大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料全

z.z.高等數(shù)學(xué)〔本科少學(xué)時類型〕第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)O函數(shù)根底〔高中函數(shù)局部相關(guān)知識〕〔***〕O鄰域〔去心鄰域〕〔*〕第二節(jié)數(shù)列的極限0數(shù)列極限的證明〔*〕【題型例如】數(shù)列(}，證明lim{x}=af(x).g(x)]—0〔定理四〕在自變量的*個變化過程中，假設(shè)f(x)為無窮大，則f-1(x)為無窮小；反之，假設(shè)f(x)為則lim無窮小，且f(x)。0，則f-1(x)為無窮大

【題型例如】計算：lim[f(x).g(x刀〔或x-8〕1,v|f(x)G)n【證明例如】8-N語言nx—81.由|x-a\<8化簡得n>g(8),gG)]2,即對V￡>0,3N=g(8)]。當(dāng)n>N時，始終有不等式愕-a<8成立，「.lim%)—anx-8第三節(jié)函數(shù)的極限Ox—x0時函數(shù)極限的證明〔*〕,

【題型例如】函數(shù)fG)，證明limfG)—Ax—x【證明例如】8-5語言 °1,由If(x)-A|<8化簡得0<lx-x|<g???5—g(8) 0(8),2,即對V8>0,35=g。)始終有不等式f(x)—A<8成立<5時，...limfQ)-Ax—xOx—08時函數(shù)極限的證明【題型例如】函數(shù)f。)，證明lim―Ax—8【證明例如】8—x語言1,由f(x)-Al??x=g(8)<8化簡得|x|>g鄰域[,.?f2,limxfx[lim°x-8U(x,b)內(nèi)是有界的;(x)在xeD上有界；〕gQ)=0即函數(shù)gQ)是x-x0時的無窮??；

g(x)=0即函數(shù)g(x)是x-8時的無窮??；〕3.由定理可知limf[lim[f(x).g(°x)-(x).g(x)]=0x—8第五節(jié)極限運算法則。極限的四則運算法則〔**〕〔定理一〕加減法則〔定理二〕乘除法則關(guān)于多項式p(x)、q(x)商式的極限運算設(shè):p(x)=axm+axm-i+...+aq(x)=bxn+bxn-i+…+b0 1 nn<m2,即對V8>0,3X=g。)不等式If(x)-A|<8成立...limfQ)-Ax-8n>mf(x)0 〔特別地，當(dāng)lim―-〔不定型〕時，通常分x—x0g(x) 0子分母約去公因式即約去可去連續(xù)點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解〕x-3【題型例如】求值lim x-3x2-9【求解例如】解：因為x—3,從而可得x。3,所以原第四節(jié)無窮小與無窮大。無窮小與無窮大的本質(zhì)〔*〕函數(shù)f(x)無窮小=limf(函數(shù)fQ)無窮大Olimf(O無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論六〕〔定理三〕假設(shè)fQ)為有界函數(shù)，gQ)為無窮小，x—3 x-3式—lim —lim —limx-3x2-9x-3(x+3)(x-3)x—3其中x=3為函數(shù)f(x)=±3的可去連續(xù)點x2-9倘假設(shè)運用羅比達法則求解〔詳見第三章第二節(jié)〕:解:lim二3=lim1x_3)、=lim—=1x-3x2-9L，x-3(x2-9)x-32x6。連續(xù)函數(shù)穿越定理〔復(fù)合函數(shù)的極限求解〕〔**〕

〔定理五〕假設(shè)函數(shù)f(x)是定義域上的連續(xù)函數(shù),則，limf①(x)x-x0=flim中-x-x0【題型例如】一'x-3求值：lim' x-3Yx2-9【求解例如】limx—>3limx-3x-3x2-9[二且

6="6"第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限。夾迫準則〔P53〕〔***〕第一個重要極限:sinx1lim =1x—0x/跳越間斷點(不等)第一類間斷點(左右極限存在X—I可去間斷點(相等)第二類間斷點1二［無窮間斷點(極限為8)〔特別地，可去連續(xù)點能在分式中約去相應(yīng)公因式〕()Ie2xx<0【題型例如】設(shè)函數(shù)f(x)=1 ,應(yīng)該怎樣選［a+xx>0擇數(shù)a，使得f(x)成為在R上的連續(xù)函數(shù)？【求解例如】f(0-)=e2.0-=e1=eG+)=a+0+=af(0)=a2.由連續(xù)函數(shù)定義limfx—0一(x)=limf(x)=f(0)=e(兀??.VxG0,-I2sinx?sinx<x<tanx,\lim =1x—0xsin(x-x)］、〔特別地，lim 0-=1〕x-x0 x-x0。單調(diào)有界收斂準則〔P57〕〔***〕(一1、第二個重要極限：hm11+-〔一般地，limlimf(x)>0〕x)(x)=limf(x)l【題型例如】求值:lim|x-8【求解例如】

第七節(jié)無窮小量的階〔無窮小的比較〕。等價無窮小〔**〕U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1+U)1.?(eU-1)21U2~1―cosU■2〔乘除可替，加減不行〕【題型例如】求值.limlnG+x)+xlnG+x)【求解例如】

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)連續(xù)的定義〔*〕。連續(xù)點的分類〔P67〕〔*〕:a=e第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。零點定理〔*〕【題型例如】證明：方程f(x)=g(x)+C至少有一個根介于a與b之間【證明例如［1.2.3.4.〔建立輔助函數(shù)〕函數(shù)①(x)=f(x)-g(x)-C在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；?/P(a)W(b)<0〔端點異號〕???由零點定理，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點自，使得中?)=0,即f⑥-g⑥-C=0〔0<1<1］這等式說明方程f(x)=g(x)+C在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個根白第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念。高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義〔P83〕〔**〕【題型例如】函數(shù)fQ)=可導(dǎo)，求a,b【求解例如】,/(0)=a2.由函數(shù)可導(dǎo)定義：.a=1,b=2ex+1ax+b'(0-)(0+)f(0)=e0+1=2f，(0)=f^(0)=a=1f(0-)=f(0+)=f(0)=b=2Qy)化簡得y'=1+ey-Qy)化簡得y'=1+ey-y'1「x=6(t)設(shè)參數(shù)方程j_yj)，求【題型例如】d2ydx2第六節(jié)第七節(jié)〔建立輔助函數(shù)〕令①(x)=f(x)sinx顯然函數(shù)6(x)在閉區(qū)間［。,兀］上連續(xù)，在開區(qū)間(0,兀)上可導(dǎo)；又..即(0)=f(0)sin0=0即p(0)=6(兀)=0「?由羅爾定理知1.2.3.。拉格朗日中值定理〔*〕【題型例如】證明不等式：當(dāng)x>1時【證明例如［1.〔建立輔助函數(shù)〕令函數(shù)f(x)=ex，則對Vx>1,【題型例如】求y=fQ)在x=a處的切線與法線方程〔或：過y=fG)圖像上點［a,f(a)］處的切線與法線方程〕【求解例如】.y'=frxc),yr|=fQ)x=a、.切線方程：y-f(a)=f,(a)(x-a)法線方程：y-f(a)=--4(x-a)f(a)第二節(jié)函數(shù)的和〔差〕、積與商的求導(dǎo)法則。函數(shù)和〔差〕、積與商的求導(dǎo)法則〔***〕.線性組合〔定理一〕：(au±Pv)'=au'+Pv'特別地，當(dāng)a=0=1時，有(u±v)，=u'±v'.函數(shù)積的求導(dǎo)法則〔定理二〕：(uv)=uv+uv'.函數(shù)商的求導(dǎo)法則〔定理三〕:第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。反函數(shù)的求導(dǎo)法則〔*〕【題型例如】求函數(shù)f-1(x)的導(dǎo)數(shù)【求解例如】由題可得f(x)為直接函數(shù)，其在定于域D上單調(diào)、可導(dǎo)，且f，Q)w0;：［f-1(x)］=^^。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則〔***〕 、【題型例如】設(shè)y=lnearcsin-x2-1+x2+a2］求y【求解例如】第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)， L JOf(n)(x)=rf(nT)(x)]〔或dny=jd(n-1)y]〕〔*〕dxn[dx(n-1)J【題型例如】求函數(shù)y=lnG+x)的n階導(dǎo)數(shù)【求解例如】y'=—=(1+x)t,1+xL/ 、4 / 、 / 、y"=[(1+x)1]=(-1)(1+x)2,第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)〔等式兩邊對x求導(dǎo)〕〔***〕【題型例如】試求：方程y=x+ey所給定的曲線C：y=yQ)在點G—e,1)的切線方程與法線方程【求解例如】由y=x+ey兩邊對x求導(dǎo)1一ei 1一e」.切線方程：y—1=-Q—1+e法線方程：y-1=-G-e)(x-1+e)。參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)(dy【求解例如】變化率問題舉例及相關(guān)變化率〔不作要求〕函數(shù)的微分。根本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則〔***〕第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理。引理〔費馬引理〕〔*〕。羅爾定理〔***〕【題型例如】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f(x)在［0,兀］上連續(xù)，在(0,兀)上可導(dǎo)，試證明：三己￡(0,兀)，使得f(之)cos己+f史)sin己=0成立【證明例如】玉e(0,兀)，使得f(&)cosq+f，(5)sin己=0成立顯然函數(shù)f(x)在閉區(qū)間11,x］上連續(xù)，在開區(qū)間(1,x)上可導(dǎo)，并且f(x)=ex；2.由拉格朗日中值定理可得，35el1,x］使得等式ex-e1=(x-1)e工成立，又;e5>e1,「.ex-e1>(x-1)e1=e?x-e,化簡得ex>e?x，即證得：當(dāng)x>1時，ex>e?x【題型例如】證明不等式：當(dāng)x>0時，ln(1+x)<x【證明例如［

.〔建立輔助函數(shù)〕令函數(shù)f(x)=ln(1+x),則對Vx>0，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,x］上連續(xù)，在開區(qū)間(0,兀)上可導(dǎo)，并且f，(x)=j+—;.由拉格朗日中值定理可得，3^e［0,x］使得等式1,ln(1+x)-ln(1+0)=———(x一0)成立，1+1化簡得ln(1+x)=-^―x，又?.七￡［0,x］,1+1尸巧)=-^―<1,,ln(1+x)<1-x=x,+1即證得：當(dāng)x>1時，ex>e-x第二節(jié)羅比達法則。運用羅比達法則進展極限運算的根本步驟〔**〕☆等價無窮小的替換〔以簡化運算〕2.判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件A.屬于兩大根本不定型〔0,8〕且滿足條件，08f(x) ff(x)則進展運算：lim =lim-yx―?g(x)x—?g'(x)〔再進展1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出〕B.☆不屬于兩大根本不定型〔轉(zhuǎn)化為根本不定型〕⑴0-8型〔轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式〕【題型例如】求值：limxa-lnxx—0【求解例如】〔一般地，limxa.(lnx)B=0，其中a,PeR〕x—0⑵8-8型〔通分構(gòu)造分式，觀察分母〕_,―一一」【題型例如】求值：lim-【求解例如】0「(x-sinxJ -1-cosx0「(1-cosxJ「sinx八=lim——7-x——=lim =lim =lim =0L'x―0 ^x2J x—0 2x L'x―0 (2xJ x―02⑶00型〔對數(shù)求極限法〕【題型例如】求值：limxxx—0【求解例如】解：設(shè)y=xx,兩邊取對數(shù)得：lny=lnxx=xlnx=對對數(shù)取x—0時的極限：limx—0(lny)=limlnx=對對數(shù)取x—0時的極限：limx—0(lny)=limlnx=limlnx工x(lnx)'1=lim-xx—01limlny_x—0x—0 limlny_x—0x2⑷18型〔對數(shù)求極限法〕【題型例如】求值：lim(cosx+sinx—0【求解例如】⑸80型〔對數(shù)求極限法〕)【題型例如】求值：lim—x—01xJtanxtanx。運用羅比達法則進展極限運算的根本思路⑴通分獲得分式〔通常伴有等價無窮小的替換〕⑵取倒數(shù)獲得分式〔將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式〕⑶取對數(shù)獲得乘積式〔通過對數(shù)運算將指數(shù)提前〕第三節(jié)泰勒中值定理〔不作要求〕第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性。連續(xù)函數(shù)單調(diào)性〔單調(diào)區(qū)間〕〔***〕〔**〕【題型例如】試確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x〔**〕【題型例如】試確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間【求解例如】1....函數(shù)f(x)在其定義域R上連續(xù)，且可導(dǎo)2.令f(x)=6(x-1)(x-2)=0，解得：x=1,x=21 2x(-8,1)1(1,2)2(2,+8)ff(x)+00+f(x)//、極大值極小值/4...?函數(shù)f3.〔三行表〕xJ的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2)單調(diào)遞減區(qū)間為【題型例如】證明：當(dāng)x>0時，ex>xJ的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2)單調(diào)遞減區(qū)間為【證明例如［.〔構(gòu)建輔助函數(shù)〕設(shè)①(x)=ex-x-1,〔x>0〕.p'(x)=ex-1>0,〔x>0〕..(pG)>(p(o)=o.既證：當(dāng)工>。時，ex>x+l【題型例如】證明：當(dāng)了>。時，ln(l+x)<x【證明例如】.〔構(gòu)建輔助函數(shù)〕設(shè)(p(x)=ln(l+x)—x,〔x>。〕.cpr(x)=--l<0,〔x>0〕1+x①(x)<3(0)=03.既證：當(dāng)x>0時，ln(1+x)<x。連續(xù)函數(shù)凹凸性〔***〕【題型例如】試討論函數(shù)y=1+3x2-x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明例如［yr=-3x2+6x=-3x(x-2)y"=-6x+6=-6(x-1)'yr=-3x(x-2)=02,令jy〃=-6(x-1)3.〔四行表〕解得:=0x=0,x=21 2x=1x(-8,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+8)y，0+/+0y"+/+/y1J(1,3)r54.⑴函數(shù)y=1+3x2-x3單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),(2,+8);⑵函數(shù)y=1+3x2-x3的極小值在x=0時取到f(0)=1,極大值在x=2時取到，為f(2)=5；⑶函數(shù)y=1+3x2-x3在區(qū)間(-8,0),(0,1)上凹，在區(qū)間(1,2),(2,+8)上凸；⑷函數(shù)y=1+3x2-x3的拐點坐標為(1,3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系〔***〕⑴設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果3x的*個鄰域MU(x)uD，使得對VxeUM我們則稱函數(shù)f(x);M令xeM則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,川上的最大值M滿足：M=max{f(a),⑵設(shè)函數(shù)f(x)x,x,x,...,x,f(b)}；M1M2M3Mn的定義域為D,如果3x的*個鄰域U(x)uD,使得對VxeU(x)式/(x)>f(x)我們則稱函數(shù)f(x)在點「x,都適合不等處有極小值0m1m2m3mn 在閉區(qū)間la,b」上的最小值m滿足：m=min{f(a),x,x,x,...,x【題型例如】求函數(shù)f(x)【求解例如】,f(b)};mn在1-1,3」上的最值i.2.3.?.?函數(shù)f(x)在其定義域［-1,3］上連續(xù)，且可導(dǎo):f(x)=-3x2+3令f，(x)=-3(x-1)(x+1)=0x-1(-1,1)1(1,3」f'(x)0+0f(x)極小值/極大值2解得：x=-1,x=1=f(1)=2,f(x)2,f(3)=-18=f(3)=-181〔三行表〕4,又.「f(-1)=-2,???f(x)max第六節(jié)第七節(jié)第八節(jié)min函數(shù)圖形的描繪〔不作要求〕曲率〔不作要求〕方程的近似解〔不作要求〕(x)，都適合不等M(x)在點「xf(x)一LM,M」處有極大:,x,x,...,x}M1M2M3Mn第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)。原函數(shù)與不定積分的概念〔**〕⑴原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為F'(x),即當(dāng)自變量xeI時，有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)?dx成立，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理：〔**〕如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F'(x)=f(x),也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)〔可導(dǎo)必連續(xù)〕⑶不定積分的概念〔**〕在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項解』^x=+fxf(x⑶不定積分的概念〔**〕在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項解』^x=+fxf(x)dx稱〔***〕/1Jdx=J a1+1 ,x.「=arctan—+Cx、2^a/1【題型例如】求J<27+1dxa.求2-x2dx〔三角換元〕分部積分法a.C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為：Jf(x%x=F(x)+C〔J稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，為積分表達式，x則稱為積分變量〕。根本積分表〔***〕。不定積分的線性性質(zhì)〔分項積分公式〕第二節(jié)換元積分法O第一類換元法〔湊微分〕〔***〕[dy=f'Q)dx的逆向應(yīng)用〕【題型例如】求J一1一dxa2+x2【求解例如】解』——dx=J-1a2+x2 (1+1-【求解例如】。第二類換元法〔去根式〕〔**〕〔dy=f()dx的正向應(yīng)用〕⑴對于一次根式〔a豐0,beR〕：axx+b:令t=Jax+b于是x=上一b,a則原式可化為t⑵對于根號下平方和的形式〔a>0〕：：令x=atant〔--<t<—〕，22x ,于是t=arctan-，則原式可化為asect；a⑶對于根號下平方差的形式〔a>0〕：aa2一x2:令x=asint〔一x于是t=arcsm—，則原式可化為acost；a: 八 兀b.<x2-a2:令x=asect[0<t<—〕,_- a ,于是t=arccos，則原式可化為atant；x【題型例如】求J,1dx〔一次根式〕、J2x+1【求解例如】金品>J1-tdt=Jdt=t+C=<2x+1+Cx=112-1t2 2【題型例如】【求解例如】第三節(jié)。分部積分法〔**〕⑴設(shè)函數(shù)u=f(x),V=g(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：Judv=uv-Jvdu⑵分部積分法函數(shù)排序次序：”反、對、冪、三、指〃。運用分部積分法計算不定積分的根本步驟：⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；⑵就近湊微分：[v'?dx=dv〕⑶使用分部積分公式：Judv=uv-Jvdu⑷展開尾項Jvdu=Jv,u'dx，判斷假設(shè)Jv,u'dx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案〔容易表示使用根本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果〕；b.假設(shè)JV,u'dx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；假設(shè)重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)C【題型例如】求Jex-x2dx【求解例如】【題型例如】求Jex-sinxdx【求解例如】/.Jex-sinxdx=exex(sinx-cosx)+C2第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分。有理函數(shù)〔*〕P(x)p(x)=axm+axm-1+…+a設(shè)：)= L0一十一-一~TmQ(x) q(x)=bxn+bxn-1+...+bTOC\o"1-5"\h\z()0 1 n對于有理函或P-f^,,當(dāng)P(x)的次數(shù)小于。(x)的Q(x)\o"CurrentDocument"P(x) ()次數(shù)時，有理函數(shù)一^^是真分式；當(dāng)P(x)的次數(shù)eU)() P(x)大于Q(x)的次數(shù)時，有理函數(shù)一^^是假分式QQ。有理函數(shù)〔真分式〕不定積分的求解思路〔*〕

P(x) ()⑴將有理函數(shù)一rr的分母Q(x)分拆成兩個沒有eul公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式(x-a)k；而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式Q2+px+q),〔p2-4q<0]；即：Q(x)=Q(x).Q(x)1 2(n)mx1 2(n)mx+n=mx+—Im),,,bc則參工攵p——，q——aa一般地:...n,則參數(shù)a=—-⑵則設(shè)有理函數(shù)華)的分拆和式為:

eu)IM|MIM參數(shù)A,A，…,A,《i,《2,…,《,由待定系數(shù)法12kINININL1L2Vl〔比較法〕求出⑶得到分拆式后分項積分即可求解【題型例如】求f―二dx〔構(gòu)造法〕x+1【求解例如】第五節(jié)積分表的使用〔不作要求〕第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)。定積分的定義〔*〕[f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限,[a,b]稱為積分區(qū)間〕。定積分的性質(zhì)〔***〕⑴fbf(x)dx=fbf(u)duaa⑵