復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù),它是本課程的研究對象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補充;然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)表示及運算平面點集復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)表示及運算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)形如z=x+iy的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分別為z的實部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1z1=z2當且僅當Rez1=Rez2且Imz1=Imz1復(fù)數(shù)不能比較大小當z=0時,|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:說明：當z在第二象限時，例3求和解復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：指數(shù)表示：注意在三角表示和指數(shù)表示下，兩個復(fù)數(shù)相等當且僅當模相等且幅角相差例4求的三角表示式與指數(shù)表示式.解因為所以設(shè)則又因為位于第II象限所以于是復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù)加減運算z1+

z2=(x1+x2)

+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z2乘法運算兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加復(fù)數(shù)四則運算規(guī)律：（1）加法交換律（2）乘法交換律（3）加法結(jié)合律（4）乘法結(jié)合律（5）乘法對于加法的分配律共軛運算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)為是復(fù)數(shù)z關(guān)于實軸的對稱點共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）為實數(shù).例2設(shè)，求及解所以1.復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)為正整數(shù)，個非零相同復(fù)數(shù)的乘積，稱為的次冪，記為，即若，則有當時，得到著名的棣莫弗公式例7求解因為所以例8已知，求解因為復(fù)數(shù)的方根稱滿足方程的復(fù)數(shù)為的次方根，記作或記作令解出由即可求出6個根，它們是例解方程解因為所以例2計算解因為所以即平面點集鄰域平面上以為心，為半徑的圓：內(nèi)部所有點的集合稱為點的—鄰域，記為，即稱集合為的去心—鄰域，記作z0開集如果點集的每一個點都是的內(nèi)點，則稱為開集.閉集如果點集的余集為開集，則稱為閉集.連通集設(shè)是開集，如果對于內(nèi)任意兩點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬于，則稱開集是連通集.Dz1z2p例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）該方程表示到點2i和－2距離相等的點的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點2i和－2的線段的垂直平分線，它的方程為y=－x。（2）設(shè)z=x+iy,（3）表示實軸方向與由點i到z的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點的全體是自i點出發(fā)且與實軸正向夾角為45度的一條半射線。（不包括i點）（4）例3：指出不等式中點z的軌跡所在范圍。解：因為所以于是有它表示在圓外且屬于左半平面的所有點的集合圖11.簡單曲線、簡單閉曲線平面曲線若存在滿足且的使重點，無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或則稱此曲線C有，約當（Jordan）曲線；除外無其它重點的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如是一條簡單閉曲線（如圖1）.在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的是簡單曲線，是簡單閉區(qū)域，圖1.11中的，不是簡單曲線，但是閉曲線.圖1.10圖1.112.光滑曲線、分段光滑曲線設(shè)曲線的方程為

若，在上可導(dǎo)且，連續(xù)不全為零，則稱曲線為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.3.單連通域、多連通域設(shè)是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在內(nèi)任作一條簡單閉曲線，其內(nèi)部的所有點都在中，則稱區(qū)域為單連通區(qū)域；否則稱為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個沒有“空洞（點洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線所圍成的區(qū)域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12）.圖1.12練習(xí)考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形，并指明它是有界還是無界，是單連通還是多連通。復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)之定義設(shè)G是一個復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z，有一個或多個復(fù)數(shù)ω=u+iv與之對應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為ω=f(z)。說明1如果z的一個值對應(yīng)著ω的唯一一個值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個值對應(yīng)著多個ω的值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。說明2復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一個映射。復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以寫成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iyω=f(z)z平面ω平面舉例求0<argz<π,0<r<1經(jīng)ω=iz變換后在ω平面上的圖形。z平面ω平面ω=iz=zexp(iπ/2)例1將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù)化為一對二元實變函數(shù).解設(shè)，，代入得比較實部與虛部得，例2將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二元實變函數(shù)化為一個復(fù)變函數(shù).解設(shè)，，則將，以及代入上式，經(jīng)整理后，得復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.函數(shù)極限的定義:一.函數(shù)極限:幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)復(fù)變函數(shù)的極限四則運算法則：與實變函數(shù)的極限性質(zhì)類似.惟一性復(fù)合運算等定理1.12.極限計算的性質(zhì)例3試求下列函數(shù)的極限.（1）（2）解（1）法1設(shè)，則，且得法2（2）

設(shè)，則，得（2）例2證明函數(shù)在時極限不存在.證設(shè)，而考慮二元實函數(shù)當沿著（為任意實數(shù)）趨向于，即

顯然，極限值隨值的不同而不同，所以根據(jù)二元實變函數(shù)極限的定義知，在趨向于時的極限不存在，即得結(jié)論.二、函數(shù)的連續(xù)性定義5設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點處連續(xù).若在區(qū)域內(nèi)每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理1.2函數(shù)，在處連續(xù)的充要條件是和都在點處連續(xù).連續(xù)的三要素:（1）f(z)在z0處有定義（2）f(z)在z0處有極限（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.2例4求解因為在點處連續(xù)，故例5

證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozzx00最值性質(zhì)當在有界閉區(qū)域上連續(xù)