).向量組的最大無關組

設向量組A

的秩為r,如果a1,…,ar為A

中一個線性無關向量組,那么稱a1,…,ar

為A的一個最大無關組.最大無關組的性質

設A

為一向量組,則部分組a1,…,ar

為

A

的一個最大無關組的充分必要條件是(2)A

中任一向量可由a1,…,ar

線性表示.(1)a1,…,ar

線性無關;一、內容提要

化矩陣A為行最簡形A0,通過觀察A0,便知A的列向量組的秩和一個特定的最大無關組,以及A的其余列向量在該最大無關組下的線性表示.一、內容提要秩與最大無關組的一個算法

例設的秩為3,一個最大無關組為則且有

初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關系.向量組的線性表示

若向量組B

中的任一向量都可由向量組A中的向量線性表示,就稱向量組B

可由向量組A

線性表示.一、內容提要

向量組B可由向量組A

線性表示的充要條件是

若向量組B可由向量組A

線性表示,則R(B)R(A).等價向量組

可以相互線性表示的兩個向量組,稱等價向量組.

向量組A與向量組B

等價的充分必要條件是

向量空間

設Rn

的非空集V滿足條件：那么,稱V

為一個向量空間.

當非空集V

滿足條件(1),(2)時,稱V對線性運算封閉.(1)若aV,bV,

則a

+bV;(2)若aV,kR,

則kaV,

齊次線性方程組Ax=0的解集

S是一個向量空間.子空間

設有向量空間V1

及V2,若V1V2,就稱V1

是V2的子空間.當V1V2

時,稱V1

是V2

的真子空間.一、內容提要向量空間的基和維數(shù)

稱向量空間V

的秩為

V的維數(shù),記為dimV.

稱向量空間V

的任一最大無關組為

V

的一個基.基的性質

設

V為一個向量空間,則V

中向量組a1,…,ar

為V的一個基的充分必要條件是(2)V

中任一向量可由a1,…,ar

線性表示.(1)a1,…,ar

線性無關;

n元齊次線性方程組Ax=0的基礎解系為解空間S的一個基,dimS=

n-R(A).一、內容提要生成空間

設有向量組A:a1,…,am,記稱L(A)為由向量組A生成的向量空間,簡稱生成空間.稱a1,…,am

為生成元.向量組線性表示的等價說法

設有向量組A:a1,…,as,B:b1,…,bt.則有(1)L(A)為L(B)的子空間的充分必要條件是

A

組可由B

組線性表示；(2)L(A)=

L(B)的充分必要條件是A組與B組等價.一、內容提要向量在基下的坐標

設V

為一個

r

維向量空間,則V中任意

r個線性無關向量

a1,…,ar為V

的一個基,且有V

中任一向量

a可唯一地表示為稱(k1,…,kr)為

a在基a1,…,ar

下的坐標.一、內容提要過度矩陣一、內容提要

設a1,…,ar

及b1,…,br是向量空間

V的兩個基,稱此關系式為基變換公式.

稱矩陣P為從基a1,…,ar

到基b1,…,br的過渡矩陣.

過渡矩陣是可逆矩陣.則存在r

階矩陣P,使向量的內積一、內容提要

設有

n維向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),稱[a,b]為向量a

與b的內積.記向量的范數(shù)

稱為向量a的范數(shù)(或長度),記為||a||.

若[a,b]=0,則稱向量

a

與b

正交.向量的夾角

非零向量

a與b

的夾角為規(guī)范正交基一、內容提要

r

維向量空間V

中,任一正交單位向量組

e1,…,er,稱為V

的一個規(guī)范正交基.正交矩陣

如果

PTP=

E(P

-1

=

PT

),則稱方陣

P

為正交矩陣.

P為

n

階正交陣的充分必要條件是

P

的列(行)向量組為Rn

的一個規(guī)范正交基.正交變換

若

P為正交陣,則稱線性變換

y=Px

為正交變換.

正交變換保持向量的內積不變.方陣的特征值一、內容提要

稱

n次多項式|lE-

A|為A

的特征多項式.

稱

n次方程|lE-A|=0的根為方陣A

的特征值.

設

l1,…,ln

為A

的所有特征值,則有特征值的性質(2)(1)A

的跡,記為tr(A).

設f

是一個多項式,若

l為方陣A

的一個特征值,則f(l)為f(A)的一個特征值.方陣的特征向量一、內容提要

設

l為方陣A

的特征值,稱方程組

(lE-A)x=0的任一非零解為方陣A

對應于特征值

l的特征向量.

對應于n

階矩陣A的特征值l

有n-R(lE-A)個線性無關的特征向量,

定理設l1,…,lm

是方陣A

的m

個不相同的特征值,

A1,…,Am分別為屬于l1,…,lm的線性無關特征向量組,則由A1,…,Am的并集構成的向量組線性無關.稱屬于l

的線性無關特征向量組.定理設l1,…,lm

是方陣A

的m

個不相同的特征值,p1,…,pm為對應的特征向量,則p1,…,pm

線性無關.相似矩陣一、內容提要

設A,B

為n

階方陣,若存在可逆矩陣P,使那么,稱B

是

A

的相似矩陣.稱P

為相似變換矩陣.

矩陣的相似具有反身性、對稱性和傳遞性.定理

相似矩陣有相同的特征多項式(特征值).推論

若對角陣

L

是A

的相似矩陣,則L

以A

的特征值為對角元素.定理一、內容提要

n

階方陣A

與對角陣相似的充分必要條件是A

有

n個線性無關的特征向量.定理

設l是n

階矩陣A的k

重特征值,則定理

方陣A可相似對角化的充分必要條件是A的每一特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù).

稱k

為特征值l的代數(shù)重數(shù).

稱n

-

R(lE

-

A)

為特征值

l

的幾何重數(shù).(1)求出n階方陣

A

的所有特征值li.一、內容提要

(2)求(liE-A)x=0的一個基礎解系.(3)將求出的n

個特征向量排成矩陣則可對角化矩陣的多項式計算

當P

-1AP=

L=diag(l1,…,ln)時,方陣相似對角化的算法二、典型例題例1

設a1,a2,a3,b

均為3維列向量,矩陣A=

(a1,a2,a3),

解B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,detB

=6.計算det(3A-B)和det(3A+B).解例2設計算知識點例3計算矩陣A2n

的行列式,其中解例4

設且A2

+AB-A=E,求A9

和B.解證明

例5

設

A滿足方程A2

+2A-E=O,證明A

與A+3E都可逆,并求它們的逆陣.由A2

+2A-E=

O,得因此A

可逆,且有因此

A+3E

可逆,且有且AB

=B+A,求B.

已知

解例6

由AB

=B+A,得

例7

設

求An.解則有令知識點問

a

取什么值時,(1)b可由a1,a2,a3線性表示,且表示式唯一;(2)b可由a1,a2,a3線性表示,但表示式不唯一;(3)b不可由a1,a2,a3線性表示.解對(A,b)(a1,a2,a3,b)施行初等行變換(1)當a2時,R(A,b)=R(A)=3,b可由a1,a2,a3線性表示,且表示式唯一(因a1,a2,a3線性無關);(2)當a=2時,R(A,b)=R(A)=2,b可由a1,a2,a3線性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3線性相關);(3)當a=-2時,R(A,b)R(A),b不可由a1,a2,a3線性表示.例8

設

例9

設矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4線性無關,a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程組Ax=b的通解.解知識點由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2知x1=(2,1,-1,0)T,x2=(3,2,0,-1)T為方程組Ax=0

的兩個解,又因a3,a4線性無關,所以a3,a4為a1,a2,a3,a4的一個最大無關組,秩R(A)=2.易知R(x1,x2)=2=4-R(A),因此x1,x2為方程組

Ax=0

的一個基礎解系.由b=a1+a2+a3+a4

知h=(1,1,1,1)T為方程組Ax=b的一個特解.因此,方程組Ax=b的通解為且有解

且有例10

設(1)求A的列向量組a1,a2,a3,a4的秩和一個最大無關組,并把其余向量用此最大無關組線性表示;(2)求Ax

=0的通解.(1)化

A為行最簡形:a1,a2,a3,a4

的秩為2,一個最大無關組為a1,a2,知識點(2)Ax=0的同解方程組為其中

k1,k2

為任意數(shù).令自由未知元

x3=k1,x4=k2,得Ax

=0的通解為證1

因Axi=0(i=1,…,n-r),上式兩邊左乘A

得設存在一組數(shù)x,x1,…,xn-r,使即(1)而x1,…,xn-r線性無關,因Ah0,所以代入(1)得所以所以h,h+x1,…,h+xn-r線性無關.(2)由(2)得x=0,例11

設x1,…,xn-r

是Ax=0的一個基礎解系,而h不是Ax=0

的解,證明h,h+x1,…,h+xn-r線性無關.知識點若

s>r,則向量組b1,…,bs

線性相關.

設向量b1,…,bs

可由向量組a1,…,ar線性表示,定理設向量組線性無關,若線性相關,則向量b可由線性表示.而x1,…,xn-r線性無關,所以h,h+x1,…,h+xn-r線性無關.因

x1,…,xn-r

的線性組合也是Ax=0的解,h不可由

x1,…,xn-r

線性表示,證2

由定理知h,x1,…,xn-r線性無關,從而易知h,h+x1,…,h+xn-r

與h,x1,…,xn-r等價,因此所以例11

設x1,…,xn-r

是Ax=0的一個基礎解系,而h不是Ax=0

的解,證明h,h+x1,…,h+xn-r線性無關.知識點證1例12設mn

矩陣A

的秩R(A)=

n,證明于是存在

m

階可逆矩陣P,使A

=

PF.因此因R(A)=

n,可知A

的等價標準形為(也是行最簡形)知識點證2若x

滿足

Bx=0,則有A(Bx)=0,即(AB)x=0;若x

滿足

(AB)x=0,則有A(Bx)=0,因為R(A)=

n,

綜上可知

(AB)x=0與Bx=0同解,所以Bx=0.設解空間為S,則有

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<

n.

n元齊次線性方程組Ax=0的基礎解系為解空間S的一個基,dimS=

n-R(A).例12設mn

矩陣A

的秩R(A)=

n,證明解

例13

設(1)求(2)說明a1,a2和a3,a4為V的兩個基,并求從基a1,a2到基a3,a4

的過渡矩陣.易知故a1,a2和a3,a4都是V的基.從基a1,a2到基a3,a4

的過渡矩陣為知識點證明

例14設a,b

為n

維(列)向量,證明

并說明其幾何意義.以-b

代換b,得

因此

其幾何意義是:

平行四邊形兩對角線的平方和等于四邊的平方和.解方陣A

的特征多項式為例15求方陣的特征值和特征向量.方陣A

的特征值為解例15求方陣的特征值和特征向量.當l1

=-3時,解方程組由得基礎解系方陣A

對應于l1=-3的全部特征向量為解例15求方陣的特征值和特征向量.當l2

=l3=l4=1時,解方程組由得基礎解系方陣A

對應于l2=l3=l4=1的全部特征向量為(k2,k3,k4

不同時為零)解例16

設矩陣A與B

相似,其中(1)因A

與對角陣B

相似,知A

的特征值為2,2,b.由特征值的性質得求得知識點(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.解例16

設矩陣A與B

相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(2)當

l=2時,解方程組(2E-A)x

=

0,得基礎解系當

l=6時,解方程組(6E-A)x

=

0,得基礎解系取可逆矩陣則有P

-1AP=

B.知識點解例16

設矩陣A與B

相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.解例16

設矩陣A與B

相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.證明例17

設A,B為n階矩陣,l為AB的非零特征值,證明l也為BA的特征值.存在非零向量p,使ABp=

lp.于是由l

0,p0,可知Bp0.(而Bp為對應的特征向量)因此l為BA的特征值.例18

設矩陣求a

的值,并討論A可否相似對角化.有一個二重特征值,解方陣A

的特征多項式為解求a

的值,并討論A可否相似對角化.若l=2是二重特征值,則l=2是的根,求得a=

-2.例18

設矩陣有一個二重特征值,

R(2E-A)=1,從而A可相似對角化.l=2的幾何重數(shù)為2,等于代數(shù)重數(shù),知識點解求a

的值,并討論A可否相似對角化.若l=2不是二重特征值,則有重根

l=4,求得

R(4E-A)=2,從而A不可相似對角化.例18

設矩陣有一個二重特征值,l=4的幾何重數(shù)為1,小于代數(shù)重數(shù)2,

線性代數(shù)

LINEARALGEBRA線性代數(shù)總復習要求：理解行列式概念，會用其性質與展開定理計算低階及特殊行列式。一、行列式1.n階行列式的定義稱為n階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列。它表示所有可能取自不同行、不同列的n個元素乘積的代數(shù)和，（接后）用n2個元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號1.n階行列式的定義其中j1

j2

…

jn構為自然數(shù)1，2，…，n的一個排列,為這個排列的逆序數(shù)。當取遍所有n級排列時，則得到n階行列式表示的代數(shù)和中所有的項。

n階行列式有時簡記為|aij|。

n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項可寫為:2.行列式的性質行列式與它的轉置行列式相等，即互換兩行（列）后的行列式是原行列式的相反數(shù)推論：兩行（列）元素完全相同的行列式為零行列式某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k，等于k乘以此行列式。推論1：行列式某一行（列）各元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論2：兩行（列）元素對應成比例的行列式為02.行列式的性質若行列式某一行（列）的各元素都是兩數(shù)之和，則該行列式等于兩個行列式之和.推論：若行列式某一行（列）的元素都寫成m個數(shù)的和，則行列式可寫成m個行列式的和。把行列式某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)，然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變.3.行列式按行（列）展開展開法則

行列式按任一行（列）展開元素的代數(shù)余子式．3.行列式按行（列）展開推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，3.行列式按行（列）展開代數(shù)余子式的性質

4.重要公式

其中aii0(i=1,2,…,n)。稱這種形式的行列式為下三角形行列式。重要行列式4.重要公式其中aii0(i=1,2,…,n)。稱這種形式的行列式為上三角形行列式。重要行列式4.重要公式其中aii0(i=1,2,…,n)。稱這種形式的行列式為對角行列式.重要行列式4.重要公式范德蒙德行列式如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即克萊姆法則4.重要公式其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為4.重要公式5.行列式的計算基本方法之一：按零元素最多的行（列 ） 展開。

基本方法之二：利用行交換與倍加運算 化為三角行列式。

對一些特殊行列式的特殊處理若各行（列）相加之和相同，將各行（列）相加若對角線上下方的元素相同，用加邊法利用范德蒙德行列式結論例題矩陣是線性代數(shù)中最基本的概念之一，貫穿全書始終。主要內容：矩陣的概念、運算、初等變換、矩陣的秩、逆矩陣、分塊矩陣、利用逆矩陣解方程組二、矩陣1.矩陣的概念矩陣的概念1.矩陣的概念幾種特殊矩陣零矩陣、n階方陣、行（列）矩陣、n階對角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、單位陣。對稱矩陣階梯形矩陣，行最簡階梯形矩陣2.矩陣的運算矩陣的加法行數(shù)相同、列數(shù)相同、對應元素相加矩陣加法的性質：交換律：

A+B=B+A結合律：

（A+B）+C=A+（B+C）

A+0=0+A=A

A+（-A）=02.矩陣的運算數(shù)與矩陣的乘法

：等于數(shù)乘矩陣的每 一個元素。運算法則：2.矩陣的運算矩陣乘法：行乘列法則AB的元素由“行乘列”法則得到。A的列數(shù)=B的行數(shù)時，才能相乘；AB的行數(shù)=A的行數(shù)，AB的列數(shù)=B的列數(shù)；運算法則：(AB)C=A(BC)——結合律

A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA——分配律

k(AB)=(kA)B=A(kB).(k為常數(shù)）

注意：對于矩陣乘法AB2.矩陣的運算2.矩陣的運算2.矩陣的運算矩陣的轉置轉置矩陣的運算法則：3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的概念3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的加法3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的數(shù)乘左矩陣A對列的分法和右矩陣B對行的分法相同。

3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的乘法3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的轉置3.分塊矩陣的概念及運算分塊矩陣的逆3.可逆矩陣可逆矩陣的概念定義則稱A是可逆方陣,則B是A的一個逆矩陣,記為中若存在方陣B,使3.可逆矩陣n階矩陣可逆的充分必要條件即齊次線性方程組僅有零解。3.可逆矩陣可逆矩陣的性質

設A、B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則特別：求方陣A的逆矩陣的方法3.可逆矩陣4.矩陣的初等變換矩陣的初等變換初等矩陣共三種定理：用初等方陣左（右）乘A，相當于對A

作初等行（列）變換得到的矩陣。共三種互換陣倍加陣倍乘陣4.矩陣的初等變換一些結論任意矩陣都可以通過初等行變換化為階梯形矩陣簡化的行階梯形矩陣任意矩陣都可以通過初等變換化為等價標準形初等矩陣可逆可逆矩陣可寫為初等矩陣的乘積設5.矩陣的秩矩陣秩的定義秩的基本關系式R(A)：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。5.矩陣的秩關于秩的重要結論5.矩陣的秩秩的求法1)定義。R(A)：A的不等于0的子式的最大階數(shù)；2)初等變換法：R(A)=T的階梯數(shù)；3)若P可逆，則常需先驗證P可逆。例題正確理解線性表示、線性相關、線性無關、極大無關組、向量組秩的定義。充分注意命題及其逆命題的敘述與應用。

三、向量組的線性相關性1.向量的概念及運算向量的概念和運算n元行（列）向量可以看作行（列）矩陣。向量的相等、加減與數(shù)乘、負向量、零向量、轉置的定義與矩陣的相應概念的定義和方法完全一致。2.向量間的線性關系對于給定向量b,a1,a2,…,an,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,kn,使關系式

b=k1a1+k2a2+…+knan

成立.

則稱向量b是向量組a1,a2,…,an的線性組合

或者稱b可由向量組a1,a2,…,an線性表示.線性組合2.向量間的線性關系向量b可否由向量組a1,a2,…,an線性表示，可以化為方程組

k1a1+k2a2+…+knan=b

是否有解的問題，從而利用解線性方程組的消元法進行判斷。當計算熟練后，可以直接對矩陣

(a1,a2,…,an,b)

施以初等變換，以判斷b是否可由a1,a2,…,an線性表示.線性組合的判定方法：對于向量組a1,a2,…,as,如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks使關系式

k1a1+k2a2+…+ksas=o

(3.11)

成立,則稱向量組a1,a2,…,as線性相關;

如果(3.11)當且僅當k1=k2=…=ks=0時成立,則稱向量組a1,a2,…,as線性無關.2.向量間的線性關系線性相關和線性無關2.向量間的線性關系對具體的n維列向量組a1,a2,…,as當s>n時,向量組必線性相關。當s=n時,當|A|=0時，向量組線性相關；當|A|≠0時，向量組線性無關。當s<n時,可化為線性方程組

k1a1+k2a2+…+ksas=o 是否有非零解的問題，或直接求矩陣A=(a1,a2,…,as)的秩。當r(A)<s時，向量組線性相關；當r(A)=s時，向量組線性無關。線性相關性的判定方法：2.向量間的線性關系n維向量組a1,a2,…,as(s>1)線性相關的充分必要條件是：其中至少有一個向量可由其他向量線性表示；設n維向量組a1,a2,…,as

線性無關，而向量組a1,a2,…,as,b線性相關，則b可由a1,a2,…,as表示，且b由a1,a2,…,as表示的方式唯一。關于線性組合和線性相關的有關結論2.向量間的線性關系向量組等價若兩個向量組能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。等價向量組的性質等價向量組的秩相等；等價的線性無關組所含的向量個數(shù)相等。3.向量組的秩極大無關組3.向量組的秩向量組的秩定理1秩（A）=A的列向量組的秩=A行向量組的秩定理2

矩陣的初等行變換不改變列向量組的線性關系。注意：求極大無關組、討論線性表示主要用此方法；3.向量組的秩將向量組中的向量作為列向量構造一個矩陣，即令A=(a1,a2,…,as)通過矩陣的初等行變換將矩陣A化為（簡化的）行階梯形矩陣；向量組的秩即為行階梯形矩陣的非零行的個數(shù)r；行階梯形矩陣的任意一個非零的r階子式所在的列對應的向量就構成向量組的一個極大無關組；求向量組極大無關組的步驟例題了解線性方程組解的存在性定理、各種解法、以及解的結構。

四、線性方程組線性方程組的矩陣形式1.線性方程組解存在性判定2.線性方程組求解方法：3.方程組解的結構齊次線性方程組方程組解的性質：若都是齊次線性方程組的解，則其線性組合也是它的解基礎解系：如果是齊次線性方程組的解向量組的一個極大無關組，則稱是方程組的一個基礎解系。3.方程組解的結構齊次線性方程組解的結構定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=n

，方程組只有零解，不存在基礎解系；如果r(A)<n

，方程組有基礎解系，并且每個基礎解系中，恰含有n-r個解。

3.方程組解的結構齊次線性方程組將系數(shù)矩陣A化為簡化的行階梯形矩陣(設r(A)=r<n)基礎解系求解步驟3.方程組解的結構齊次線性方程組該矩陣對應的階梯形的同解方程組為現(xiàn)對分別取向量：基礎解系求解步驟3.方程組解的結構齊次線性方程組得到方程組Ax=0的n-r組解，也就是方程組的一個基礎解系基礎解系求解步驟3.方程組解的結構非齊次線性方程組非齊次線性方程組解的性質：3.方程組解的結構非齊次線性方程組解的結構定理：對非齊次方程組Ax=b，當r(A)≠r(A,b)時，，方程組無解；當r(A)=r(A,b)=n時，方程組有唯一解；當r(A)=r(A,b)<n時，方程組有無窮多解，其全部解為其中，

u1為非齊次線性方程組的一個特解，是其導出組Ax=0的一個基礎解系，為任意常數(shù)。3.方程組解的結構非齊次線性方程組將增廣矩陣(A,b)化為簡化的行階梯形矩陣求非齊次線性方程組一個特解的方法：3.方程組解的結構非齊次線性方程組對應的階梯形的同解方程組為求非齊次線性方程組一個特解的方法：例題矩陣特征值與特征向量的定義、求法、性質；

相似矩陣的概念、性質；

矩陣對角化的條件和方法。五、特征值與特征向量1.特征值和特征向量特征值、特征向量1.特征值和特征向量1)特征值的求法2)特征向量的求法特征值、特征向量的求法例1.求矩陣A的特征值和特征向量。其中全不為零。1.特征值和特征向量特征值的性質1.特征值和特征向量2）實對稱矩陣A的不同特征值所對應的特征向量必相互正交。1）方陣A的不同特征值所對應的特征向量必線性無關。1.特征值和特征向量特征向量的性質2.正交矩陣向量內積向量內積α?β、向量長度、向量單位化正交向量組向量間相互正交，即施密特正交化方法正交矩陣

三條性質（行）列向量組為正交向量組3.相似矩陣相似矩陣相似矩陣的性質：具有相同的特征根、秩、行列式都可逆或不可逆，可逆時，逆矩陣也相似。注：判斷方陣是否和對角矩陣相似（可對角化）有重要意義。n階方陣的對角化，實對稱矩陣的正交對角化。3.相似矩陣n階方陣可對角化的條件、方法4.對n階實對稱矩陣A，求正交矩陣Q，使為對角矩陣的具體步驟為：3.相似矩陣例題了解二次型與實對稱矩陣之間的關系；

掌握化二次型為標準形的方法；

掌握判定二次型正定性的方法。六、二次型1.基本定義、內容

標準形合同矩陣1.基本定義、內容1.基本定義、內容二次型中的關系二次型?二次型矩陣（實對稱矩陣）標準形?對角矩陣定理任意二次型可經(jīng)非退化線性變換化為標準形

?定理：任意實對稱矩陣都合同于對角矩陣1.基本定義、內容慣性定理即，對于任一二次型，不論選取怎樣的非退化的線性變換使它化為僅含平方項的標準形，其正負慣性指標與所選變換無關。2.化二次型為標準形配方法1)若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量用配方法，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形;2)若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.例用配方法化二次型為標準形2.化二次型為標準形2.化二次型為標準形正交變換法3.二次型的正定性正定二次型正定矩陣實二次型

f(x1,x2,…,xn

)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)c1,c2,…,cn

都有f(c1,c2,…,cn

)>0.實對稱矩陣A

稱為正定的，如果二次型XTAX正定.3.二次型的正定性二次型正定性的判定條件（1）正慣性指標為n；（2）A的所有順序主子式全大于零；（3）（4）A的特征值全大于零；（5）存在可逆矩陣例題線性代數(shù)總復習一、行列式二、矩陣三、向量之間的關系四、線性方程組的解五、特征值與特征向量第一章教學要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質。2．會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。3．理解克萊姆法則及其應用。

n階行列式的計算方法很多，除直接按定義計算外，一般還有下列方法：

1．利用行列式的性質化為三角形行列式計算法

2.降階展開法

行列式的計算第二、三章教學要求：1．理解矩陣的概念。2．了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質。3．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式。4．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求矩陣的逆。

5．掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；及求矩陣的秩的方法。6．了解分塊矩陣及其運算。1．了解n維向量的概念。2．理解向量組線性相關、線性無關的定義，了解并會用有關向量組線性相關、線性無關的重要結論。3．了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用