高考數(shù)學高頻考點全解析：解析幾何

高考數(shù)學高頻考點全解析：解析幾何

—.專題綜述

解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標系，該部分內(nèi)容是整

個解析幾何的基礎，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾

何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是

一個選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題，偏向于考查直線與圓的綜合,

試題難度不大，對直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進行.根據(jù)近年來各地

高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預計2012年該部分的考查仍然是以選擇題或

者填空題考查直線與圓的基礎知識和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識的應用.

圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一-,在高考中一般有1?2個選擇題或者填空

題，一個解答題.選擇題或者填空題在于有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標

準方程和簡單幾何性質(zhì)及其應用，試題考查主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難

度一般不大；解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的

位置關系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學思

想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一.由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學主干

知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預計

2012年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.

二.考綱解讀

1.直線與方程

①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直

線斜率的計算公式.

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般

式），體會斜截式與一次函數(shù)的關系.

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.

⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

2.圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

3.在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

4.空間直角坐標系

①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角

坐標系刻畫點的位置.

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標,探索并得出空間兩點間的距

離公式.

5.圓錐曲線

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓（理：橢圓、拋物線）模型的過程，掌握橢圓（理：橢圓、拋

物線）的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì).

（3）了解拋物線、雙曲線（理：雙曲線）的定義、幾何圖形和標準方程，知道拋物線、雙曲線（理:

雙曲線）的簡單幾何性質(zhì).

（4）通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

（5）（文）了解圓錐曲線的簡單應用.

（理）能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和

實際問題.

（6）（理）結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數(shù)形

結(jié)合的基本思想.

三.高考命題趨向

1.直線的方程命題重點是：直線的頤斜角與斜率，兩條直線的位置關系，對稱及與其它知

識結(jié)合考查距離等.

2.圓的方程命題重點是；由所給條件求圓的方程、直線與圓的位置關系.

3.圓錐曲線常通過客觀題考查圓錐曲線的基本量（概念、性質(zhì)），通過大題考查直線與圓錐

曲線的位置關系，求圓錐曲線的方程等.

4.在知識交匯點處命題是解析幾何的顯著特征.與平面向量、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、

導數(shù)、立體幾何等知識結(jié)合，考查綜合分析與解決問題的能力.如結(jié)合三角函數(shù)考查夾角、

距離，結(jié)合二次函數(shù)考查最值，結(jié)合向量考查平行、垂直、面積，直線與圓錐曲線的位置關

系與向量結(jié)合求參數(shù)的取值范圍等，與導數(shù)結(jié)合考查直線與圓錐曲線位置關系將成為新的熱

點，有時也與茴易邏輯知識結(jié)合命題.命題會緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論

思想、運動變化的觀點展開.

四.高頻考點解讀

考點一直線的相關問題

例1[2011?浙江卷]若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則實數(shù)m=

【答案】1

【解析】?.?直線x—2y+5=0與直線2x+即-6=0,/.1X2—2Xw=0,即”?=1.

例2[2011?安徽卷]在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x,y）為整點，下列

命題中正確的是_______（寫出所有正確命題的編號）.

①存在這樣福冢既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點；

②如果先與b都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點；

③直線/經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當/經(jīng)過兩個不同的整點；

④直線>=丘+/>經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：A與b都是有理數(shù)；

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

【答案】①③⑤

【解析】①正確，比如直線y=Wx+小，不與坐標軸平行，且當x取整數(shù)時，y始終是一

個無理數(shù)，即不經(jīng)過任何整點；②錯，直線卜=小》一切中左與人都是無理數(shù)，但直線經(jīng)過

整點（1,0）;③正確，當直線經(jīng)過兩個整點時，它經(jīng)過無數(shù)多個整點；④錯誤，當k=0,b=

與時，直線不通過任何整點；⑤正確，比如直線了=小、一小只經(jīng)過一個整點（1,0）.

【解題技巧點睛】在判斷兩條直線平行或垂直時,不要忘記考慮兩條直線中有一條直線無斜

率或兩條直線都無斜率的情況.在不重合的直線/1與12的斜率都存在的情況下才可以應用條

件/1〃/20依=松,/4/2=左次2=-1解決兩直線的平行與垂直問題.在判定兩直線是否垂直的問

題上,除上述方法外，還可以用兩直線I]和/2的方向向量也=（。1力1）和丫2=（。282）來判定，

即1]_1_/2=。1。2+6162=0.

考點二直線與圓的位置關系

例3[2011?湖南卷]已知圓C：直線/：4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線/的距離為；

(2)圓C上任意一點A到直線/的距離小于2的概率為____

【答案】⑴5(2)|

I—25|

【解析】(1)圓心到直線的距離為：4=擊4#=5

(2)當圓C上的點到直線/的距離是2時有兩個點為點B與點D,設過這兩點的直線方

程為4x+3y+c=0,同時可得到的圓心到直線4x+3y+c=0的距離為OC=3,

又圓的半徑為r=2小，可得/8。。=60。，由圖1—2可知點/在弧而上移動，弧長

---1C'BD1

IBD=2義c=z，圓周長c,故P(/)=----=7.

0OCO

例4[2011?課標全國卷]在平面直角坐標系中，曲線v=f-6x+l與坐標軸的交點都在

圓C上.

⑴求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x-y+a=0交于/、B兩點,且0/1.08,求°的值.

【解答】(1)曲線y=x2-6x+l與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2吸,0),(3—2夜,

0).

故可設C的圓心電(3,/),則有32+(/-1)2=(2^2)2+/2,解得/=1.

則圓C的半徑為，32+(Ll)2=3.

所以圓C的方程為(x-3)2+(y—1尸=9.

(2)設2即為),如2,兒)，其坐標滿足方程組

(x-y+q=0,

[(X—3)2+0—1)2=9.

消去“得到方程

2x2+(2(J—8)x+a2-2a+1=0.

山已知可得，判別式/=56—16〃-4a2>0.從而

2。+1與

X】+M=4-4,X\X2=2,①

由于可得的切+巾”=0.

又y=修+。，h=應+。，所以

2修必+。(工1+必)+。2=0.②

由①，②得。=—1,滿足/>0,故。=-1.

【解題技巧點睛】求圓的方程要確定圓心的坐標(橫坐標、縱坐標)和圓的半徑，這實際上是

三個獨立的條件，只有根據(jù)已知把三個獨立條件找出才可能通過解方程組的方法確定圓心坐

標和圓的半徑，其中列條件和解方程組都要注意其準確性.直線被圓所截得的弦長是直線與

圓相交時產(chǎn)生的問題，是直線與圓的位置關系的一個衍生問題.解決的方法，一是根據(jù)平面

幾何知識結(jié)合坐標的方法，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即如果圓的半徑是

r,圓心到直線的距離是"，則圓被直線所截得的弦長/=2;二是根據(jù)求一般的直線被二次

曲線所截得的弦長的方法解決.

考點三橢圓方程與幾何性質(zhì)

例5[2011?福建卷]設圓錐曲線廠的兩個焦點分別為居，/2.若曲線廠上存在點尸滿足|尸夕|：

尸周：|尸尸2尸4：3：2,則曲線廠的離心率等于()

A.；或'B:|或2或2D.1或方

【答案】A

84

【解析】設|尸周=2c(c>0),由已知1PBi：|尸|&|：|P尸1=4：3：2,得|尸司=鏟，m=jc,

且1pBi>|明，

C1

若圓錐曲線「為橢圓，則2〃=/K|+|P&|=4c,離心率e=￡=g；

4c3

若圓錐曲線「為雙曲線，則2o=|PP|一|P&|=§c,離心率e=￡=],故選A.

例6[2011?江西卷]若橢圓5+/=1的焦點在x軸上，過點(I,0作圓f+y2=i的切線，切

點分別為8,,直線Z3恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是_______.

【答案】(+[=1

【解析】由題可知過點§與圓/+，=1的圓心的直線方程為了=發(fā)，由垂徑定理可得

自8=-2.顯然過點(1，§的一條切線為直線x=l,此時切點記為4(1,0),即為橢圓的右焦點，

故c=l.由點斜式可得，直線48的方程為>=—2(%—1),即ZB：2x+y—2=0.

令x=0得上頂點為(0,2),?,.b=2,???42=/+°2=5,故得所求橢圓方程為方+；=]

例7[2011?課標全國卷]在平面直角坐標系xQy中，橢圓C的中心為原點，焦點儲,&在x

軸上，離心率為坐.過Q的直線/交C于1,8兩點，且△48&的周長為16,那么C的方

【答藕而22

【解析】設橢圓方程為因為離心率為當，所理八「弓,

,21V

解得/=],即a2=2b2.

又AABF2的周長為|4為+|4尸2|+忸尸2|=|/同+|3尸1|+忸尸2|+|/尸2|=(|/尸1|十|4尸2|)+(|3司+

22

\BF2\)—2a+2a—4a,,所以4a=16,。=4,所以6=25，所以橢圓方程為猿+^=1.

【解題技巧點睛】離心率是圓錐曲線重要的幾何性質(zhì)，在圓錐曲線的基礎類試題中占有較大

的比重，是高考考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)中的重要題目類型.關于橢圓、雙曲線的離心率問

題，主要有兩類試題.一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的取值范圍.基本的解題

思路是建立橢圓和雙曲線中a,b,c的關系式，求值試題就是建立關于a,b,c的等式，求

取值范圍問題就是建立關于a,b,c的不等式.

考點四雙曲線方程與幾何性質(zhì)

22

例8[2011?天津卷]己知雙曲線，一，=1（必0,6>0）的左頂點與拋物線y=2/g>0）的焦點的

距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2,-1）,則雙曲線的焦

距為（）

A.2sB.2小C.4sD.4小

【答案】B

?2,2,

【解析】雙曲線夕一方=1的漸近線為y=±3,由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的

交點坐標為（-2,一1）得一§=—2,即p=4.又,.?§+。=4,，a=2,將（一2,-1）代入

得6=1,_____

c—yja2+b2=-^44-1—y[5,2c—2y[5.,

例9[2011?遼寧卷]已知點（2,3）在雙曲線C：方一/=13>0,Q0）上，C的焦距為4,則它

的離心率為________.

【答案】22②

【解析】法一：點（2,3）在雙曲線C：4-^=1±,則務/=1.又由于2c=4,所以/+/

4—2=1,

=4.解方程組y'得。=1或。=4.由于故。=1.所以離心率為e=￡=2.

。2+7=4

法二：??,雙曲線的焦距為4,???雙曲線的兩焦點分別為尸1（-2,0）,a（2,0）,點（2,3）到兩焦

點的距離之差的絕對值為2,即2a=2,...a=l,離心率e=?=2.

22

例10[2011?山東卷]已知雙曲線，一節(jié)=1（心0,6>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y~6x+5

=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）

2

XFf222r2v2

A——1R——'~=1r——=1D——=1

從5415161u-631

【答案】A

【解析】圓方程化為標準方程為。一3尸+丁=4,所以圓心C（3,0）,r=2,所以雙曲線焦點

小。），即E,漸近線為始讓。，由圓心到漸近線的距離為2得科=2,又小/

22

=9,所以回=2,即/=%/=。2_/=9_4=5,所以所求雙曲線方程為方一3=1.

【解題技巧點睛】求圓錐曲線方程的基本方法之一就是待定系數(shù)法，就是根據(jù)已知條件得到

圓錐曲線方程中系數(shù)的方程或者方程組，通過解方程或者方程組求得系數(shù)值.

考點五拋物線方程與幾何性質(zhì)

例?課標全國卷]已知直線/過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，/與C交于

/、B兩點,四尸⑵尸為C的準線上一點，則△/8P的面積為（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【解析】設拋物線方程為丁=2/①>0），則焦點哈0），心力，雄，一力，

所以|/8|=2p=12,所以0=6.又點P到邊的距離為p=6,

所以SHBP=QX12X6=36.

例12[2011?福建卷]如圖1-4,直線/：y=x+b與拋物線C：￥=句相切于點力.

(1)求實數(shù)6的值；

(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

\y—x+b,,

【解答】(1)由2得4x—46=0.(*)

[x=4y

因為直線/與拋物線C相切，

所以/=(_4)2_4X(_46)=0.

解得b=-l.

2

(2)由(1)可知b=~\,故方程(*)即為X-4X+4=0.

褪得x=2,代入/=4夕，得y=l,

故點4(2,1).

因為圓A與拋物線C的準線相切，

所以圓/的半徑廠等于圓心4到拋物線的準線y=-l的距離，即/'=11—(—1)|=2.

所以圓A的方程為。-2)2+&-1)2=4.

圖1一7

例13[2011?江西卷]已知過拋物線丁=2px(p>0)的焦點，斜率為26的直線交拋物線于4(x”

川),8(x2，及)(*142)兩點,旦|Z8|=9.

(1)求該拋物線的方程；

(2)0為坐標原點，C為拋物線上一點，若無=晶+2加，求力的值.

【解答】⑴直線的方程是尸2也Q一目，與J=2px聯(lián)立，從而有4f-5px+/=0,

所以：制+》2=乎.

由拋物線定義得：必用=修+處+0=9,

所以0=4,從而拋物線方程是丁=8x.

(2)由p=4,4f—5px+p2=0可簡化為5尤+4=0,從而巾=1,檢=4,%=—2限,

y2=4y/2,

從而/(I,一26)，5(4,4^2).

設女=(X3,h)=(1，-2艱)+"4,4啦)=(42+1,4@一2柩,

又￡=8知即[2/(24-1)]2=8(44+1),即(22-1)2=47+1,

解得2=0或2=2.

考點六直線與曲線的位置關系

例14[2011?江西卷]若曲線G：/+/—2x=0與曲線C2：乂>—s—⑼=0有四個不同的交

點，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-率圉B(一當,。)U(0考

。[一坐,閡D.j—8,盟喈,+.

【答案】B

【解析】配方得，曲線C|：。-1)2+，=1,即曲線C1為圓心在點G(l,o),半徑為1的圓,

曲線C2則表示兩條直線：X軸與直線/：y=m(x+l),

顯然x軸與圓G有兩個交點，于是知直線/與圓G相交，

...圓心G到直線/的距離(害;叫<,.=1,解得加e(T，甲,

又當機=0時，直線/：y=0與X軸重合，此時只有兩個交點，應舍去.

綜上所述，，〃的取值范圍是(一平，0)U(0,9.故選B.

例15[2011?陜西卷]設橢圓C：5+5=1(O>6>°)過點(°用，離心率為點

(1)求C的方程；

(2)求過點(3,0)且斜率為1的直線被。所截線段的中點坐標.

【解答】⑴將(0,4)代入橢圓C的方程得爺=1,.M=4.

c3,a2—b29169._

又e=-=W得a2-=T7,n即ni1—-7=去，..67=5,

a5a25a25

22

xv

C的方程為57+77=1.

10

44

(2)過點(3,0)且斜率為5的直線方程為y=5(x—3),

設直線與C的交點為/(X|,凹)，8(X2,了2)，

將直線方程y=*-3)代入C的方程，得0+8瞪

1,

即f—3x—8=0.

俎3―河3+兩

解得修=2，*2=?，

：.AB的中點坐標工=嗎&=去

~=%1"及=3乃+X2-6)=-1.

即中點為(I，—I).

例16[2011?遼寧卷]

如圖1-9,已知橢圓Ci的中點在原點O,長軸左、右端點A/,N在x軸上，橢圓C2

的短軸為MN,且G，C2的離心率都為e.直線ILMN,I與G交于兩點，與C2交于兩點，

這四點按縱坐標從大到小依次為4B,C,D.

⑴設e=g,求|BC|與陽)|的比值;

(2)當e變化時，是否存在直線/,使得8O〃/N,并說明理由.

【解答】(1)因為Ci，C2的離心率相同，故依題意可設

22,222

Ci：,+}=1,C2：譚"+?=1,(〃>6>0).

設直線/：x=/(M<。)，分別與G，C2的方程聯(lián)立，求得

傘觸“知2―『)

當時，6=孕，分別用乃，乃表示48的縱坐標，可知

2

ID^I.?..21y|b3

18cl,H。n-2bgl-/一4

(2)/=0時的/不符合題意./70時，80〃4V當且僅當8。的斜率心。與4V的斜率Mv

b[-^2----5ai~2---i

ww

相等，即一；—=———，

tt-a

解得/=一若5=-g”

1—e2\[2

因為，|Va,又OVeVl,所以一^<1,解得^VeVl.

所以當0<eW半時，不存在直線/,使得8O〃ZN；

當坐VeVl時，存在直線/,使得80〃/N.

【解題技巧點睛】當直線與曲線相交時：涉及弦長問題，常用“根與系數(shù)的關系”設而不求計

算弦長；涉及到求平行弦中點的軌跡、求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的

直線方程問題，常用“差分法”設而不求，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標

聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.其中，判別式大于零是檢驗所求參數(shù)的值是否有意義的依據(jù),通過相切

構(gòu)造方程可以求值,通過相交、相離還可構(gòu)造不等式來求參數(shù)的取值范圍或檢驗某一個值是

否有意義.

考點七軌跡問題

例17[2011?陜西卷]

如圖1—8,設P是圓/+丁=25上的動點，點。是P在x軸上的投影，M為PD上一點、,

R\MD\^j\PD\.

⑴當尸在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；

(2)求過點(3,0)且斜率為9的直線被C所截線段的長度.

【解答】(1)設A/的坐標為(x,y),P的坐標為(xp,yP),

Xp=Xi

由已知得｛5

?.?尸在圓上，.?.乂2+6，)2=25,

22

即C的方程為裝+￡=1.

2DIO

44

(2)過點(3,0)且斜率為§的直線方程為歹=5(工一3),

設直線與。的交點為4(修，%)，8(必，及)，

將直線方程尸*一3)代入C的方程，得點+也薩=1，即d—3x—8=0.

3-3+^/?T

??X]-2，12=2,

...線段48的長度為

例18[2011?湖南卷]己知平面內(nèi)一動點尸到點網(wǎng)1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線/”12,設A與軌跡C相交于點4B,，2與軌

跡C相交于點。，E,求益?港的最小值.

【解答】設動點尸的坐標為(x,y),由題意有?(x—l)2+y2—慟=1.

化筒得，=2》+2慟.

當x>0時，/=4x；當x<0時,y=0.

所以，動點P的軌跡C的方程為丁=4x(工與0)和y=O(x〈O).

(2)由題意知，直線/|的斜率存在且不為0,設為％,

則/i的方程為夕=嵐》-1).

\y^k(x-\)

由得

j2=4x

左一(2*+4.+*=0.

4

設4(X[,刈)，8(x29y2)f則勺，檢是上述方程的兩個實根，于是即+切=2+/,X\X2~1.

因為/1_L/2,所以/2的斜率為一!

設。(不，力)，￡{N4，J4)，則同理可得

制+“4=2+4左2,XyX4=1.

故必?旗=(赤+FDy(EF+FB)

=Q,前+成?而+濟針+而?比

=而|兩+|兩函

=8+1)3+1)+S+1)(M+1)

=X\X2~^~(X\+工2)+1+X3X4+(^3+%4)+1

=1+(2+^2^+1+1+(2+44+1

=8+4仗+日28+4X2"\^^=16.

當且僅當好=/，即仁±1時，亦逾取最小值16.

例！9[2Q11?天津卷]在平面直角坐標系X0中，點尸伍，b)(a>b>0)為動點,Fi，入分別為橢

圓3+方=1的左、右焦點.已知△尸田出為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設直線P&與橢圓相交于/，8兩點，〃是直線P&上的點，滿足前說/=—2,求點M

的軌跡方程.

【解答】⑴設Q(—c,0),F2(c,0)(00).由題意,可得『&|=尸|&|,

即后可彳=2c.整理得2(3+、1=().

QC]1

得￡=一1(舍)，或1=2.所以e=,

(2)由(1)知a=2c,6=小乙可得橢圓方程為3f+4”=12c2,直線PB方程為^=小(工一。).

3x2+4y2=12c2,

A,8兩點的坐標滿足方程組

y^y[3(x-c).

8

消去y并整理，得5f-8cr=0.解得a=0,應=+

得方程組的解

不妨設￥^c)，8(0,一小c).

設點M的坐標為(x,y),貝必A/=(x—■!(:,BM=(x,y+小c).

由了=小(》一c),得c=x—

于是孤/=(今以一右,BM—(x,yf3x).由萬/?加/=-2,

即?/x=-2,

化簡得18工2—16小工)一15=0.

..18x2—15八、、y[3”,10X2+5什，，

將白=代入c=x一拳V，得16t>0.所以x>0.

因此，點M的軌跡方程是18X2-16V3X^-15=0(X>0).

【解題技巧點睛】求曲線軌跡方程是高考的?？碱}型.考查軌跡方程的求法以及利用曲線的

軌跡方程研究曲線幾何性質(zhì)，一般用直接法、定義法、相關點代入法等求曲線的軌跡方程.

枕跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合,著重考查分析問題、解

決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力有較高的要求.如果題目中有明顯的等量關系，

或者能夠利用平面幾何推出等量關系，可用直接法;如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知

曲線的定義，則可用定義法；如果軌跡的動點P依賴另一動點Q,而Q又在某已知曲線上，則可

通過列方程組用代入法求出軌跡方程；另外當動點的關系不易找到，而動點又依賴于某個參

數(shù),則可利用參數(shù)法求枕跡方程，常用的參數(shù)有變角、變斜率等.

考點八圓錐曲線的綜合問題

例20[2011?山東卷]設Mx。，％)為拋物線C：￥=匕上一點，尸為拋物線C的焦點，以F為

圓心、|FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則為的取值范圍是()

A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+8)D.[2,+°0)

【答案】C

【解析】根據(jù)f=8y,所以尸(0,2),準線丁=-2,所以廠到準線的距離為4,當以廠為圓

心、以|尸朋]為半徑的圓與準線相切B寸，|^|=4,即M到準線的距離為4,此時泗=2,所以

顯然當以尸為圓心，以為半徑的圓和拋物線C的準線相交時，泗6(2,+8).

例2O[2ou?湖南卷]如圖1一9,橢圓Ci：/+方=ig*o)的離心率為坐,x軸被曲線C2：

y^x2-b截得的線段長等于G的長半軸長.

(1)求G，C2的方程；

(2)設C2與了軸的交點為過坐標原點。的直線/與。2相交于點4B,直線

M3分別與Ci相交于點Q,E.

①證明：MDVME-,

c17

②記△M48,△〃￡>后的面積分別為國，S2.問：是否存在直線/，使得請說明理

02"

由.

【解答】⑴由題意知，e=，坐，從而“=24又2亞=a,解得。=2,6=1.

故C”。2的方程分別為?+/=1，尸/一1.

（2）①由題意知，直線/的斜率存在，設為"則直線/的方程為>=a

\y=kx,

由j_2]得f一h一1=0.

設/（X|,巾），5（X2>為），

則修，M是上述方程的兩個實根，

于是X]+X2=%,X\X2=-1.

又點M的坐標為（0,-1）,所以

川+1乃+1（履1+1）（底2+1）

MB

~X['X2~X\X2

Z?X|X2+嵐X|+%2）+1

X|X2

一妙+*+l

故WMB,B|1MDLME.

②設直線MA的斜率為h，則直線MA的方程為

\y—k\x—\,

解得

y—k\x-1,由，[y=f-1

fx=0,\x=k\t

UL

則點z的坐標為肉，居一1）.

又直線MB的斜率為一看，同理可得點8的坐標為（一（，煮一1）

于是$昌戰(zhàn)|"|=31+的如yI+}.IVI=與空

\y-k\X-\,

由"+4)?_4=0得(1+4居*-8抬x=0.

8kl

『一"或”=1+4次

解得，

卜=一14居一1

好TT福

*1)

則點D的坐標為1+4后)

又直線ME的斜率為一片同理可得點￡的坐標為仔卷，母

羊目rL.msm32（1+后）?土

于ZE$2=習⑷?阿=（]+4后）詔+4）-

因此滬景曙+春+17).

由題意知，卻居+向+1717

32f

>°1

解得居=4,或后=[

_"T1

又由點4,3的坐標可知，k=---f=k「聯(lián),

3

所以k=馬.

故滿足條件的直線/存在，且有兩條，其方程分別為尸3永和尸一聲3

例21[2011?山東卷]已知動直線/與橢圓C：，+，=1交于尸8，乃)，0(工2，為)兩不同點，

且△OP。的面積SAOP°=半，其中°為坐標原點.

⑴證明：*+巖和4+式均為定值；

(2)設線段PQ的中點為M,求10MHp。的最大值；

(3)橢圓C上是否存在三點，E,G,使得SAODE=SAODG=SA°EG=^?若存在，判斷

△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)(i)當直線/的斜率不存在時，P,。兩點關于x軸對稱,

所以“2=工1，及=一乃，

因為尸(修，功)在橢圓匕

22

所以,+巧=1?①

又因為Sa。?0=^^>

所以同忸尸殺②

由①、②得|xi|=R*，[yi|=1?

此時*+/=3,乂+次=2.

(ii)當直線/的斜率存在時，，設阜線Z的方程為y=kx+m9

由題意知加片0,將其代入與+、=1得

(2+3*)f+6kmx+3(w2-2)=0,

其中d=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0,

即3必+2>蘇，(★)

f.6km3(w2—2)

乂X|+x2=-2+3左2,XM2=2+3*'

所以\PQ\=W+*=S+X2)2—4X|X2

2乖73A2+2—/w2

=、1+*?

2+3必

因為點O到直線/的距離為〃=萬%，

所以SAO戶°=習尸。卜”

_1I+2-w2\m\

=會2+3F.TP

小卜％N3爐+2-〃?2

=2+3^^

又SDOPQ=2，

整理得32+2=2〃八且符合(★)式.

此時X；+x：=(X]+必)2—2x]、2=

(_6km\_0乂3(,/_2)_

I2+3刃22+3戶一3，

y\+j2=|(3-Xi)+|(3-X2)=4-1(xf+^2)=2.

綜上所述，x；+\=3,認+城=2,結(jié)論成立.

(2)解法一：①當直線/的斜率不存在時，

由⑴知|OM=?1|=噂,/01=2同=2,

因此|0初|?|尸。尸當X2=4.

②當直線/的斜率存在時，由i知:

修+工2

2

乃十＞'2—3Z:2+2W21

22mm

1_6m2-2_j

函="*(空)F書~trT4/w2~2

24(3必+2—毋)2(2療+1)(

聞2=(1+6=22+5)

(2+3爐了m

=GT)(2+5H3-9+2+前2=衛(wèi)

4,

27

所以|OM，|P0lW，當且僅當3—，=2+},即加=—口時，等號成立.

綜合①②得QMM。的最大值為|.

解法二：

222

因為4|OA/|+|P0『=(X1+%2)2+01+j2)+(x2—Xl)+&2—y[)2=2[(x?+%2)+(yf+詒]=

10.

所以2QMWK也吟皿/=5.

即10M?|P0|w|,當且僅當2QM=|P。尸小時等號成立.

因此|0卬尸。|的最大值為攝

(3)橢圓C上不存在二點。，EtG,使得SAODE=S.ODG=SAOEG=^^~?

證明：假設存在。(〃，0),E(x\,y\),G(》2,")滿足￡\8E=￡\ODG=S4OEG=?,

2

由(1)得/+\=3,I?+)=3,*+)=3,v+y{=296+為=2,y；+y；=2.

解得J=X\=X2=]；~yi=yi=i.

因此"，X1，應只能從士當中選取，。，為，以只能從±1中選取.

因此。、E、G只能在(土半，±1)這四點中選取三個不同點，

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，

與S&ODE=SAODG=S&OEG=2矛盾，

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點。、E、G.

例22【2011?新課標全國】在平面直角坐標系xQy中，已知點2(0,-1),8點在直線丁=-3

上，M點滿足蕨〃方，MA-AB=MB-BA,M點的軌跡為曲線C.

(I)求。的方程；

(II)P為C上的動點，/為。在尸點處的切線，求。點到/距離的最小值.

【解析】(I)設幽xj),由已知得B(x,-3),>1(0-1).

所以必=(-%-1,->),MB=(0,-3,-/).AB=(x,-2).

ULIXULI.LUD

再由題意可知IMA+MB\AB-0,即(-r,-4,-2j)(r,2)=0.

所以曲線C的方程為y=：/-2.

(H)設尸(和為)為曲線C：1y=(--2上一點，...yo=；x；-2,y=^x>

的斜率為;與，，直線，的方程為1y,SPxox-2y+2y0-x?=0

???。點到？的距離4」畢二知=齊二=1(點；+4+下2=)22,

Jx；+4J君+42J^+4

當%=0時取等號，...。點到/的距離的最小值為2.

【解題技巧點睛】

1.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題

的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響

的一個點、一個值，就是要求的定點、定值.化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數(shù)表

示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

2.解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函

數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系.建立

目標函數(shù)或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問

題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處

理.

針對訓練

一.選擇題

1.(2012屆微山一中高三10月考試題)

過點（5,2）,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是（）

A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0^2x-5y=0

C.x-2y-l=0D.x-2y-l=0或2x-5y=0

【答案】B

【解析】考查直線方程的截距式以及截距是0的易漏點，當直線過原點時方程為2x-5y=0,

不過原點時，可設出其截距式為2+上=1再山過點（5,2）即可解出.

a2a

2.【2012年上海市普通高等學校春季招生考試】

x2V2x2V2

已知函數(shù)q*+5-=l，G：記+上=1,則（）

（A）G與頂點相同（B）￡與。2長軸長相同

（OG與G短軸長相同⑺）G與G焦距相同

【答案】D

【解析】

C]:+=1,.'.1=12,6；=4,；.c.=8,.,.2q=45/2;

22

C2:+^-=1,a2=16也2=8,.,.c2=8,2C2=4A/2;

綜上可知兩個曲線的焦距相等。

3.【河北省唐山市2012屆高三上學期摸底考試數(shù)學】

已知點尸為圓“2+'—4x—4y+7=0上一點'且點P到有線"―V+”=°距離的最小值

為亞—1,則加的值為（）

A.-2B.2C.±V2D.±2

【答案】D

[解析】由點到直線的距離公式求得圓心（2,2）到直線x-?+加=0的距離

|2-2+w||2—2+根|/—_

d=---f=—-,所以d-尸=---7=---1=5/2-1,解得m=±2

V2V2

4.【湖北省孝感市2011—2012學年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】

已知拋物線y-=8x的焦點與雙曲線彳-，=1的?個焦點重合，則該雙曲線的離心率為

A.5魯B.孥C.D.3

【答案】B

【解析】由題意可知拋物線的焦點為（2,0）,雙曲線的一-個焦點為右焦點且為（J/+i,o）,

因兩點重合故有J/+1=2,即“2=3.且。=J/+i=2.則雙曲線的離心率為

5.【河北省唐山市2012屆高三上學期摸底考試數(shù)學】

已知雙曲線的漸近線為y=,焦點坐標為（-4,0）,（4,0）,則雙曲線方程為（）

A./—JlB.1=122D,￡上1

C.工-匕=1

824124248412

【答案】A

X2y2

【解析】由題意可設雙曲線方程為一利用已知條件可得:

a

h

二b=_力R用=7=4x2y2

a,，，雙曲線方程為上-L=l.故選A.

b2=\2412

c=4a-+〃=42

6.[2012屆景德鎮(zhèn)市高三第一次質(zhì)檢】已知點大、乃為雙曲線=1

ab

（“〉0力〉0）的左、右焦點，P為右支上一點，點尸到右準線的距離為d,若|。耳|、

|。尸2卜△依次成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率的取值范圍是

A.[2+V3,+00)B.(1,V3)C.(1,2+V3]D.[2,2+向

【答案】C

【解析】由歸用-|尸聞=24,忸￡|+6/=2歸用得2=|正月|-22

2a2而"幺Wd=必-

群（哈山=三/c-a

2

所以/一4“。+/wo,e-4e+l<0,l<e<2+V3.

7.12012北京海淀區(qū)高三年級第一學期期末試題】

點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C

的距離,那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點A的距離相等的

點的軌跡不可熊是

（）

（A）圓（B）橢圓

（C）雙曲線的一支（D）直線

【答案】D

【解析】如圖，A點為定圓的圓心，動點M為定圓半徑AP的中點,

故AM=MP,此時M的軌跡為以A圓心,半徑為AM的圓。

如圖，以FI為定圓的圓心，F(xiàn)F為其半徑，在FF截得

設冏|+|「州=］討|+|必=廠>閨川,

|MP|=|MA|,\^r,：.\MFy

由橢圓的定義可知，M的軌跡是以F|、A為焦點，

以怩4為焦距，以r為長軸的橢圓。

如圖，以&為定圓的圓心，BP為其半徑，

過P點延長使得|MP|=|MA|,則有

\MF{\-\PM\=r,：.\MFt=r<\FA\,

由雙曲線的定