金融數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案2

第一章習(xí)題答案

1.設(shè)總量函數(shù)為4(?=及+2t+3。試計(jì)算累積函數(shù)a")和第A個(gè)時(shí)段的利息

Ino

解：把&=0代入得4(0)=3于是：

a(t)=

43

力(0)

i2+2t+3

3

In=A(n)—(2?—1)

=(z?2+2n+3)—((z?-1)2+2(A—1)+3))

=2n+1

2.對(duì)以下兩種情況計(jì)算從t時(shí)刻到<n)時(shí)刻的利息：(l)Zr(O<r<

ri);(2)7r=2r(0<r<h).

解：

(1)

I-A(h)—A(t)

=In+Inj\+?,,+7Y+1

n(n+1)

2

-t(t+1)

2

(2)

I-A(ri)—A{￡)

A=i+1

Ik=

Zn

A=i+1

Ik

=2加1-2Z+1

3.已知累積函數(shù)的形式為：a(t)=+6。若0時(shí)刻投入的100元累積到3時(shí)刻

為172元，試計(jì)算：5時(shí)刻投入的100元在10時(shí)刻的終值。

第1頁

解：由題意得

a(0)=1,a(3)=

力⑶

4(0)

=1.72

0a=0.08,b=1

:.4(5)=100

4(10)=J(0)?a(10)=4(5)-a(10)

a(5)

=100X3=300.

4.分別對(duì)以下兩種總量函數(shù)計(jì)算為和八0:

(1)J(t)=100+5t;(2)A(t)=100(1+0.1)t.

解：

(1)

/5=

4⑸-4(4)

4(4)

5

120

%4.17%

no=

A(10)-4(9)

4⑼

5

145

=3.45%

(2)

75=

/⑸-4(4)

4⑷

100(1+0.1)5-100(1+0.1)4

100(1+0.1)4

=10%

ilO=

4(10)-A(9)

4(9)

100(1+0.1)10-100(1+0.1)9

100(1+0.1)9

=10%

第2頁

5.設(shè)4(4)=1000,in=0.01〃.試計(jì)算4(7)。

解：

4(7)=J(4)(1+Y5)(1+J6)(1+J7)

=1000X1.05X1.06X1.07

=1190.91

6.試計(jì)算500元經(jīng)過兩年半的累積達(dá)到615元的對(duì)應(yīng)年單利率？另外，500元以

單利率7.8%累積多少時(shí)間可以達(dá)到630元？

解：設(shè)年單利率為/

500(1+2.5。=615

解得/=9.2%

設(shè)500元需要累積6年

500(1+tX1.8%)=630

解得力=3年4個(gè)月

7.已知單利率為4%,問：經(jīng)過多少時(shí)間它對(duì)應(yīng)的實(shí)利率可以達(dá)到2.5%?

解：設(shè)經(jīng)過6年后，年利率達(dá)到2.5%

1+4%Xt=(1+2.5%)t

t?36.367

8.已知：(1+/5=%(1+i)2=Z求(1+7)11.

解：

(1+7)11=(1+I)5+2/3=XY3

9.已知600元投資兩年將產(chǎn)生利息264元(復(fù)利方式)，問：2000元以同樣的實(shí)

利率投資3年的終值。

第3頁

解：設(shè)實(shí)利率為了

600[(1+7)2-1]=264

解得/=20%

4(3)=2000(1+￡)3=3456元

10.已知：第〃年底的一個(gè)貨幣單位與第2年底的一個(gè)貨幣單位的現(xiàn)值之和為一

個(gè)貨幣單位。計(jì)算(1+D2n.

解：設(shè)實(shí)利率為了

1

(1+i)n+

1

(1+i)2n=1

解得(1+7)in=

/

5-1

2

所以(1+i)2n=(

/

5-1

2

)/2

3+

/

5

2

11.已知：500元經(jīng)過30年的投資將增為4000元，計(jì)算：分別在第20、40和60年底

投資10,000元的現(xiàn)值之和。

解：

由500X(1+7)30=4000A(1+7)30=8

于是“=

10000

(1+7)20+

10000

(1+7)40+

10000

(1+7)60

=1000X(8/2

3+8/4

3+8/2)

=3281.25

12.以同樣的實(shí)利率，1元經(jīng)過a年增為2元，2元經(jīng)過b年增為3元，3元經(jīng)過c年增

為15元。若已知6元經(jīng)過n年增為10元。試用a,b和c表示n。

第4頁

解：

(1+i)a=2(1)

(1+i)b=

3

2

(2)

(1+J)c=5(3)

(1+i)n=

5

3

(4)

(4)=>n*In(1+7)=In5—In3

(3)今In5=cXIn(1+J)

(1)X(2)nIn3=(a+6)?In(1+1)

故n-c—(a+H)

13.已知資本A在一年內(nèi)產(chǎn)生的利息量為336,產(chǎn)生的貼現(xiàn)量為300。計(jì)算A。

解：

A-i=336

A?d=300

i—d-i-d

34=2800

14.分別在單利率10%和單貼現(xiàn)率10%的條件下，計(jì)算05。

解：⑴

o5=

a(5)—a(4)

a⑸

10%

1+5X10%

=6.67%

第5頁

(2)

afl(t)=1—0.1力

，a(6-

1

1—0.11

今由二

a(5)—a(4)

a⑸

1

0.5

一1

0.6

1

0.5

=16.67%

15.試用1(3)表示d(4),用?、票硎綸,(6)。

解：

由(1+

2(3)

3

)3=(1-d(4)

4

)(/4)

?d⑷=4?[1-(1+

2(3)

3

)/3

4]

由(1+

7(6)

6

)6=(1-rf(12)

12

)(/12)

4i(6)=6?[(1—d(12)

12

)/2—1]

16.在以下兩種情況下計(jì)算100元在兩年底的終值：季結(jié)算名利率6%；每四年結(jié)

算一次的名貼現(xiàn)率為6%。

解：⑴終值為100X(1+7(4)

4)4/2=42.65元

(2)終值為100X[(1-4〃(1

4))

1

4]/2=114.71元

17.已知:“血=0.1844144和水質(zhì)=0.1802608.計(jì)算m。

解：利用1

-1

=1

逅

am=8

18.基金A以單利率10%累積，基金B(yǎng)以單貼現(xiàn)率5%累積。計(jì)算兩個(gè)基金的利息

力相等的時(shí)刻。

第6頁

解：

a4(t)=1+0.11，^A(t)=

aO

A(t)

aA(t)

0.1

1+0.It

a/1

A(t)=1—0.05t，6B(6=—(a/1

B*))0

a/1

B(t)

0.05

1-0.051

由SA{￡)=631)得

t=5

19.一年期投資的累積函數(shù)為二次多項(xiàng)式，前半年的半年名利率為5%,全年的實(shí)

利率為7%,計(jì)算(50.5。

解：依題意，累積函數(shù)為a(t)=at2+bt+1

a(0.5)=0.25a+0.5>+1=1.025

a⑴=a+6+l=1.07

a=0.04

b=0.03

于是

<50.5=

a，(0.5)

a(0.5)

=0.068

20.已知：帳戶A的累積函數(shù)為：1+。帳戶B的累積函數(shù)為：1+2t+及。計(jì)算帳

戶A的利息力超過帳戶B的利息力的時(shí)刻。

解：依題意，SA{t}=2t

1+笈，=2

1+t

由>6B(4

分2t

1+t2>

2

1+t

今t)1

21.已知季結(jié)算名貼現(xiàn)率為8%,分別對(duì)以下兩種情況計(jì)算25個(gè)月底的5000元在當(dāng)

前的現(xiàn)值：全部采用復(fù)貼現(xiàn)；在最后的不足年份內(nèi)采用單貼現(xiàn)。

解："(4)=8%,設(shè)復(fù)利下月實(shí)貼現(xiàn)率為"，單利下實(shí)利率為⑶。

全部采用復(fù)利：

(1-d)3=1-8%

2

第7頁

PV=5000(1一425=4225.25

前兩年用復(fù)利：

1-3o0=1-8%

2

PV=5000(1-^24(1一㈤)=4225.46

22.為了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，當(dāng)前選擇這樣的投資：前兩

年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季結(jié)算名利率6%,計(jì)算第3年

初投入的金額。(原來的答案有誤)

解：2(4)=6%,則？=(1+6%

4)4-1=6.14%

設(shè)第3年初投入X,以第3年初為比較日，列價(jià)值方程

2000(1+1)2+2000(1+/)+X=2000色+5000附

解得乃=504.67元

23.在一定的利率下，下面兩種付款方式等價(jià)：1)第5年底支付200元，第10年底

支付500元；2)第5年底一次性支付400.94元。另外，以同樣的利率現(xiàn)在投資100元

再加上第5年底投資120元，這些投資在第10年底的終值為只試計(jì)算A

解：對(duì)兩種付款方式，以第5年為比較日，列價(jià)值方程：

200+500為=400.94

解得內(nèi)=0.40188

所以

P=100(1+y)10+120(1+i)5=917.762

24.經(jīng)過多少時(shí)間1000元以利率6%累積的終值是利率4%累積終值的兩倍？

解：

1000(1+6%)t=2X1000(1+4%)t

解得：方=36年

25.已知年利率為8%,且第游底和2碎底投入100元的現(xiàn)值之和為100元，計(jì)

算〃。

第8頁

解：列價(jià)值方程為

100ra+100Vin-100

解得n-6.25

26.基金4以月?lián)Q算名利率12%累積；基金B(yǎng)以利息力t

6

累積，初始時(shí)刻兩基

金本金相同，計(jì)算兩基金累積額相同的下一個(gè)時(shí)刻。

解：6t=\

6t,得基金醐積累函數(shù)為

aB(t)=exp(

ft

0

6sds)=expl

t2

12

)

欲使a4(力=aB(t)貝！J

(1+

1

12

i(12))12t=exp(

t2

12

)

解得t-1.4

27.計(jì)算1000元在第15年底的終值為3000元的半年換算名利率。

解：1000(1+。15=3000

則，2)=((1+J)

1

2-1)X2=7.46%

28.已知現(xiàn)金流：當(dāng)前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在

第2年底的終值為700元。計(jì)算實(shí)利率。

解：列價(jià)值方程為

300(1+￡)2+200(1+/)+100=700

解得？=11.96%

29.已知貨幣的價(jià)值以利息力A網(wǎng)累，在十年內(nèi)增長了一倍，計(jì)算上(原來

的答案有誤)

解：=則積累函數(shù)為

a(t)=exp

ft

0

ksds=expl

k

2

⑵

由a(10)=2得650A=2

解得A=0.0139

第9頁

30.已知一個(gè)貨幣單位的本金以實(shí)利率f累積到第三年底的終值再加上第3年底的

一個(gè)貨幣單位的資本以實(shí)貼現(xiàn)率i貼現(xiàn)的的現(xiàn)值之和為2.0096,計(jì)算大

解：

(1+7)3+(1-￡)3=2.0096

解得了=0.04

31.現(xiàn)有實(shí)利率為的投資項(xiàng)目。證明：一個(gè)貨幣單位的本金在第二個(gè)計(jì)息期的利

息收入與第一個(gè)計(jì)息期的利息收入之差為。試給出這個(gè)結(jié)論的實(shí)際背景解釋。

解：一個(gè)貨幣單位在第一個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收入工第二個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收

入J+J2,故差為加,即第一期利息產(chǎn)生的利息。

32.某雜志社提供下面兩種預(yù)定雜志的方式：

A)現(xiàn)在付款15元，6個(gè)月后付款13.65元

B)現(xiàn)在一次性付款28元。

如果兩種方式無差異，計(jì)算隱含的年實(shí)利率。(將原題中的16元改成13.65元，這

樣結(jié)果更加符合實(shí)際)

解：設(shè)半年實(shí)利率為i

0,則有：

15(1+i

0

)+13.65=28(1+i

0

)

解得：i

0

=0.05故：i=(1+i

0

)2-1=0.1025

33.甲在1997年元旦借給乙1000元，要求乙按下面方式償還：分別于1998年

和1999年元旦償還100元，于2000年元旦償還1000元。在1998年元旦(正常還

款后)甲因急需資金，將剩余的償還以960元的價(jià)格轉(zhuǎn)讓給丙。如果甲乙合約的年

利率為，甲丙合約的年利率為，比較和的大小。

解：價(jià)值方程：

正常：1000=100(1+j)/l+100(1+j)/2+1000(1+j)/3

轉(zhuǎn)讓：960=100(1+Jd/1+1000(1+A)/2

解得：j=6.98%,k=7.4%

從而:/<k

34.如果常數(shù)利息力增加一倍，計(jì)算等價(jià)的年利率和年貼現(xiàn)率增加的倍數(shù)。

第10頁

解：和6等價(jià)的年利率f=eS-1,年利率變化：

e28—e3

e8—1

=e8

和6等價(jià)的年貼現(xiàn)率1-ei6=d,年貼現(xiàn)率變化：

eiS-e/26

1—ei8-ei8

35.證明：

lim

d!0

6—d

82-lim

7/0

i-6

82=

1

2

證：

lim

d!0

6-d

62=lim

6/0

6—1+e/5

82-lim

8!Q

1-ei8

26

-lim

6/0

ei3

2

1

2

lim

i!0

62-lim

6!0

e6—6—\

82=lim

6/0

eS—I

26

=lim

3!0

e8

2

1

2

36.某廠家對(duì)零售商提供兩種折扣：付現(xiàn)款可低于零售價(jià)格30%：6個(gè)月后付款，

可低于零售價(jià)格25%。如果兩種方式等價(jià)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的年利率。

解：設(shè)貨款為S半年實(shí)利率為f

0

,則有：0.7S(1+i

0

)=0.755

解得：1+i

0

=1.0714

故/=(i+y

o

)2-1=14.80%

37.令0<1,用以下三種方法計(jì)算時(shí)刻1的1元在時(shí)刻的價(jià)值：

1)在(力，1)內(nèi)單利計(jì)算；

2)復(fù)利計(jì)算；

3)單利方式：先計(jì)算它在0時(shí)刻的價(jià)值然后累積到時(shí)刻九

在相同的利率水平下試對(duì)以上三個(gè)結(jié)果比較大小。

解：1)單利方式：為1(1+(1—￡)i)=1

2)復(fù)利方式：筮(1+2)l/t=1

3)單利方式：弟=(1+ti)

l+i

由Taylor展開易證：(1+f)1/1>1+(1—t)i(1+2)t<1+it

故JI<X2,<JR

38.基金A以年利率6%累積；基金B(yǎng)以年利率8%累積。第10年底兩個(gè)基金的終值

之和為2000元，第10年底基金A為基金B(yǎng)的一半。計(jì)算第5年底兩個(gè)基金的資本之

和。(原來的答案有誤)

第11頁

解：設(shè)基金A,B的本金為A,B:

4(1+0.06)10+Ml+0.08)10=1000

4(1+0.0610)=0.056(1+0.08)10

解得：

A(1+0.06)5=498.17

Ml+0.08)5=907.44

從而5年底的累積值和=1405.61

39.已知第一年的實(shí)利率A與第二年的實(shí)貼現(xiàn)率或數(shù)值相同，第一年初的1000元

在第二年底的終值為1200元。計(jì)算八。

解：設(shè)第二年的實(shí)利率應(yīng)，由題意：八=或=i2

1+72

從而：

1000(1+71)(1+72)=1000(

1+2/2

1+12

)(1+12)=1200

解得：12=0.1,進(jìn)而=1

11

40.甲以名利率？(2)=10購得1000份100元面額的26周國債。

1)計(jì)算價(jià)格R

2)近似推導(dǎo)名利率？(2)的波動(dòng)對(duì)價(jià)格劇影響(dP

?、?；

3)當(dāng)名利率波動(dòng)一個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，近似計(jì)算價(jià)格而波動(dòng)范圍。(待查)

解：1)尸=1000X100X(1+7(2)

2)/1=95238.095

2)尸=105

1+7(2)

2

(dP

由,(2))=-2￡105

(2+*2))2

3)(/dP

力⑵

/)/

7(2)=10%=4.5351X104即波動(dòng)范圍：95238.095±453.51

41.對(duì)J>0,證明：

1)f?=(1+J

而渥必的遞增函數(shù)；

2)g(而=M(1+J)

1

m-1］是嫌遞減函數(shù)。

解：1)f

0

?=1

力(1+j

+j

血，J>0,2Z7>0,f

0

?)0

2)令y=ln(l+j)/%,則原式化為：

ey—1

y

ln(l+J)(J>0)

由Taylor展開可見上式關(guān)于砥，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得證。

42.面額100元的26周國債名收益率11.07%。證明：售價(jià)在94.767到94.771之間時(shí),

均可保持這個(gè)收益率。(題意不理解，暫無修改意見)

第12頁

第二章習(xí)題答案

1.某家庭從子女出生時(shí)開始累積大學(xué)教育費(fèi)用5萬元。如果它們前十年每年底存

款1000元，后十年每年底存款1000+才元，年利率7%。計(jì)算X。

解：S=1000s20p7%「+照10p7%r

50000—1000Mop7%「

sl0p7%651.72

2.價(jià)值10,000元的新車。購買者計(jì)劃分期付款方式：每月底還250元，期限4年。

月結(jié)算名利率18%。計(jì)算首次付款金額。

解：設(shè)首次付款為X,則有

10000=T+250a48PL5%」

解得才=1489.36

3.設(shè)有旃期期末年金，其中年金金額為口實(shí)利率了=1

n

O試計(jì)算該年金的現(xiàn)值。

解：

PV=nanpi

1—vn

1

(Z7+l)nn2—nn^2

(z?+1)Z7

4.已知：a—加=X，配一加=K,試用旃DJ表示do

解：a2Fp=a+a—p—d)n貝！J

d=1一(

Y-X

X

)

1

n

5.已知：alp=5.58238,al-lp=7.88687,al-8P=10.82760。計(jì)算九

解：

al~~Bp=a_7p+al~~IpF7

解得了=6.0%

6.證明：1

1—HO=si-Dp+al~~p

si~~Dpo

第1頁

證明：

si--0p+a0°-p

si""Dp=

(1+7)10-1

i+1

i

(1+2)10-1

1

1一vlO

7.已知：半年結(jié)算名利率6%,計(jì)算下面10年期末年金的現(xiàn)值：開始4年每半

年200元，然后減為每次100元。

解：

PV=100a8p3%「+100a20P3%「二2189.716

8.某人現(xiàn)年40歲，現(xiàn)在開始每年初在退休金帳號(hào)上存入1000元，共計(jì)25年。然

后，從65歲開始每年初領(lǐng)取一定的退休金，共計(jì)15年。設(shè)前25年的年利率為8%,

后15年的年利率7%。計(jì)算每年的退休金。

解：設(shè)每年退休金為人選擇65歲年初為比較日

1000..525P8%「=X'al5P7%

解得才二810L65

9.已知貼現(xiàn)率為10%,計(jì)算，."Bp0

解：d=10%,貝打=1

1-d

-1=1

9

a""8p=(1+2)

1—F8

i

=5.6953

10.求證：

(1)a''"Trjp=a-z2p+1-m；

(2)s''"p=sFp—1+(1+i)n

并給出兩等式的實(shí)際解釋。

證明：(l)a""~np=1-vn

d=1-vn

i

l+i

=1-vn

ji+1-vn

所以a"=a+1一5

(2)srFp-(1+2)27—1

d-(1+。〃-1

i

l+i

=(l+7)z?—1

i+(1+f)〃-1

所以a"Fp=sFjp—1+(1+i)n

第2頁

12.從1980年6月7日開始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季結(jié)算名利

率6%,計(jì)算：1)該年金在1979年9月7日的現(xiàn)值；2)該年金在1992年6月7日的終

值。

解：

PV=100a49PL5%-100a2PL5%=3256.88

AV=100549pl.5%「-100s2Pl.5%「二6959.37

13.現(xiàn)有價(jià)值相等的兩種期末年金A和B。年金A在第1一10年和第21—30年中每

年1元，在第11—20年中每年2元；年金B(yǎng)在第1—10年和第21—30年中每年付款金

額為F,在第11―20年中沒有。已知：rlO=1

2

，計(jì)算

解：因兩種年金價(jià)值相等，則有

a30pj「+alOpi_*rlO=Y530Pl.—YalOp7-1vlQ

所以F=3-W0-2m0

l+rl0-2r30=1.8

14.已知年金滿足：2元的2〃期期末年金與3元的〃期期末年金的現(xiàn)值之和為36；另

外，遞延旃的2元〃期期末年金的現(xiàn)值為6。計(jì)算九

解：由題意知，

232npf+3anpi-=36

2anpi""PT?=6

解得4=8.33%

15.已知

a-7p

al~~lp=

a-3p+

aK-p+sZ7)

o求X,Y和Z。

解：由題意得

1-vl

1—rll=

(1+i)X-z3

(1+i)Z-vY

解得

才=4,F=7,Z=4

16.化簡al-5p(1+rl5+r30),

解：

al~~5p(1+vl5+v30)=a4~~Bp

第3頁

17.計(jì)算下面年金在年初的現(xiàn)值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年結(jié)算名利率9%。

解：年金在4月1日的價(jià)值為夕=1+4.5%

4.5%

X2000=46444.44,則

PV=

P

(1+1)2+2

3

=41300.657

18.某遞延永久年金的買價(jià)為P,實(shí)利率工寫出遞延時(shí)間的表達(dá)式。

解：設(shè)遞延時(shí)間為有

P=

1

i

vt

解得力=-IniP

ln(l+j)

19.從現(xiàn)在開始每年初存入1000元，一直進(jìn)行20年。從第三十年底開始每年領(lǐng)取一

定的金額％直至永遠(yuǎn)。計(jì)算r

解：設(shè)年實(shí)利率為i,由兩年金的現(xiàn)值相等，有

1000,,a20pj『=

X

i

v29

解得1000((1+J)30-(1+J)10)

20.某人將遺產(chǎn)以永久年金的方式留給后代A、B、C、和D：前旃，A、B和C三人

平分每年的年金，〃年后所有年金由D一人繼承。如果四人的遺產(chǎn)份額的現(xiàn)值相

同。計(jì)算(1+i)n。

解：設(shè)遺產(chǎn)為1,則永久年金每年的年金為那么A,B,C得到的遺產(chǎn)的現(xiàn)值

為了

「，而D得到遺產(chǎn)的現(xiàn)值為切。由題意得

\—vn

3

=vn

所以(1+[')力=4

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分?jǐn)?，A接受第一個(gè)游，B接受第二

個(gè)碎，C接受第三個(gè)〃年，D接受所有剩余的。已知：C與A的份額之比為0.49,

求B與D的份額之比。

第4頁

解：由題意知

PVC

PVA

a-zjpv2n

a~~/jp=0.49

那么

PVB

PVD

a~~7TPvn

1

ivin

=0.61

22.1000元年利率4.5%的貸款從第五年底開始每年還貸100元，直至還清，如果最

后一次的還款大于100元。計(jì)算最后一次還款的數(shù)量和時(shí)間。

解：

100anp4.5%~"14<1000

100azH-lp4.5%r%)1000

解得〃=17

列價(jià)值方程

100al6p4.5%『+肱1=1000

解得才=146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；兩者現(xiàn)值相等。如果

以同樣的年利率計(jì)算貨幣的價(jià)值在A年內(nèi)將增加一倍，計(jì)算加

解：兩年金現(xiàn)值相等，貝!14X1336Pz,『=5x18,可知>48=0.25

由題意，(1+i)n=2解得〃=9

24.某借款人可以選擇以下兩種還貸方式：每月底還100元，5年還清；A個(gè)月后一

次還6000元。已知月結(jié)算名利率為12%,計(jì)算上

解：由題意可得方程

100a60pl%-*=6000(1+i)-k

解得a=29

25.已知a2p/~~r=1.75,求九

解：由題意得

1-v2=1.75J

解得？=9.38%

26.某人得到一萬元人壽保險(xiǎn)賠付。如果購買10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金為每年1072元。計(jì)算年利率。

解：

第5頁

27.某人在銀行中存入一萬元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半內(nèi)提前支

取，銀行將扣留提款的5%作為懲罰。已知：在第4、5、6和7年底分別取出阮，

且第十年底的余額為一萬元，計(jì)算

解：由題意可得價(jià)值方程

10000=105Aa2p4%「田+Aa2p4%「+10000H0

則＜=10000-10000rlO

10532P4%

-v3+a2p4%

「肉=979.94

28.貸款取第六個(gè)月開始分十年逐年還清。第一次的還款額為后面還款的一半，

前四年半的年利率為？，后面的利率為工計(jì)算首次付款金額般表達(dá)式。

解：選取第一次還款日為比較日，有價(jià)值方程

A1+1)

1

2=X+22a4pi+2版5p/r(1+7)-4

所以

X=

P(1+/)

1

2

1+2a4pi'+2a5pj'(1+1)-4

29.已知半年名利率為7%,計(jì)算下面年金在首次付款8年后的終值：每兩年付

款2000元，共計(jì)8次。

解：

30.計(jì)算下面十年年金的現(xiàn)值：前5年每季度初支付400元，然后增為600元。已知

年利率為12%。(缺命令)

解：

產(chǎn)夕=4X400+4X600由=11466.14

31.已知半年結(jié)算的名貼現(xiàn)率為9%,計(jì)算每半年付款600元的十年期初年金的現(xiàn)

值表達(dá)式。

解：

32.給出下面年金的現(xiàn)值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一個(gè)貨幣單位。

解：

PV=

1

s4Pz.-'324Pl.-*田=

(1+7)24-1

(1+J)27[(1+i)4-1]

a2~8p—a~^lp

s~~3p+s-Ip

第6頁

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次航的30年期末

年金代替，半年換算名利率4%,求硒表達(dá)式。

解：設(shè)年實(shí)利率為工則(1+2%)2=1+九有題意得

750

750

s20pji

解得R=1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的現(xiàn)值為125/91,計(jì)算年利率。

解：由題意知

1

1s3pf-12=

125

91

解得4=20%

35.已知：1元永久期初年金的現(xiàn)值為20,它等價(jià)于每兩年付款航的永久期初年

金，計(jì)算凡

解：由題意得

20=

1

d

R

a2pi「i

解得1.95

36.已知每半年付款500元的遞延期初年金價(jià)格為10000元。試用貼現(xiàn)率表示遞延

時(shí)間。

解：設(shè)貼現(xiàn)率為H貝U1+

2(2)

2

1

(1一◎

1

2

設(shè)遞延時(shí)間為由題意得

10000=2X500vt?.a(2)

cop「

解得”

In20+ln(l一(1一中

1

2)

ln(l-d)

37.計(jì)算:3a(2)

np^二2a⑵

2np-1=45s(2)

lp,計(jì)算i。

解：

3X1

j(2)anpi=2Xj

12an^i-=45X7

i2sip?「

解得：vn=

1

2

，i=

1

30

第7頁

38.已知1(4)=16%。計(jì)算以下期初年金的現(xiàn)值：現(xiàn)在開始每4個(gè)月付款1元,

共12年。(問題)

解：

39.已知：31=1

1+t

o求a>jp的表達(dá)式。

解：

「np=

fn

0

Rt

0Ssdsdt=ln(l+n)

40.已知一年內(nèi)的連續(xù)年金函數(shù)為常數(shù)L計(jì)算時(shí)刻力使得只要在該時(shí)刻一次性支

付一個(gè)貨幣單位，則兩種年金的現(xiàn)值相等。

解：第一種年金的現(xiàn)值為J1

0

vtdt=

1-e—8

6

第二種年金的現(xiàn)值為e-6匕，則

1—e—6

8

6t

所以6=1+1

SInS

i

41.已知：6=0.08?計(jì)算從現(xiàn)在開始每個(gè)季度初存入100元的20年期初年金的現(xiàn)

值。(結(jié)果和李凌飛的不同)

解：設(shè)季度實(shí)利率為九因a(t)=eSt,貝h

1

46=(1+j)所以

PV=100"a80piF100(1+i)

1-閑0

i

=4030.53

42.現(xiàn)有金額為40,000元的基金以4%的速度連續(xù)累積。同時(shí)每年以2400元的固定

速連續(xù)地從基金中取錢，該基金可以維持多少時(shí)間？

解：設(shè)年實(shí)利率為i,貝萬=e6-1

設(shè)基金可維持存，由兩現(xiàn)值相等得

40000=2400atpi「

解得寸=28

第8頁

43.已知某永久期末年金的金額為：1,3,5,...。另外，第6次和第7次付款的現(xiàn)值

相等，計(jì)算該永久年金的現(xiàn)值。

解：由題意：11

(1+7)6=13

(1+/)7

=>i=2

11

PV=v+,+(2/7—1)EO+,??

=r[l+PK+2(r+v2+???)]

=+PV+2v

1—r)

解得:P0=66

44.給出現(xiàn)值表達(dá)式及一加+8(而”/所代表的年金序列。用這種表達(dá)式給出如

下25年遞減年金的現(xiàn)值：首次100元，然后每次減少3元。

解：年金序列：A+nB,A+(〃-1)比...+2B,A+B

所求為25a2-5p+3(〃a)25/

45.某期末年金(半年一次)為：800,750,700,,350?已知半年結(jié)算名利率

為16%。若記：A=al0p8%,試用4表示這個(gè)年金的現(xiàn)值。

解：考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減，故有：

300al0p8%-7+500(%)10/8%=3004+

2X(10-A)

7(2)=6250-3254

46.年利率8%的十年儲(chǔ)蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年遞增5%。計(jì)算第

十年底的余額。

解：由題意：

JK=1000s5p8%(i+8%)6+(1000X1.05X1.085+

1000X1.052X1.084+???+1000X1.055X1.08)

=1000

(1+8%)5—1

8%

1.086+1000X1.05X1.0851-(L05

1.08)5

1-1.05

1.08

=16606.72

47.已知永久年金的方式為：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年

底各300元，依此類推。證明其現(xiàn)值為：

100

v4

i—vd

第9頁

解：把年金分解成：從第5年開始的100元永久年金，從第7年開始的100元永久

年金???o從而

"二必100

i

1

a2pir

1

i

=100H1

i

1

1一組二100

v4

i-vd

48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

證明其現(xiàn)值為：

1600a**l-Dp(/⑷a")⑷

1/元

證：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=\,R=100M=1600

從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：

1600(7(4)"a)(4)

1/元

再貼現(xiàn)到開始時(shí)：

1600a"1-0p(Z(4)a")(4)

1/元

49.從現(xiàn)在開始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利

率8%,計(jì)算現(xiàn)值。

解：半年的實(shí)利率：J=(1+8%)

1

2-1=3.923%

"=1+

1.03

1+J

+

1.032

(1+J)2+???

=(1-1.03

1+J

)-1

=112.59

50.某人為其子女提供如下的大學(xué)費(fèi)用：每年的前9個(gè)月每月初500元，共計(jì)4年。

證明當(dāng)前的準(zhǔn)備金為：

6000a"-4pa"(12)

9/12/

證：首先把9個(gè)月的支付貼現(xiàn)到年初：m=12,n=9/42,R=500卬=6000從而

每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：

6000"a(12)

9/12/

貼現(xiàn)到當(dāng)前：

6000a"Fpa"(12)

9/12/

第10頁

51.現(xiàn)有如下的永久年金：第一個(gè)A年每年底還；第二個(gè)A年每年底還2月；第三

個(gè)k年每年底還3R；依此類推。給出現(xiàn)值表達(dá)式。

解：把此年金看成從第威年開始的每年為碘永久年金5=0,1,2,???):

每個(gè)年金的值為

Ra00-p

在分散在每個(gè)陣的區(qū)段里：

Ra0°l

ak/

再按標(biāo)準(zhǔn)永久年金求現(xiàn)值：

ak/

52.才表示首次付款從第二年底開始的標(biāo)準(zhǔn)永久年金的現(xiàn)值，20裱示首次付款

從第三年底開始的永久年金：1,2,3,?的現(xiàn)值。計(jì)算貼現(xiàn)率。

解：由題意：

X=1

i

1

1+2

20Z=(1

i+1

12)1

(l+i)2

解得：i=0.05

即：d-i

1+1=0.04762

53.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，血=0.75,計(jì)算現(xiàn)值。與原答

案有出入

解：(期初年金)

PV=1+6v4+11P9+???二

S8

1=1

(5/7—4)v(4〃-4)二

5

(1一網(wǎng))2

-4

1一網(wǎng)二64

(期末年金)

P.?夕=v+6由+11曰0+???二v?PV=59.5587

54.永久連續(xù)年金的年金函數(shù)為：(1+吩3年利率九如果：0<k<i,計(jì)算該年

金現(xiàn)值。與原答案有出入

解：由于0<k<i,故下列廣義積分收斂：

PV=

f8

0

(1+A)te-8tdt-

f8

0

(

1+k

1+i

)tdt-

1

ln(l+i)—ln(l+Id

第11頁

55.遞延一年的13年連續(xù)年金的年金函數(shù)為笈-1,利息力為(1+￡)—1,計(jì)算該年

金現(xiàn)值。與原答案有出入

解：

PV=exp(一

f1

0

1

1+t

dt)

f14

1

(笈一1)exp(-

ft—1

0

1

1+s

ds)dt=47.43

56.給出下列符號(hào)的表達(dá)式:

t=l

(la)t1和

t=l

(臉t/

解：由(為〃表達(dá)式有：

t=l

(la)t1=

Sz?

t=l

a"-7p—tvt

i

1

i

t=l

a：Zp-1

i

2

t=l

ntvt

1

12

t=l

[(1+2)—1]—1

(Ia)n/展開求和即得

1

12[/7(1+1)—2a""Top+nvri\

由(%)〃表達(dá)式有：

2/7

t=l

3)t/-

S/7

t=l

t-a-7卬

i

1

i

t=l

t一

S

t=l

n

1-vt

1

i

n[n+1)

2

一1

12(n-a-p)

2n(n+1)-n+a^np

12

57.現(xiàn)有兩種永久年金：A—金額為詢固定期末年金；B—金額為q,2q,3。???的

遞增期末年金。分別對(duì)兩種年金的現(xiàn)值之差為0和得到極大兩種情況計(jì)算年利

率。

第12頁

解：年金現(xiàn)值分別為：

PVA-pa0°^i-7=

P

PVB=q{Ia)8/=

Q

a

i2

(1)當(dāng)尸"=尸勿時(shí)有:

ip=iq'q

解得：

i=Q

P-Q,P>q

■/不存在，pWq

⑵令f(i)=P

i

一q

i

-q

i2

f

0

(。二一P

i2+

q

i2+2

q

73=0

解得：i=2q

p-QP>Q

58.某零件的使用壽命為9年，單位售價(jià)為2元；另一種產(chǎn)品，使用壽命15年，單

價(jià)增加尤如果某人需要35年的使用期，假定在此期間兩種產(chǎn)品的價(jià)格均以年

增蝴的幅度增加，要使兩種產(chǎn)品無差異的物多少？(缺少利率?下面的計(jì)算年利

率/=5%)(與原答案有出入)

解：用9年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：

PH=2X[1+(

1.04

1.05

)9+(

1.04

1.05

)18+(

1.04

1.05

)27]

用15年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：

P以=(2+乃X[1+(

1.04

1.05

)15+(

1.04

1.05

)30]

由PH=2以有：X=0.6992

59.計(jì)算⑷+墀的標(biāo)準(zhǔn)期末年金的終值。已知：前流年利率7%,后游年利

率11%,s磔7%34,snpll%128,

解：由sF的表達(dá)式有：(1+0.11)/2=0.ll5npll%1

AV=s磔7%「X(1+0.11)/7+s/2pU%「

=smp7%~7X(0.llsnpll%+1)+snpll%」

=640.72

第13頁

60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，兩種股票都是每股10元。A股票每

年底每股分得紅利0.40元，共計(jì)10年，在第10次分紅后，甲以每股2元的價(jià)格將所

有的股票出售，假設(shè)甲以年利率6蝴紅利收入和股票出售的收入進(jìn)行投資。B股

票在前10年沒有紅利收入，從第11年底開始每年每股分得紅利0.80元，如果乙也

是以年利率6%進(jìn)行投資，并且在墀后出售其股票。為了使甲乙在乙的股票出售

時(shí)刻的累積收入相同，分別對(duì)〃=15,20兩種情況計(jì)算乙的股票出售價(jià)格。

解：設(shè)新買價(jià)，有價(jià)值方程：

0.4sl0p6%『+2=0.8s^-10/6%+T(1+0.06)-(/?-10)

從而有：

(0.4sl0p6%^+2-0.8OT-10/6%)(1+0.06)(n-10)

解得：X=

5.22n=15

2.48n=20

61.某獎(jiǎng)學(xué)金從1990年元旦開始以十萬元啟動(dòng)，每年的6月30日和12月31日用半

年結(jié)算名利率8%結(jié)算利息。另外，從1991年元旦開始每年初可以固定地收到捐

款5000元。(從1991年的7月開始？)每年的7月1日要提供總額為一萬二千元的獎(jiǎng)

金。計(jì)算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余額。

解：由題意：

AV=100000(1+4%)20+5000

1520P4%r

52P4%f

-12000(1+4%)

520P4%「

Mp4%二109926.021

62.已知貸款L經(jīng)過N(偶數(shù))次、每次阮還清，利率了。如果將還貸款次數(shù)減少

一半，記每次的還款為加，試比較總與24的大小。

解：由題意：

Klampi'=Ka2njpiKI=Ml+

1

(1+i)m\<2K

63.已知貸款L經(jīng)過N次、每次阮還清，利率/。如果將每次的還款額增加一倍,

比較新的還款次數(shù)與N/2的大小。

解：由題意：

2KaM^i_1=KaN^ivM-

1+vN

2

>v

N

2

即：M<N/L

第14頁

64.從1990年的元旦開始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%,問:

什么時(shí)刻，余額首次超過一萬元、十萬元。

解：半年實(shí)利率：/=(1+6%)1%-1=2.9563%余額首次超過撤時(shí)刻：

500"s2z?/y

NX

從而解得：n=

8X=10000

35X=100000

65.帳戶A從1985年元旦開始每年初存款1000元，共計(jì)10年；帳戶B從1985年元旦

開始每年初存款500元；兩帳戶年利率均為5%。問：何時(shí)帳戶B的余額首次超過帳

戶A。

解：由題意，設(shè)所求時(shí)間為〃：

1000,,al0p5%rW500"anp5%『

解得：n-130故在2015年的元旦B超過A。

66.已知/=snli,B=s^l/人用A和B給出麗z.的表達(dá)式。

解：由=(1+7)/7-1

i

得：(1+i)A=B-1

從而［'=B—A—1

A

帶入s〃/i'=橢得：n=

ln(加

BL-A-X

+1)

InU-l

A)

67.分別對(duì)以下三種情況給出］.的表達(dá)式：

1)A=anpi,B-snpi

2)4=anpi「，B=^2npi「

3)J=anpi「，B=s2z?p7「

解：l)Bvn=A=>i=n

V

B

A

一1

2)ia-np+

&nj

anj=2=>i-2

A

一B

A2

3)v2nB=J+vnA=>i-n

V

2B

A+

J

A2+4AB

一1

68.對(duì)于固定的〃和。且2)〃，證明：L=aF在T</<1上有唯一解。

第15頁

證：(斯圖姆判別？)考慮如下現(xiàn)金流：初始時(shí)刻投入乙而后的旃每年末得到回

報(bào)1,從而此投資的內(nèi)部收益率［滿足

L=anpi

由于現(xiàn)金流只改變一次方向，從而由笛卡兒符號(hào)法則有，在-1</<1,有

唯一的內(nèi)部收益率。

69.證明：(I垃npi+(Da)ni=(〃+l)azzp2；s9lpf二i{Is)n^i+(〃+1)。并給出實(shí)

際

背景解釋。

證：1)實(shí)際意義：現(xiàn)金流拆分(〃+1),5+1),???,5+1)今

n,n-???,1

1,2,?,?,〃

(7a)z2p7+{Da)ni=

a''~~-nvn

i

+

n-a-'7jp

i

a--np(i-d

d)+27(1—vn)

i

-(n+l)a-Top

2)實(shí)際意義：終值是本金E+1)和利息利滾利i(/S)Z2pf的結(jié)果：

i(Is)npi+(n+1)=i

s加1/—(A+1)

i

+(/?+1)

=SZ7+-1/

70.當(dāng)1>Q,n>0時(shí)，有：

(7a)npi<[(/?+1)/2]anp?'<{Da)npi

證：由69題有：[(Ta)npi+(Aa)np/|/2=(z?+l)anp7-7/2從而，只要證：

(7a)npi<(Da)npi(*)

注意到：(臉npi—{la)npi今30—(〃-3),,?,,一(〃-3),-(/?—1)這年

金

前后對(duì)稱，而后面的貼現(xiàn)因子比較大，從而有(*)成立。

71.某雇員在退休前的第37年參加企業(yè)養(yǎng)老金計(jì)劃，當(dāng)時(shí)年收入為18,000元，然后

每年以4%的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中進(jìn)行)。1)分別對(duì)以下兩種退

休金方式計(jì)算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金為工作期間年

平均工資的70%；年退休金為年平均工資的2.5%再乘以工作年限。

2)如果企業(yè)和個(gè)人分別將年工資的3%存入年利率6%的養(yǎng)老基金，試對(duì)以上兩種

退休金方式計(jì)算退休金的領(lǐng)取年限。

第16頁

解：1)平均工資：$=18000(1+1.04+???+1.0436)/37=39747.04

退休前一年的工資：18000X(1+0.04)36=73870.79

法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例為：37.66%

法二：年退休金：0.25/X37=36766.01,比例為：49.77%

2)企業(yè)和個(gè)人各存3%則一共存6%,從而這筆基金的終值為：

P=18000X6%X

￡36

夕0

(1+4%)t(l+6%)36T=235871.7

設(shè)年退休金為此則有：

R”anp6%rW尸

解得：n=

12第一種方式

8第二種方式

72.已知永久期初年金為：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此

類推；第湃:初1+2+???+n元。證明該年金的現(xiàn)值為：”a8P(/"a)0°p。

解：進(jìn)行現(xiàn)金流拆分：從第一年出發(fā)的一份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，從第二年出發(fā)的兩

份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，???，從第旃出發(fā)的期標(biāo)準(zhǔn)永久年金???。分別求各個(gè)子

現(xiàn)金流的現(xiàn)值得到如下的現(xiàn)金流：

**a°°^,2**a0°p,■?■,n"a0°^,■■■

其現(xiàn)值即為原年金的現(xiàn)值："aepCTa)8p。

73.已知連續(xù)年金函數(shù)為f(t),0時(shí)刻的年金為風(fēng)，利息力6,如果用戶俵示時(shí)刻t的

年金終值，證明：

dFt

dt

=6Ft+f(t)

證：由定義

Ft=

ft

0

f{s}e(t—s)Sds-et8

ft

0

f(s)e—s)8ds

AFt

dt

=6e6t

ft

0

f{s}e—8sds+At)=SFt+f(t)

74.A從B處借得10,000元，年利率4%,計(jì)劃分40次按季度等額償還。在第6年

底，B希望立即收回所有借款，因此將今后接受還款的權(quán)利轉(zhuǎn)賣給C,轉(zhuǎn)賣價(jià)格

使C今后幾年的年收益率將達(dá)到6%,計(jì)算轉(zhuǎn)賣價(jià)格。

第17頁

解：A從B借款：季度實(shí)利率為了=(1+0.04)1A~1

10000=TMOpi

B把后16次的還款賣給C：季度實(shí)利率為：/

0

=(1+0.06)1/4-1

P=ReAQ/i

0=10000

a40/7

0

a40p7~T

解得：P=4303.1,

75.現(xiàn)有兩種年收益率相同的投資選擇：A—第5年底收益800元，第10年底收

益100元；B—10年間每年底收益100元。如果投資A的成本為425元，計(jì)算投資B的

成本。

解：投資A的價(jià)值方程：

G4=425=800芯+100rlO3由=0.5

投資B的價(jià)值方程：

CB=lOOal-Dp=100

1-710

i

=504.38

76.已知：a-5p=3.982,alDp=6.680,al-5p=8.507,計(jì)算利率了(有必要給出

al~-5p=

8.507嗎？)o

解:由a。的表達(dá)式易見：

v5=

alQ/

a5/

一］今a一5p=

2一alOj

a5j

i

解得：

i=

2

a5/

alO/

a2

5/

=0.081

77.某人有3700元的借款，今后在每月初還款325元，問：在一年內(nèi)還清借款的可

接受年利率為多少？

解：由題意：

325,,a12Pz,「=3700

解得：7=(1+0.00972)12-1=12.31%

第18頁

78.永久年金A有如下的年金方式：1,1,1,2,2,2,3,3,3,???；永久年金B(yǎng)

有如下的

年金方式：K,K,2K,2K,3K,3K,???。如果兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，計(jì)算《。

解：現(xiàn)金流拆分：

1,1,1,2,2,2,3,3,3,???今

1,1,1,1,1,1,1,1,1,???

0,0,0,1,1,1,1,1,1,

0,0,0,0,0,0,1,1,1,???

o1

i,0,0,1

i,0,0,???

由此方式A的現(xiàn)值為：PV=1

i+1

/v3+1

['團(tuán)+?,,=1

i(1

l-r3)

同理方式B的現(xiàn)值為：PV=K

i(1

l-r2)

解得：K-a_2p[a_Bp)—1

79.永久年金的年金方式為：1,1,2,1,1,3,1,1,4,???。每年底支付，假

定年實(shí)利

率5%,計(jì)算現(xiàn)值。

解：現(xiàn)金流拆分：

1,1,2,1,1,3,1,1,4,???

1,1,1,1,1,1,1,1,1,???(4)

0,0,1,0,0,2,0,0,3,???(而

現(xiàn)金流A的現(xiàn)值：PVl=1

i

現(xiàn)金流B的現(xiàn)值：PV2=龍+2團(tuán)+,,,=v3(l—v3)—2

求和得到：PV=66.