傅里葉變換及應用

傅里葉變換在MATLZB里的應用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學中，傅里葉變換是一種非常重要的變換，且在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應用。本文首先介紹了傅里葉變換的基本概念、性質(zhì)及發(fā)展情況；其次，詳細介紹了分離變數(shù)法及積分變換法在解數(shù)學物理方程中的應用。傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號，再利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。應用MATLAB實現(xiàn)信號的譜分析和對信號消噪。關鍵詞：傅里葉變換；MATLAB軟件；信號消噪Abstract:Inmodernmathematics,Fouriertransformisatransformisveryimportant,Andhasbeenwidelyusedindigitalsignalpaperfirstintroducesthebasicconcepts,propertiesanddevelopmentsituationofFouriertransform;Secondly,introducesindetailthemethodofseparationofvariablesandintegraltransformmethodinsolvingequationsinMathematicaltransformationmakestheoriginaltimedomainsignalwhoseanalysisisdifficulteasy,bytransformingitintofrequencydomainsignalthatcanbetransformedintotimedomainsignalbyinversetransformationofFourier.UsingMatlabrealizessignalspectralanalysisandsignaldenoising.Keyword:Fouriertransformation,softwareofmatlab,signaldenoising1、傅里葉變換的提出及發(fā)展在自然科學和工程技術中為了把較復雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算，人們常常采用所謂變換的方法來達到目的"例如在初等數(shù)學中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運算。在工程數(shù)學里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\算（如微分，積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，正是積分變換這一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成為重要方法之一。1804年，法國科學家傅里葉由于當時工業(yè)上處理金屬的需要，開始從事熱流動的研究”他在題為＜＜熱的解析理論＞＞一文中，發(fā)展了熱流動方程，并且指出如何求解”在求解過程中，他提出了任意周期函數(shù)都可以用三角級數(shù)來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數(shù)學以及物理、工程技術卻都產(chǎn)生了深遠的影響，成為傅里葉變換的起源。:從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。[1]傅里葉變換通過對函數(shù)的分析來達到對復雜函數(shù)的深入理解和研究。最初，傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！叭我?'的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類。利用這一點，傅里葉變換可通過對相對簡單的事物的研究來了解復雜事物，而且現(xiàn)代數(shù)學發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)：傅里葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)+它還是酉算子；傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解”在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；著名的卷積定理指出.傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。2、傅里葉變換的基本概念由傅里葉級數(shù)知，一個周期函數(shù)可以展開成為傅里葉級數(shù)，而一個非周期函數(shù)可以看成某個周期函數(shù)其周期趨向于無窮大轉(zhuǎn)化而來。根據(jù)這個思路，我們可以得到傅里葉積分公式及傅里葉積分公式成立的充分條件—傅里葉積分定理。傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式定理設fT°是以"kT〈"I為周期的實函數(shù)⑵且在克雷條件，即fT°）在一個周期上滿足：（1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.則在連續(xù)點處，有f定理設fT°是以"kT〈"I為周期的實函數(shù)⑵且在克雷條件，即fT°）在一個周期上滿足：（1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.則在連續(xù)點處，有f(t)=號+產(chǎn)(acosn^t+bsinn?t)n=1a=L2f(t)cosnwtdt(n=1,2,—)—2b=—i2f(t)sinnwtdt(n=1,2.—)TTT

—2f?+0）+f?-0）在間斷點'o處，（1）式右端級數(shù)收斂于2。訛+e—訛.。訛一e一如cos'=sin'=又2,2i，.于是一.，一.一.一.、e^nwt+e—inwte^nwt—e—inwta+bn=1L2n2iax"=-2+Lnei^nwt+—ne—inwt27a+ibC=—nnn—1,2,3,—n=—"=c+'=c+'ceiwt+cei2ot+,??+Ceinw+..?ne—iwt+Ce—i2ot+???+Ce—inot+…)-1-2-n(2)（2）式稱為傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式，具有明顯的物理意義.容易證明Cn可以合寫成一個式子，即

c=—j2f(t)e-inSdt(n=0,±1,±2,)一

2傅里葉積分任何一個非周期函數(shù)f?）,都可看成是由某個周期函數(shù)fT°）當T一+8時轉(zhuǎn)化而來的.即lmfT(t)=f(t)由公式（2）、（3）得Tn=-seigte-inTn=-seigtbT一2可知f(t)=lim—T*8Tn=一8尤j，G）ef(t)=lim—T*8Tn=一8尤j，G）e一心…令①=n①,△①=s-①△①n于是f(t)=lim—JrriTT+8Tn=-8eiSnt=lim土尤j；fG)e”dT

neistAwnn=-8小偵）一i°nTdT]e^nt八)=A"0n=-8注意到當A%T0，即TT8時,匕(w)T?(w)=￡[j+8fe一叫TdT]eiwnt從而按照積分的定義，（4）可以寫為:f(t)=卜榻》必-s,或者f(t)=二卜[j心fG)e-i皿dT]ei^td^2兀-s-s傅氏積分公式.公式(5)稱為函數(shù)傅氏積分公式.定理若SO在(-8,+8)上滿足條件：(1)f。在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件；(2)fQ在無限區(qū)間(-8,+8)上絕對可j+slf(tt,4)…「、，4).,積，即-s收斂，則(5)在E的連續(xù)點成里；而在J助的間斷點10處f?+0)+f?-0)應以2來代替.上述定理稱為傅氏積分定理.可以證明，當f°)滿足傅氏積分定理條件時，公式(5)可以寫為三角形式，即1|f(t)在f(t庇續(xù)點處，_J+s[J+sf(r)cosM-T)dT]如={f(t+0)+f(t-0)甘鼻兀0-sI,其它.⑹周期傅里葉變換描述周期現(xiàn)象的最簡單的周期函數(shù)是物理學上所說的諧波函數(shù)，它由正弦或余弦函數(shù)來表示()y(t)=Acos(wt+a)()而所有函數(shù)都可以看做是不同頻率的正弦或余弦函數(shù)的疊加。下面介紹周期函數(shù)的傅里葉變換[3]將一個周期為T的函數(shù)分解為Fourier級數(shù)，其三角形式展開為：f(t)=a+產(chǎn)(acosgt+bsinnst)()n=1離散傅里葉變換但我們在數(shù)字資料處理中經(jīng)常的不是一個函數(shù)，而是一個離散的序列。與連續(xù)時間信號的分析類似，對于連續(xù)時間信號進行離散Fourier變換，一般可概括為時域采樣，時域截斷，頻域采樣三個步驟，最終導出離散傅立葉變換［2對為：1x（n）=N*x（頃",i,2,...,n-1（）n=0它通過連續(xù)傅立葉變換，將N個時域采樣點與N個頻域采樣點聯(lián)系起來。3、傅立葉變換的應用傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f（x,y）來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。|沖激信號⑷沖激函數(shù)是最基本的函數(shù)，其傅里葉變換是系統(tǒng)函數(shù)，只要知道系統(tǒng)函數(shù)，那么通過這個系統(tǒng)的輸出函數(shù)并可以確定。在Matlab中產(chǎn)生沖激函數(shù)和其傅里葉變換的程序如下:M=10；T=10；N=2”M；dt=T/N；n=0：N-1；t=n*dt；w=zeros(size(t))；w(100：105)=100；}subplot(211)；plot(t,w,'b','LineWidth',；title('沖激函數(shù)')；xlabel('t/s>')；ylabel('y/m')；Subplot(212)；W=fft(w)；W=fftshift(W)；plot(t,abs(W),'b','LineWidth',；title('沖激函數(shù)的傅里葉變換')；xlabel('w>')；ylabel('y/m')；其時域圖像和頻域圖像如圖1所示圖1沖激函數(shù)的時域和頻譜圖像分析：從圖中可以看出，沖激信號的頻率為0處的分量最大，然后向兩端快速衰減，表明脈沖信號中實際占主導地位的其實是直流分量。余弦信號我們已經(jīng)知道，任何信號都可以分解成為不同頻率的正或余弦信號的疊加，那么現(xiàn)在研究余弦信號的時域和頻域特性[3]用Matlab可以產(chǎn)生余弦信號并分析其頻譜的特性。Matlab程序：M=10；/N=2”M；t=linspace(T0,10,N)；xcos=cos(3*t)；subplot(211)plot(t,xcos)；title('余弦信號的時域圖像')；xlabel('t/s')；ylabel('y/m')subplot(212)plot(t,abs(fftshift(fft(xcos))))；title('余弦信號的頻域圖像')xlabel('w/(rad/s)')；ylabel('y/m')《余弦信號的時域圖像與頻域圖像如圖2所示圖2余弦函數(shù)的時域和頻譜頻率突變信號頻率突變信號在現(xiàn)實生活總很常見，下面用Matlab來產(chǎn)生頻率突變信號［2和分析其傅里葉變換。'Matlab程序：M=8；N=2”M；t=linspace(T0,10,N)；s1=find(t<.0)；x(s1)=cos(2*pi*6*t(s1))；s2=find(t>=.0)；x(s2)=cos(2*pi*3*t(s2))；subplot(211)；plot(t,x)；title('頻率突變信號')；#xlabel('t/s')；ylabel('y/m')subplot(212)；X=fft(x)；X=fftshift(X)；plot(t,abs(X)；title('頻率突變信號的傅里葉變換圖像');xlabel('f/hz')；ylabel('y/m')其圖像如圖3所示%圖3頻率突變信號的時域和頻譜圖象分析：頻率突變信號的頻率在3和5的位置對應的幅值特別高。因此標記出這兩個頻譜峰值對應的頻率分量，正好可以驗證信號的頻率成份。高斯信號在信號中，常會伴隨著噪聲，而高斯噪聲［3是常見的噪聲，研究它的特性對于消除噪聲有很大的意義。Matlab程序如下：M=10；N=2”M；t=linspace(T0,10,N)；a=1/4；g=exp(-a*t.”2)；subplot(211)plot(t,g)title('高斯信號的時域圖像')；xlabel('t/s')；ylabel('y/m')；subplot(212)G=fft(g);G=fftshift(G);plot(t,abs(G));title('高斯信號的頻域圖像')~xlabel('f/Hz');ylabel('y/m');高斯信號的時域和頻域圖像如圖4所示圖4高斯信號的時域和頻域圖像圖像分析：這是一個正態(tài)分布函數(shù)，具有單峰性，歸一性。其傅立葉變換函數(shù)的圖象中，只有頻率為0的地方有極大的峰值，說明小概率時間發(fā)生的機會是極小的，越向原點，時間發(fā)生的可能性越大。隨機序列研究隨機序列［3有很大的意義，在數(shù)字信號的傳輸過程中，往往會產(chǎn)生噪聲，而噪聲并是隨機序列，研究其特性對消除噪聲有很大的意義利用MATLAB很容易產(chǎn)生兩類隨機信號：Rand(1,N)在區(qū)間［0,1］上產(chǎn)生N點均勻分布的隨機序列

Randn(1,N)產(chǎn)生均值為0,方差為1的高斯隨機序列，也就是白噪聲序列例如下圖表示點數(shù)為32點的均勻分布的隨機序列與高斯隨機序列，其Matlab仿真結果如圖下所示，其中圖和圖分別表示序列一和序列二的時域和頻域圖像。用Matlab產(chǎn)生的隨即序列和其傅里葉變換的程序如下圖所示clearall;N=32;x_rand=rand(1,N);x_randn=randn(1,N);xn=0:N-1;figure(1)subplot(2,1,1);stem(xn,x_rand);title('系列1的時域圖像')subplot(2,1,2);stem(xn,abs(fftshift(fft(x_rand))));title('系列1的頻域圖像')figure(2)subplot(2,1,1);stem(xn,x_randn);title('系列2的時域圖像')subplot(2,1,2);stem(xn,abs(fftshift(fft(x_randn))));title('系列2的頻域圖像')0密0.6口.」02101520253035泵列1的頻域圖慷汗T代斜氣溢擠g*IV隊而中辮V10