柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂

柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂的，但直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于什么是實(shí)數(shù)，竟還沒(méi)有明確的定義。數(shù)學(xué)家們對(duì)實(shí)數(shù)系本身2仍然是以直觀的方式來(lái)理解的，他們相當(dāng)隨意地使用無(wú)理數(shù)（如 ，而沒(méi)有認(rèn)真考察它22任意逼近，如2

1.4142 （作為和式的極限n收斂判別準(zhǔn)則的充分性（S S 對(duì)一切r和充分大的n都小于任意指定的量）以及證明nr n 中值定理f(xf(x)f(xxxxx),0,1 0 0 0 0而實(shí)數(shù)系的這種基本性質(zhì)在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有證實(shí)。對(duì)實(shí)數(shù)系缺乏認(rèn)識(shí)不僅造成邏輯上的間斷，而且實(shí)際上常常導(dǎo)致錯(cuò)誤。由于沒(méi)有建立一致收斂性概念，柯西得出過(guò)一個(gè)錯(cuò)誤判斷：若u(x)(n1,2,n

)皆連續(xù)，且級(jí)數(shù)n1

u(x)F(xF(x連續(xù)；他還斷定這時(shí)對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分nabF(x)dxan1

bua

(x)dx 拉斯在1861年舉出一個(gè)處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)例子時(shí) f(x)n0

bncosanx其中a是奇數(shù)，b0,1為常數(shù)，使得ab13。高斯曾經(jīng)稱(chēng)“數(shù)學(xué)是眼睛的科學(xué)”，2但是要看清魏爾斯特拉斯擺在數(shù)學(xué)家們面前的這條曲線，單靠一雙好眼睛是無(wú)論如何不夠。Dedekind）在1858年開(kāi)始講授微積分時(shí)說(shuō)過(guò)的愿望：“我比以往任何時(shí)候更加強(qiáng)烈地感到這種算法缺乏真正科學(xué)的基礎(chǔ)定決心研究這個(gè)問(wèn)題，直到為無(wú)窮小分析原理建立純粹算術(shù)的和完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)為止把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)之上，這方面的努力在19世紀(jì)后半葉釀成了數(shù)學(xué)史（有理數(shù)力并獲得了很大成功。（Karl出生于德國(guó)威斯特伐里亞地區(qū)一個(gè)海關(guān)官71841年，他正式通過(guò)了教師資格考試。在這期間，他的數(shù)學(xué)老師居德曼認(rèn)識(shí)到他的才能。居德曼是一位橢圓函數(shù)論專(zhuān)提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)文顯示了一位難得的數(shù)學(xué)人才，只要不被埋沒(méi)荒廢，一定會(huì)對(duì)科學(xué)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)30歲到40歲的這段數(shù)學(xué)家的黃金歲月。列夫勒所說(shuō)的那樣一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志（常常簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)雜志，這才使他時(shí)來(lái)運(yùn)轉(zhuǎn)?？死谞柕碾s志素以向有創(chuàng)造力的年青數(shù)學(xué)家開(kāi)放而著稱(chēng)1827年刊登出來(lái)；雅可比的橢圓函數(shù)論論文、格林的位勢(shì)論論文等數(shù)學(xué)史上185615年中學(xué)教師后，魏爾斯特拉這種嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語(yǔ)言，用以重建分析體系。他批評(píng)柯西等前人采表述，用這種方式，本質(zhì)上歸功于魏爾斯特拉斯的工作。魏爾斯特拉斯很