2017屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1部分專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)必考點文

專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

必考點一函數(shù)概念與性質(zhì)

［高考預(yù)測］——運籌帷幄

1.根據(jù)函數(shù)解析式求解函數(shù)的定義域或值域.

2.考查分段函數(shù)的求值或已知函數(shù)值求自變量取值等.

3.考查函數(shù)的性質(zhì)的判定及應(yīng)用.

［速解必備］——決勝千里

1.有關(guān)函數(shù)的奇偶性問題

⑴若f(x)是奇函數(shù)，且x=0有意義時，貝H(0)=0;

(2)奇x奇二偶，偶x偶二偶，奇x偶二奇，奇+奇二奇，偶+

偶二偶.

2.有關(guān)函數(shù)的對稱性問題

(1)若函數(shù)丫=1:僅)滿足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),

則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

⑵若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線

a+b

x二^^對稱.

2

⑶若f(x+a)為奇函數(shù)nf(x)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱；

若f(x+a)為偶函數(shù)nf(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

3.有關(guān)函數(shù)的周期性問題

(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(a*b),則

函數(shù)y=f(x)必是周期函數(shù)，且一個周期為T=2|a-b|;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個對稱中心A(a,O),

B(b,O)(a*b)，則函數(shù)y=f(x)必是周期函數(shù)，且一個周期為T

=2|a-b|;

(3)如果函數(shù)y=f(x)的圖象有一個對稱中心A(a,c)和一條對

稱軸x=b(a±b),則函數(shù)y=f(x)必是周期函數(shù)，且一個周期

為T=4|a-b|.

(4)若函數(shù)f(x)滿足-f(x)=f(a+x),則f(x)是周期為2a的周

期函數(shù)；

1

⑸若f(x+a)=f(a*0)恒成立，則T=2a;

TX

1

(6)若f(x+a)=--一(a*0)恒成立，貝ijT=2a.

TX

［速解方略］——不拘一格

類型一函數(shù)表示及定義域、值域

[例1](1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)，則函數(shù)f(2x+1)

的定義域為()

(r

A.(-1,1)B.-1,--

fl)

C.(-1,0)D-,1

1

解析：基本法：由已知得-1<2x+1<0，解得-1<x<--,

(r

所以函數(shù)f(2x+1)的定義域為-1,,選B.

答案：B

錯誤！

[1+Iog22-x,x<1,

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=\貝ijf(-2)+

2x-i,x>1,

f(log212)=()

A.3B.6

C.9D.12

解析：基本法:-2<1,.\f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;

\log2i2>1,/.f(log2l2)=2log2l2-1=2log26=6.

.\f(-2)+f(log212)=9.

速解法：由f(-2)=3,.葉(-2)+杷。9212)>3排除人.

由于啕212>1,要用f(x)=2x-i計算,則f(log2l2)為偶數(shù),

.葉(-2)+f(log2l2)為奇數(shù),只能選C.

答案：C

方略點評：1.基本法分段求值.是分段函數(shù)的正向求值的一

般思路：速解法是巧用了結(jié)果的特征排除答案.

2.求函數(shù)f[g(x)]的定義域問題，要注意g(x)的整體思想的應(yīng)

用.

3.對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確

地找出利用哪一段求解.

?自我挑戰(zhàn))

1.(2016?高考全國甲卷)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別

與函數(shù)y=10igx的定義域和值域相同的是()

A.y=xB.y=lgx

1

C.y=2XD.y=~j=

解析：根據(jù)函數(shù)解析式特征求函數(shù)的定義域、值域.

函數(shù)y=10igx的定義域與值域均為(0,+8).

函數(shù)y=x的定義域與值域均為(-oo,+oo).

函數(shù)y=lgx的定義域為(0,+℃),值域為(…，+8).

函數(shù)y=的定義域為(-8,+8),值域為(0,+8).

1

函數(shù)y二一廠的定義域與值域均為(0,+oo).故選D.

答案：D

J3x-b,x<1,

2.設(shè)函數(shù)f(x)=若ff=4,則b二

2X,x>1.

7

A.1B.-

8

31

C._D-

42

55

解析：基本法=3x--b=--b,

62

53/5

當(dāng)--b>1,即達(dá)一時，f-b=2--b,

222

551

HP2--b=4=22,得至-b=2,HPb=~;

53(51515

當(dāng)二-bv1，即b>二時，f]b=--3b-b=--

222J2

1573

即金-4b=4,得至!Jb=~<-,舍去.

1

綜上，b=&,故選D.

答案：D

類型二函數(shù)的奇偶性對稱性

[例2](1)若函數(shù)f(x)=xln(x+y^3^)為偶函數(shù)，則a

解析:基本法:由已知得f(?X)=f(x),

即-xln(Aja+x2-x)=xln(x+\ja+x2),貝Uln(x+yja+x2)

+ln(^a+x2-x)=0,

.,.ln[(Aja+x2)2-x2]=0,WIna=0,

:.a=1.

速解法：根據(jù)“奇x奇二偶”，設(shè)g(x)=ln(x+3二為奇函

數(shù)即可.

又:g(0)=0,/.In^Ja=0,/.a=1.

答案：1

方略點評：基本法是根據(jù)偶函數(shù)的定義f-x二fx待

定a.速解法是根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的特殊結(jié)論快速求解.

⑵設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)

是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)

B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

解析:基本法:由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

對于選項A,f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x),所以f(x)g(x)是奇函

數(shù)，故A項錯誤;對于選項B.|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=

|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，故B項錯誤;對于選項C,

f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C

項正確;對于選項D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,

所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項錯誤，選C.

速解法:y=f(x)是奇函數(shù)，則y=|f(x)|為偶函數(shù).

故f(x)g(x)=奇，A錯，|f(x)|g(x)=偶，B錯.

f(x)|g(x)|二奇，C正確.

答案：C

方略點評：1.函數(shù)奇偶性判定主要有①定義法，②圖象法，

③特殊結(jié)論.要注意定義域必須關(guān)于原點對稱.

2.此題基本法利用的是定義法，速解法利用的是特殊結(jié)論.

?自我挑戰(zhàn))

1.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a,a](a>0)上的奇函數(shù)，

若g(x)=f(x)+2016則g(x)的最大值與最小值之和為()

A.0B.1

C.2016D.4032

解析：基本法：函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a,a](a>0)上的奇

函數(shù)，則f(X)最小值與最大值的關(guān)系為f(X)min=-f(X)max,所

以g(x)min—f(x)min+2016,g(X)max=f(X)max+2016,則

g(x)max+g(x)min=0+2016+2016=4032.故選D.

速解法：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對

稱.而g(x)=f(x)+2016的圖象是由f(x)的圖象向上平移2

016個單位長度得到的，故g(x)的圖象關(guān)于點(0,2016)對

_gXmax+gXmin

稱,所以—二2016,HPg(X)max+g(X)min

二4032?故選D.

答案：D

2.已知f(x)、g(x)是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)

=x3+x2+1,f(1)+g(1)=()

A.-3B.-1

C.1D.3

解析：基本法：把x=-1代入已知，得f(-1)-g(-1)=1,

所以f(1)+g(1)=1.

答案：C

類型三函數(shù)單調(diào)性、周期性與對稱性的

綜合應(yīng)用

[例3]⑴偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱f(3)=3,

則f(-1)=.

解析：基本法：?.?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，.二

f(2+x)=f(2-x)對任意x恒成立，

令x=1,得f(1)=f⑶=3,

?葉(-1)=f(1)=3.

速解法：由題意y=f(x)的圖象關(guān)于x=0和x=2對稱，則周

期T=4.

.-.f(-1)=f(-1+4)=f(3)=3.

答案：3

方略點評：基本法是利用函數(shù)關(guān)于x=a對稱，貝Ufa+x

=fa-x的性質(zhì)計算.速解法是利用了周期性，可快速求

解.

(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+00)

1

上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(log2a)+f(log5a)《2f(1),則a

的取值范圍是()

(f

A.[1,2]B.^0,-

C.-,2D.(0,2]

1

解析：基本法：,.fflog-a)=f(-log2a)=f(log2a),

，原不等式可化為f(log2a)<f(1).又：f(x)在區(qū)間[0,+8)上單

調(diào)遞增,.-.0<log2a<1,即1<a<2.

,.f(x)是偶函數(shù),.\f(log2a)<f(-1).又f(x)在區(qū)間(-oo,0]上單

1

調(diào)遞減，，-1<log2a<0,.,-<a<1.

1

綜上可知-wa<2.

2

速解法：當(dāng)a=2時，log2a=1,lo§ia=-1，原不等式為f(1)

+f(-1)<2f(1),即2f⑴42f⑴成立,排除B.

1

當(dāng)a二金時，原不等式為f(-1)+f(1)k2f⑴成立，排除A.

1

當(dāng)a=］時，原不等式為f(-2)+f⑵工2f⑴，

即f(2閆⑴與f(x)為增函數(shù)矛盾，排除D.

答案：C

方略點評：1.基本法是利用單調(diào)性化簡不等式.速解法是特

例檢驗法.

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一樣.常用的方

法有：

(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)

合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)

性定義確定單調(diào)區(qū)間.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給

出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性寫出它

的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間.

3.若函數(shù)f(x)在定義域上(或某一區(qū)間上)是增函數(shù)，則

f(Xl)<f(X2)=Xl<X2.利用上式，可以去掉抽象函數(shù)的符號，將

函數(shù)不等式(或方程)的求解化為一般不等式(或方程)的求解，

但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.

。自我挑戰(zhàn))

1.(2016?高考四川卷)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2

'5、

的奇函數(shù)，當(dāng)0vxv1時，f(x)=4x,則f-金+f(2)=

解析：根據(jù)周期函數(shù)及奇函數(shù)的定義求解.

，5)/r

?「f(x)是周期為2的奇函數(shù)，，f--=f--

1

一19=-42=-2,f⑵=f(0):0,

r5]

.-.f--+f(2)=-2+0=-2.

答案：-2

[axx<0,

2.已知函數(shù)f(x)=滿足對任意

|a-3x+4ax>0

fX1-fX2

x件X2,都有---------------<0成立，則a的取值范圍是

X1-X2

fX1-fX2

解析：基本法：因為對任意X件X2,都有---------------<0

X1-X2

0<a<1,

成立，所以f(x)是減函數(shù)所以"-3v0,解

Va°>a-3x0+4a,*1

1ri-

得0vaw二，即ae0,二

44

答案：

［終極提升］——登高博見

選擇題、填空題的解法概念辨析法

概念辨析法是從題設(shè)條件出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)概

念的辨析，進(jìn)行少量運算或推理，直接選擇出

正確結(jié)論的方法.這類題目一般是給出一個創(chuàng)

新定義，或涉及一些似是而非、容易混淆的概

方法詮釋

念或性質(zhì)，需要考生在平時注意辨析有關(guān)概

念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延，同時在

審題時多加小心.

運用此方法，要準(zhǔn)確把握定義的含義，把從定

運用技巧義和題目中獲取的信息進(jìn)行有效整合，并轉(zhuǎn)化

為熟悉的知識加以解決.

限時速解訓(xùn)練五函數(shù)概念與性質(zhì)

(建議用時40分鐘)

一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的)

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)

是()

A.y=x3B.y=|x|+1

C.y=-x2+1D.y=2-bi

解析：選B.y=x3是奇函數(shù)，y=-x2+1和y=2-岡在(0,+

⑹上都是減函數(shù)，故選B.

2.若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象的對

稱軸方程是()

A.x=1B.x=-1

C.x=2D.x=-2

解析：選A./f(2x+1)是偶函數(shù),/.f(2x+1)=f(-2x+1)=>f(x)

=f(2-x)，.葉(x)圖象的對稱軸為直線x=1.

3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y=^xB.y=|sinx|

C.y=cosxD.y=ex-e-x

解析：選D.因為函數(shù)丫=/的定義域為[0,+8),不關(guān)于原

點對稱，所以函數(shù)y二必為非奇非偶函數(shù)，排除A;因為y

=|sinx|為偶函數(shù)，所以排除B;因為y=cosx為偶函數(shù)，

所以排除C;因為y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex

-e-x)=-f(x),所以函數(shù)丫=6*-e-x為奇函數(shù)，故選D.

3,x〈0,

4.已知函數(shù)f(x)=1貝ijf(2016)=

[fx-1+1,x>0,

()

4029

A.2014B.-------

2

4035

C.2015D.-------

2

解析：選D.利用函數(shù)解析式求解.f(2016)=f(2015)+1;…

4035

=f(0)+2016=f(-1)+2017=2-1+2017=-^—,故選

D.

5.已知f(x)是R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x

e(0,2)時，f(x)=2x2+3,則f(7)=()

A.-5B.5

C.-101D.101

解析:選A.f(x+2)=-f(x)，令x=x+2,有f(x+4)=-f(x

+2)=f(x),知函數(shù)的周期是4;再令x二1,有f(3)=-f(1),

而*1)=5,故f⑺=f(3)=-f(1)=-5.

6.已知f(x)=3ax2+bx-5a+b是偶函數(shù)，且其定義域為[6a

-1,a],則a+b=()

1

A-B.-1

7

C.1D.7

解析：選A.:f(x)為偶函數(shù),/.b=0.定義域為［6a-1,a］則6a

11

-1+a=0,:.a=~,:.a+b=~.

77

2X+1

7.若函數(shù)f(x)二；一是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取

2X-a

值范圍為()

A.(-g,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+動

2-x+12X+1

解析:選C.f(-x)=";-，由f(-x)=-f(x)得

2-x-a1-a-2x

2X+12X+1

------=-------,即1-a2=-2x+a，化簡得a-(1+2勺

1-a-2x2X-a

2X+1

=1+2x,所以a=1,f(x)=——

-I

由f(x)>3得故選C.

8.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知XG(0,1)

1

時，f(x)=log-(1-x),則函數(shù)f(x)在(1,2)上()

A.是增函數(shù)且f(x)<0

B.是增函數(shù)且f(x)>0

C.是減函數(shù)且f(x)<0

D.是減函數(shù)且f(x)>0

1

解析:選D.設(shè)-1vx<0,貝I」0v-x<1,f(-x)=log-(1+

x)=f(x)>0,故函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,又因為f(x)

以2為周期，所以函數(shù)f(x)在(1,2)上也單調(diào)遞減且有f(x)>

0.

x2+x+12

9.已知函數(shù)f(x)=2若f(a).,則f(-a)=()

X+13

22

ArB.--

33

44

C-D.--

33

x2+x+1x

解析：選c.f(x)=————=1，設(shè)怵=1+g(x),

X2+1X2+1

X

即g(x)=~―-=f(x)-1.g(x)為奇函數(shù)，滿足g(-x)=-

X+I

211

g(x).由f(a)=",得g(a)=f(a)-1=-%，貝4g(-a)二%，故

14

f(-a)=1+g(-a)=1+-=-

10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)=-1,且

對任意xeR有f(x);-f(2-x)成立則f(2017)的值為()

A.1B.-1

C.0D.2

解析：選C.由題知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=

-f(2-x)，可知函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù).令x=1得，

f(1)=-f(2-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2017)=

f(4x504+1)=f(1)=0,故選C.

11.設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=f(x+

’3、

1)是偶函數(shù)，且當(dāng)XN1時，f(X)=-X-1，則f//

的大小關(guān)系是()

(2\3

A.f~>f

⑶A3

解析：選A.函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)，f(-x+1)=f(x

+1),即函數(shù)關(guān)于x=1對稱.

⑵⑷⑴⑸

所以fT=fT,fT=f',

當(dāng)X>1時，f(X)=-X-1單調(diào)遞減,

435

所以由二,可得

323

⑶,

2I§

即f/>f,故選A.

2

12.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-oo,0］上單調(diào)遞減，則滿足f(2x

8

-1)<f-的x的取值范圍是()

W

fl2、12、

A.一B.

3

fl2、12)

C2D.i

2

解析：選A.由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞

減信函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，于是將不等式f(2x

-1)</轉(zhuǎn)化為f(|2x-1|)<f|：；.根據(jù)單調(diào)性，知

0|2x-

112

力解得，x<-,故選A.

二、填空題(把答案填在題中橫線上)

13.函數(shù)y=12-x+lgx的定義域是

2-x>0,

解析：由得0<xW2.因此，函數(shù)y=2-x+lg

x>0

x的定義域是(0,2］.

答案：(0,2]

a-x

14.已知函數(shù)f(x)=--------;的圖象的對稱中心是(3,-1),

x-a-1

則實數(shù)a的值為

a-x

解析：函數(shù)f(x)二------；的圖象的對稱中心是(3,-1),將

x-a-1

a-x-1

函數(shù)的表達(dá)式化為f(x)=5=-l+R，所以a

+1=3,所以a=2.

答案：2

a-2x-1,x<1,

15.已知函數(shù)f(x)=j若f(x)在(-8,

[logax,X>1,

+00)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為

a>1,

解析：要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則有，a-2>0,

J1工0,

a>1,

即相>2,解得2<a《3，即a的取值范圍是(2,3].

、a-2-1407,

答案：(2,3]

16.關(guān)于函數(shù)，給出下列命題：

①若函數(shù)f(x)是R上周期為3的偶函數(shù)，且滿足f(1)=1，則

f(2)-f(-4)=0;

②若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)f(x)=2017,則f(x)是周期函數(shù);

[x-1,x>0,

③若函數(shù)g(x)=]是偶函數(shù)，則f(x)=x+1;

fx,x<0

/1(3)

①函數(shù)丫=\/鳴&-3|的定義域為0，+8.

其中正確的命題是.(寫出所有正確命題的序號)

解析：①因為f(x+3)=f(x)且f(-x)=f(x),所以f(2)=f(-1

+3)=f(-1)=f(1)=1,f(-4)=f(-1)=f(1)=1，故f⑵-f(-

4)=0,①正確.

2017

②因為f(x+1)f(x)=2017,所以f(x+1)=;-------,f(x+2)

2017

=---------=f(x).所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，②正

TX+1

確.

③令x<0，貝ij-x>0,g(-x)=-x-1.又g(x)為偶函數(shù)，所

以g(x)=g(-x)=-x-1.即f(x)=-x-1,③不正確.

Iog-|2x-3|>0,

④要使函數(shù)有意義，需滿足q0

|2x-3|>0,

即0<|2x-3|<1,

33）（3

所以1WXW2且x*-,即函數(shù)的定義域為1,;u：,2，④

22八2_

不正確.

答案：①②

必考點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)圖象與性質(zhì)

［高考預(yù)測］——運籌帷幄

1.考查指數(shù)累及對數(shù)式的化簡與運算.

2.以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)為原型進(jìn)行復(fù)合而成的

函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3.指數(shù)型、對數(shù)型、幕型的方程式不等式的求解問題.

［速解必備］——決勝千里

1.二次函數(shù)y二ax2+bx+c為偶函數(shù)ob=0.

2.指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)

大小的關(guān)系如圖所示,Pl'］0<c<d<1<a<b.

在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。?/p>

在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小；

即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大.

3.對數(shù)函數(shù)圖象在同一直角坐標(biāo)中的相對位置與底數(shù)的大

小關(guān)系如圖所示.

0<d<c<1<a<b,在第一象限順時針方向底數(shù)變大.

4.y=logax,當(dāng)xe(1,+00)且a>1時，y>0,當(dāng)xe(0,1)且

0<a<1時，y>0，記憶：“真底同，對數(shù)正”.

1

5.Iogab=;,logab-logbC-logcd=logad.

logba」

圖象關(guān)于、=工

x

6.y=a對稱y=logax

定義域R<一>值域R

值域(0,+?))<一>定義域(0,+00)

b

7.對于函數(shù),y=ax+_,(a>0,b>0)的單調(diào)分界點是ax=

X

b［b

一，即x:士'

xVa

［速解方略］——不拘一格

類型一比較函數(shù)值的大小

［例1］⑴設(shè)a=Iog32,b=Iog52,c=Iog23,貝?。?)

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

解析：基本法：???\曰<2<3,1,3>2,.?」og31&v

Iog32<Iogs3,logsl<Iogs2<logs^/5,Iog23>Iog22,

11

<a<1,0<b<_,c>1,

22

:.c>a>b.故選D.

速解法:分別作出y=logsx,y=log2X,y=logsx的圖象,

在圖象中作出a、b、c的值，觀察其大小，可得c>a>b.

答案：D

方略點評：基本法是利用了每個對數(shù)值的范圍的估算.，速解

法是利用不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系，只要能作

出其圖象，便可容易得出大小關(guān)系.

1

(2)已知x=lnTT,y=log52,z=e一2,貝弘)

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

解析:基本法:由已知得x=InTT>1,y=Iogs2e(0,1),

z=e-TG(o,1),又2<e<3,.,.^2<<-^3,

111A1r1

.,?_T>_r>->得z=e2>-,而y=log52<log5y,

yjey/32272

/.y<z<x,故選D.

答案：D

方略點評：1利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用

插值法來比較大小.

2對于多個數(shù)的大小比較，可插入0,分出正數(shù)與負(fù)數(shù)，

正數(shù)中再插入1,分出0,1間與1,+8的數(shù)；也可

直接利用單調(diào)性或數(shù)形結(jié)合法比較大小.

?自我挑戰(zhàn)）

421

1.（2016?高考全國丙卷）已知a=2"b=3W,c=25?,則（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析：利用幕函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

492|2

a=2~=4~,b=3~,c=25~=5~.

■.y=F在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5>4>3,.?.c>a>b.

答案：A

2.設(shè)a=(E,b=l°g!2,c=log33,貝i」()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

解析:基本法:vb=-Iogs2e(-1,0),c=-log23V-1,

±

a=(2)>0,‘a(chǎn)>b>c,選A.

答案：A

類型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的變換與應(yīng)用

[例2](1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于直線y

=-x對稱，且f(-2)+f(-4)=1,則a=()

A.-1B.1

C.2D,4

解析：基本法：設(shè)(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點，它

關(guān)于直線y=-x的對稱點為(-y,-x),由y=f(x)的圖象與

y=2x+a的圖象關(guān)于直線y=-x對稱，可知(-y,-x)在y

=2x+a的圖象上，即-x=2-y+a,解得y=-Iog2(-x)+a,

所以f(-2)+f(-4)=-Iog22+a-Iog24+a=1，解得a=2,

選C.

速解法：設(shè)yi=f(-2)，則(-2,yi)關(guān)于y=-x的對稱點為

(-yi,2)在y=2x+a上，

:.2=2-yi+a,-yi+a=1，即yi=a-1

同理設(shè)y2=f(-4),:A=2-y2+a,BPy2=a-2.

/.yi+y2=1,.,.a-1+a-2=1,/.a=2

答案：C

方略點評：兩種方法都采用了關(guān)于y二-x對稱點的特征.基

本法是具體求出對稱函數(shù)速解法是間接求出f-2及f

-4.

1

(2)當(dāng)0時，4xvlogax,則a的取值范圍是()

解析：基本法：易知0<av1，則函數(shù)y=4x與y=logax的

1M2

大致圖象如圖，則只需滿足Ioga2>2，解得2>二-

速解法：若a>1,-.XG0-,顯然logax<0,原不等式不

成立，..0<a<1.

111

若a=2，當(dāng)x='時，logax=1,4X=4-=2,顯然不成立，.二

故只能選B.

答案：B

方略點評：1.基本法是利用圖象的變換關(guān)系，速解法是特值

檢驗.

2.作函數(shù)圖象，要注意各個函數(shù)圖象的相對位置及變化，

要做到即“形似”又“神似”.

?自我挑戰(zhàn))

1.(2016?高考全國乙卷)函數(shù)y=2x2-ebl在［-2,2］的圖象大

致為()

解析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=2x2-ebl在［0,2］上的圖象，再

利用奇偶性判斷.

\f(x)=2x2_e|x|,xq-2,2］是偶函數(shù),又f(2)=8-e2<0,1),

故排除A,B.設(shè)g(x)=2x2-ex,則gz(x)=4x-ex.又gz(0)<0,

gz(2)>0,，g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點,,\f(x)=2x2-

elM在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，排除C.

答案：D

2.(2016?山西太原質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式4ax-1<3x-4(a

>0,且a*1)對于任意的x>2恒成立，則a的取值范圍為

()

11

Al0，JB{°-J

C.[2,+oo)D.(2,+co)

3

解析：基本法：不等式4ax-1<3x-4等價于ax-1<_x-1.

4

3

令f(x)=ax-1,g(x)=~x-1,當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中

作出兩個函數(shù)的圖象，如圖1所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)

0<a<1時，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖2

31

所示,貝ijf(2)《g(2)，即a2-1<不2-1,即a<~,所以a的取

(f

值范圍是0,2,故選B.

答案：B

類型三關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的方程、不等式的求解方法

(2X-1-2,x<1,

[例3]⑴已知函數(shù)f(x)=’‘且

-log2x+1,x>1,

f(a)=-3,則f(6-a)=()

75

A.--B.--

44

31

C.--D.--

44

解析：基本法：當(dāng)a<1時，f(a)=2a-i-2=-3,

即2a-i=-1,不成立，舍去；

當(dāng)a>1時，f(a)=-Iog2(a+1)=-3,即Iog2(a+1)=3，得

7

a+1=23=8,/.a=7,此時f(6-a)=f(-1)=2-2-2=--

速解法:當(dāng)x<1時，f(x)=2x-i-速(-2,-1],不可能f(x)

=-3.

故-Iog2(a+1)=-3,z.a+1=23,a=7.

7

.\f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-選A.

答案：A

方略點評：基本法是分別使用兩段解析式進(jìn)行求值驗證.速解

法是分析第一段的值域來確定fa=-3的可能性.

ex-1,x<1,

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=<1則使得f(x)42成立的x的

X-,X>1,

3

取值范圍是

x>1,

X<1,或41

解析:基本法:f(x)<2=><

ex-1<2x-<2

3

[x<1,[x>1,

<或JAXv1或1<x<8=>x<8,故填(-oo,

x<ln2+1[x<8

8],

速解法：當(dāng)x<1時，f(x);ex-1為增函數(shù),當(dāng)x>1時,f(x)

1

=xg為增函數(shù).

.?.f(x)在R上為增函數(shù)，且ex-1v1.

1

.?.令x-<2,/.x<8.

3

答案：(-8,8]

方略點評：1基本法是分段討論fx工2的解，速解法

是利用了整個函數(shù)fx的單調(diào)性.

2對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，首先明確底數(shù)的取

值來確認(rèn)單調(diào)性及圖象特征.

3分段函數(shù)要分段討論處理，同時注意整體性和分段點.

?自我挑戰(zhàn))

log2X+3x>0

1.已知f(x)=若f(a)=5,貝ija=

x*2+1x<0,

解析：基本法：利用分段函數(shù)求解.由題意可得

a>0,a<0,

或<解得a=4或-2.

log2a+3=5[a2+1=5,

答案：4或-2

-x2+2xx《0

2.已知函數(shù)f(x)=<若|f(x)|Nax,則a

Inx+1,x>0.

的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.(-00,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

[x2-2x,x<0,

解析：基本法：|f(x)|=]

[inx+1,x>0,

其圖象如圖.

由對數(shù)函數(shù)圖象的變化趨勢可知，要使ax4|f(x)|,

則a<0,且ax<x2-2x(x<0),

即a>x-2對x<0恒成立，所以a>-2.

綜上，-2<a<0,故選D.

答案：D

［終極提升］——登高博見

選擇題、填空題的解法——估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無

需過程，因此有些題目不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，

只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓?/p>

方法詮釋

計，便能作出正確的判斷，這就是估算法.估

算法的關(guān)鍵是確定結(jié)果所在的大致范圍，否則

“估算”就沒有意義.估算法往往可以減少運算

量，但是加強了思維的層次.

估算法是根據(jù)變量變化的趨勢或極值的取值

情況進(jìn)行求解的方法.當(dāng)題目從止面解析比較

應(yīng)用方1可麻煩，特值法又無法確定正確的選項時，如難

度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的

變化等問題，常用此種方法確定選項.

限時速解訓(xùn)練六指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)圖象與性質(zhì)

（建議用時40分鐘）

一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的)

1.已知a=505,b=0.55,c=logsO.5,則下列關(guān)系中正確

的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

解析：選A.因為a=505>50=1)0<b=0.55<0.50=1,

c=logsO.5<logsl=0,所以a>b>c.故選A.

2

2.函數(shù)f(x)=ln(x+1)--的一個零點所在的區(qū)間是()

x

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析：選B.因為f(1)=ln2-2<0,f(2)=In3-1>0,所以

f(x)在(1,2)上必存在零點.故選B.

3.函數(shù)f(x)=lnx--的圖象是()

11

解析選B.要使函數(shù)f(x)=Inx--有意義，需滿足x-->0,

Ix7x

解得-1〈XV?；騲>1,所以排除A、D;當(dāng)x>10時，x

1f1

-一一定大于1,Inx--大于0,故選B.

xIxj

4.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線

y=ex關(guān)于y軸對稱，貝ijf(x)=()

A.ex+1B.ex-1

C.e-x+iD.e-x-i

解析：選D.依題意，f(x)的圖象向右平移1個單位長度之后

得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)應(yīng)為y=e-x,于是f(x)的圖象相當(dāng)于

曲線y=e-x向左平移1個單位長度的結(jié)果，

.\f(x)=e-x-1,故選D.

5?函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之

和為a,則a的值為（）

11

C.2D.4

解析：選B.f(x);ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增(減)函數(shù)(原因是

y=ax與y=loga(x+1)的單調(diào)性相同)，且在［0,1］上的最值分

別在兩端點處取得，最值之和為f(0)+f(1)=ao+loga1+a+

loga2=a,/.Ioga2+1=0,

1

/.a=~.

2

6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=

Iog21-x,x<0,

則f(2019)=()

fx-6,x>0,

A.-1B.0

C.1D.2

解析：選D./2019=6x337-3,/.f(2019)=f(-3)=log2(1

+3)=2.故選D.

1(1、

7.設(shè)二v-b<a<i,那么（）

2⑵

A.aa<ab<baB.aa<ba<ab

C.ab<aa<baD.ab<ba<aa

11

解析：選C.由于指數(shù)函數(shù)y二是減函數(shù)，由已知彳<-b

A2

<m-a<1，得0〈a〈bv1.當(dāng)0〈a〈1時，y=ax為減—函數(shù)，

所以ab<aa,排除A、B;又因為幕函數(shù)y二xa在第一象限內(nèi)

為增函數(shù)，所以aa<ba，選C.

8.下列四個命題：

缶

①故040,+8),-Xo<X0；

②故080,1),Mx^logfj-o；

③Vxe(0,+g),-X>log版■

W2

④Vxe0,-x<log5X.

其中真命題是（）

A.①③B.②③

C.②④D.③④

解析：選C.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知①③是錯誤的，

②④是正確的，故選C.

9.若a=2x,b=J,c=log%，則"a>b>c"是"x>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：選B.如圖，可知"x>1"n"a>b>c"，但"a>b>c"n"x

>1"，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分條件.故選B.

10.若不等式4x2-logax<0對任意xe0,-恒成立，則實

I

數(shù)a的取值范圍為（）

11

A.--,1B.—,1

解析：選A.,.不等式4x2-logx<0對任意xe0,］恒成立，

aI4J

‘r

.-.XG0時，函數(shù)y=4x2的圖象在函數(shù)y=logax的圖象的

\V

下方.如圖，.再根據(jù)它們的單調(diào)性可得4X-

1.1

2<log-,即log?4<log-,

a4a4a

1>一

???a

4

11

.綜上可得二wa<1,故選A.

256256

x

11.已知Xo是f(x)=-+一的一個零點，X1G(-00,Xo),X2

e(xo.O)，貝弘)

A.f(xi)<0,f(X2)<0

B.f(xi)>0,f(x2)>0

C.f(xi)>0,f(x2)<0

D.f(xi)<0,f(x2)>0

解析：選C.在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)f(x)=-x,f(x)=-一的

⑷x

1

圖象(如圖)，由圖象可知當(dāng)xe(…，xo)時，；x>-一；當(dāng)x

14)X

x-

W(XoO)時，-<-,所以當(dāng)X1G(-00,Xo),X2C(XO0)時，

x

<f(xi)>0,f(X2)<0,故選C.

尸?八/V

2x1

12.設(shè)函數(shù)f(x)=：=-二，［x］表示不超過x的最大整數(shù)，

1+2X2

則函數(shù)y=[f(x)]的值域是()

A.{0,1}B.{-1.0}

C.{-1.1}D.{1}

2X111

解