概率論與數理統(tǒng)計【】

概率論與數理統(tǒng)計課件【】現(xiàn)在是1頁\一共有455頁\編輯于星期五概率論與數理統(tǒng)計是研究什么的？概率論——從數量上研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學。

數理統(tǒng)計——從應用角度研究處理隨機性數據，建立有效的統(tǒng)計方法，進行統(tǒng)計推理。

隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性現(xiàn)在是2頁\一共有455頁\編輯于星期五第一章概率論的基本概念第二章隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其概率分布第四章隨機變量的數字特征第五章大數定律和中心極限定理第六章數理統(tǒng)計的基本概念第七章參數估計第八章假設檢驗主要內容現(xiàn)在是3頁\一共有455頁\編輯于星期五第一章概率論的基本概念§1.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其性質§1.3古典概型與幾何概型§1.4條件概率§1.5獨立性現(xiàn)在是4頁\一共有455頁\編輯于星期五§1.1隨機事件及其運算如何研究隨機現(xiàn)象呢？1.1.1隨機現(xiàn)象

自然界的現(xiàn)象按照發(fā)生的可能性（或者必然性）分為兩類：

一類是確定性現(xiàn)象，特點是條件完全決定結果

一類是隨機現(xiàn)象，特點是條件不能完全決定結果

在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結果，也可能出現(xiàn)那樣的結果，我們預先無法斷言，這類現(xiàn)象成為隨機現(xiàn)象。現(xiàn)在是5頁\一共有455頁\編輯于星期五

1.1.2隨機試驗E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2:擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數；E3:記錄110報警臺一天接到的報警次數；E4:在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命；E5:記錄某物理量的測量誤差；E6:在區(qū)間上任取一點，記錄它的坐標。例1-1：現(xiàn)在是6頁\一共有455頁\編輯于星期五

上述試驗具有如下特點：1.試驗的可重復性——在相同條件下可重復進行；2.一次試驗結果的隨機性——一次試驗的可能結果不止一個，且試驗之前無法確定具體是哪種結果出現(xiàn)；3.全部試驗結果的可知性——所有可能的結果是預先可知的，且每次試驗有且僅有一個結果出現(xiàn)。

在概率論中，將具有上述三個特點的試驗成為隨機試驗，簡稱試驗。隨機試驗常用E表示。

現(xiàn)在是7頁\一共有455頁\編輯于星期五樣本空間:試驗的所有可能結果所組成的集合稱為試驗E的樣本空間,記為Ω.樣本點:試驗的每一個可能出現(xiàn)的結果（樣本空間中的元素）稱為試驗E的一個樣本點,記為ω.

1.1.3隨機事件與樣本空間現(xiàn)在是8頁\一共有455頁\編輯于星期五分別寫出例1-1各試驗所對應的樣本空間例1-2：現(xiàn)在是9頁\一共有455頁\編輯于星期五

例如在試驗E2中，令A表示“出現(xiàn)奇數點”，A就是一個隨機事件。A還可以用樣本點的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是樣本空間Ω的一個子集。事件發(fā)生：例如，在試驗E2中，無論擲得1點、3點還是5點，都稱這一次試驗中事件A發(fā)生了?；臼录弘S機事件僅包含一個樣本點ω，單點子集{ω}。如，在試驗E1中{H}表示“正面朝上”，就是個基本事件。隨機事件：樣本空間的任意一個子集稱為隨機事件,簡稱“事件”，記作A、B、C等。復合事件：包含兩個或兩個以上樣本點的事件?，F(xiàn)在是10頁\一共有455頁\編輯于星期五兩個特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.

既然事件是一個集合，因此有關事件間的關系、運算及運算規(guī)則也就按集合間的關系、運算及運算規(guī)則來處理。

現(xiàn)在是11頁\一共有455頁\編輯于星期五

1.

包含關系與相等：

“事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生”

記為AB。A＝BAB且BA.事件間的關系與運算A

BABΩ現(xiàn)在是12頁\一共有455頁\編輯于星期五2.和（并）事件：

“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”，記作AB或A+B。顯然：AAB，BAB；若AB，則AB=B。推廣：n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作或現(xiàn)在是13頁\一共有455頁\編輯于星期五3.

積（交）事件

:事件A與事件B同時發(fā)生，記作AB或AB。推廣：n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An或或顯然：ABA，ABB；若AB，則AB=A?，F(xiàn)在是14頁\一共有455頁\編輯于星期五4.

差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件

A發(fā)生而事件B不發(fā)生顯然：A-BA；若AB，則A-B=φ?，F(xiàn)在是15頁\一共有455頁\編輯于星期五5.

互不相容事件（也稱互斥的事件）：

即事件A與事件B不能同時發(fā)生。AB＝。ABAB=Ω推廣：n個事件A1,A2,…,An任意兩個都互不相容，則稱n個事件兩兩互不相容。若n個事件A1,A2,…,An兩兩互不相容，且則稱n個事件A1,A2,…,An構成一個完備事件組?，F(xiàn)在是16頁\一共有455頁\編輯于星期五6.

對立（逆）事件

AB＝,且AB＝

顯然有：現(xiàn)在是17頁\一共有455頁\編輯于星期五思考：事件A和事件B互不相容與事件A和事件B互為對立事件的區(qū)別.

互不相容事件與對立事件是兩個不同的概念，對立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是對立事件，對立在樣本空間只有兩個事件時存在，互不相容還可在樣本空間有多個事件時存在．現(xiàn)在是18頁\一共有455頁\編輯于星期五交換律：AB＝BA，AB＝BA。結合律：(AB)C=A(BC)，

(AB)C＝A(BC)。分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)。對偶(DeMorgan)律：

7.事件的運算性質現(xiàn)在是19頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-3：

某射手向一目標射擊3次,Ai表示“第i次射擊命中目標”,i=1,2,3.Bj表示“三次射擊恰命中目標j次”,j=0,1,2,3.試用

A1,A2,A3的運算表示Bj,j=0,1,2,3.解現(xiàn)在是20頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-4：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：現(xiàn)在是21頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1.隨機現(xiàn)象；2.隨機試驗和樣本空間；3.隨機事件的概念；4.隨機事件的關系和運算（重點）。小結現(xiàn)在是22頁\一共有455頁\編輯于星期五§1.2概率的定義及其性質1.2.1概率的統(tǒng)計定義現(xiàn)在是23頁\一共有455頁\編輯于星期五試驗者德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069費勒1000049790.4979K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005現(xiàn)在是24頁\一共有455頁\編輯于星期五頻率的性質：一口袋中有6個乒乓球，其中4個白的，2個紅的．有放回地進行重復抽球，觀察抽出紅色球的次數。

2001390.6954002010.6536004010.668現(xiàn)在是25頁\一共有455頁\編輯于星期五頻率是概率的近似值，概率P(A)也應有類似特征：現(xiàn)在是26頁\一共有455頁\編輯于星期五定義2：在相同的條件下進行n次重復試驗，當n趨于無窮大時，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個確定的常數p，稱此常數p為事件A發(fā)生的概率，記作．注1：概率的統(tǒng)計定義不僅提供了一種定義概率的方法，更重要的是給了一種估算概率的方法．在實際問題中，事件發(fā)生的概率往往是未知的，由于頻率具有穩(wěn)定性，我們就用大量試驗中得到的頻率值作為概率的近似值．注2：但上述定義存在著明顯的不足，首先，人們無法把一個試驗無限次的重復下去，因此要精確獲得頻率的穩(wěn)定值是困難的．其次，定義中對頻率與概率關系的描述是定性的、非數學化的，從而容易造成誤解．注3：定義2中的敘述易使人想到概率是頻率的極限，概率是否為頻率的極限，以什么方式趨于概率呢？

現(xiàn)在是27頁\一共有455頁\編輯于星期五1.2.2

概率的公理化定義定義3：若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：(1)非負性公理：P(A)≥0；(2)規(guī)范性公理：P()＝1，P()＝0

； (3)可列可加性公理：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率?，F(xiàn)在是28頁\一共有455頁\編輯于星期五性質1概率的性質性質2（有限可加性）設A1，A2，…,An是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n，

有

P(A1

A2

…An

)＝P(A1)＋P(A2)+….＋P(An)

性質3

（互補性）

．證明：因為所以有故現(xiàn)在是29頁\一共有455頁\編輯于星期五性質4

P(A-B)=P(A)-P(AB).特別地,當

時,P(A-B)=P(A)-P(B),且P(

B)P(A).證明：因為且，所以性質5（加法公式）對于任意事件A,B，有

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).對任意n個事件A1，A2，…,An，

有

證明：單調不減性現(xiàn)在是30頁\一共有455頁\編輯于星期五性質6

（可分性）對任意兩事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-5

設A,B為兩個隨機事件,

P(A)=0.5,P(AB)=0.8,P(AB)=0.3,

求P(B).解由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得

P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.現(xiàn)在是31頁\一共有455頁\編輯于星期五解

由性質6可知，例1-6

設A,B兩個隨機事件,

P(A)=0.8,

P(AB)=0.5,求P(AB).

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-7

設A與B互不相容,

P(A)=0.5,

P(B)=0.3,

求P(AB).解P(AB)=P()=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2

現(xiàn)在是32頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是33頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1.概率的統(tǒng)計定義；2.概率的公理化定義；3.概率的性質（重點）。小結現(xiàn)在是34頁\一共有455頁\編輯于星期五§1.3

古典概型與幾何概型1.3.1古典概型2.等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性相同.理論上,具有下面兩個特點的隨機試驗的概率模型,稱為古典概型（或等可能概型）：1.有限性：基本事件的總數是有限的,換句話說樣本空間僅含有有限個樣本點;現(xiàn)在是35頁\一共有455頁\編輯于星期五設事件A中所含樣本點個數為r,樣本空間中樣本點總數為n,則有古典概型的概率計算公式:現(xiàn)在是36頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-9

擲一枚質地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數點的概率。事件“出現(xiàn)奇數點”用A表示,則A={1,3,5},所含樣本點數r=3,從而解：顯然樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},樣本點總數n=6,現(xiàn)在是37頁\一共有455頁\編輯于星期五解1:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},樣本點總數n=8.A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中樣本點數分別為rA=3,rB=1,rC=7,例1-10

拋一枚均勻硬幣3次,設事件A為“恰有1次出現(xiàn)面”,B為“恰有2次出現(xiàn)正面”,C為“至少一次出現(xiàn)正面”,試求P(A),P(B),P(C).則P(A)=rA／n=3／8,P(B)=rB／n=1／8,P(C)=rC／n=7／8.現(xiàn)在是38頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-11

從0,1,2,…,9等10個數字中任意選出3個不同數字,試求3個數字中不含0和5的概率.解設A表示“3個數字中不含0和5”.從0,1,2,…,9中任意選3個不同的數字,共有種選法,即基本事件總數n=.3個數中不含0和5,是從1,2,3,4,6,7,8,9共8個數中取得,選法有,即A包含的基本事件數,則

如果把題中的“0和5”改成“0或5”,結果如何？現(xiàn)在是39頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-12

從1,2,…,9這9個數字中任意取一個數,取后放回,而后再取一數,試求取出的兩個數字不同的概率.

解基本事件總數n=92,因為第一次取數有9中可能取法,這時可重復排列問題.設A表示“取出的兩個數字不同”.A包含的基本事件數9*8因為第一次取數有9中可能取法,為保證兩個數不同,第二次取數應從另外的8個數中選取,有8中可能取法,r=9*8,故P(A)=r∕n=9*8∕92=8∕9現(xiàn)在是40頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-13

袋中有5個白球3個黑球,從中任取兩個,試求取到的兩個球顏色相同的概率。解從8個球中任意取兩個,共有種取法,即基本事件總數.記A表示“取到的兩個球顏色相同”,A包含兩種可能:全是白球或全是黑球.全是白球有種取法,全是黑球有種取法,由加法原理

知,

A的取法共中,即A包含的基本事件數r=

故現(xiàn)在是41頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是42頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是43頁\一共有455頁\編輯于星期五說明：不管是放回抽樣還是不放回抽樣，也不管取球的先后順序如何，每次取到白球的概率都是一樣的．我們日常生活中的抓鬮，就是不放回抽樣，可見不管第幾個去抽，每人抽中白球的機會相等，同抽簽次序無關．現(xiàn)在是44頁\一共有455頁\編輯于星期五

把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點,但它也有明顯的局限性.要求樣本點有限,如果樣本空間中的樣本點有無限個,概率的古典定義就不適用了.1.3.2

幾何概型現(xiàn)在是45頁\一共有455頁\編輯于星期五當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明：當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時,就歸結為幾何概率.現(xiàn)在是46頁\一共有455頁\編輯于星期五那末兩人會面的充要條件為例1-15

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解現(xiàn)在是47頁\一共有455頁\編輯于星期五故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有現(xiàn)在是48頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是49頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課的重點：小結

（1）古典概型事件概率的計算；（2）幾何概型事件概率的計算.現(xiàn)在是50頁\一共有455頁\編輯于星期五1.4.1條件概率與乘法公式例1-17

一家庭有兩個孩子，考慮：(1)求兩個都是男孩的概率；(2)已知其中一個是男孩，求另一個也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率．§1.4

條件概率

定義1：已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率,記作P(B|A).解：用g表示女孩，b表示男孩，則樣本空間為{(b,b)，(b,g)，(g,b)，(g,g)}，其中括號中第一個位置表示老大，第二個位置表示老二?，F(xiàn)在是51頁\一共有455頁\編輯于星期五（2）事件B1=“其中一個是男孩”，B2=“另一個也是男孩”，顯然此時的樣本空間為B1={(b,b),(b,g),(g,b)}。則事件B1發(fā)生的條件下，B2發(fā)生的條件概率為P(B2|B1)=1/3.（1）事件A=“兩個都是男孩”，顯然P(A)=1/4.（3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男孩”，顯然此時的樣本空間為C1={(b,b),(b,g)}。則事件C1發(fā)生的條件下，C2發(fā)生的條件概率為P(C2|C1)=1/2.現(xiàn)在是52頁\一共有455頁\編輯于星期五定義2

設A,B是兩個事件,且P(B)>0,稱

為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率.顯然，P(A)>0時，計算條件概率有兩個基本的方法：用定義計算，即在原樣本空間中計算P(AB)與P(B)之比；在古典概型中利用古典概型的計算方法直接計算，即在新樣本空間B中直接計算A發(fā)生的概率.現(xiàn)在是53頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-18

在全部產品中有4%是廢品,有72%為一等品.現(xiàn)從中任取一件為合格品,求它是一等品的概率.解設A表示“任取一件為合格品”,B表示“任取一件為一等品”,顯然BA,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,則所求概率為現(xiàn)在是54頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-19

盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球7個,其中3個是新球;白色球5個,其中4個是新球.現(xiàn)從中任取一球是新球,求它是白球的概率.解1

設A表示“任取一球為新球”,B表示“任取一球為白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率為解2

設A表示“任取一球為新球”,B表示“任取一球為白球”,由條件概率公式可得現(xiàn)在是55頁\一共有455頁\編輯于星期五解

設A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率為P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球時盒中有5個黑球2個白球,由古典概型的概率計算方法得例1-20

盒中有5個黑球3個白球,連續(xù)不放回的從中取兩次球,每次取一個,若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.現(xiàn)在是56頁\一共有455頁\編輯于星期五性質2若A與B互不相容，則性質3條件概率的性質性質1若事件，兩兩互不相容，且P(B)>0，則現(xiàn)在是57頁\一共有455頁\編輯于星期五概率的乘法公式當

P(A)>0

時，有

P(AB)=P(A)P(B|A).當

P(B)>0

時，有

P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式還可以推廣到n個事件的情況：設

P(AB)>0

時，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).設

P(A1A2…An-1)>0,

則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).現(xiàn)在是58頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-21

在10個產品中,有2件次品,

不放回的抽取2次產品,

每次取一個,

求取到的兩件產品都是次品的概率.解設A表示“第一次取產品取到次品”,B表示“第二次取產品取到次品”,則故現(xiàn)在是59頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-22

盒中有5個白球2個黑球,連續(xù)不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解設Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率為例1-23

設

P(A)=0.8,

P(B)=0.4,

P(B|A)=0.25,

求

P(A|B).解現(xiàn)在是60頁\一共有455頁\編輯于星期五1.4.2全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式全概率公式

設隨機試驗對應的樣本空間為Ω,設A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個完備事件組（或劃分），且P(Ai)>0,

i=1,2,…,n，B是任意一個事件,則注：全概率公式求的是無條件概率現(xiàn)在是61頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-24

盒中有5個白球3個黑球,

連續(xù)不放回地從中取兩次球,

每次取一個,

求第二次取球取到白球的概率.解

設A表示“第一次取球取到白球”,B

表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得現(xiàn)在是62頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-25

在某工廠中有甲、乙、丙三臺機器生產同一型號的產品,它們的產量各占30%,35%,35%,并且在各自的產品中廢品率分別為5%,4%,3%.求從該廠的這種產品中任取一件是廢品的概率.解

設A1表示“從該廠的這種產品中任取一件產品為甲所生產”,A2表示“從該廠的這種產品中任取一件產品為乙所生產”,A3表示“從該廠的這種產品中任取一件產品為丙所生產”,B表示“從該廠的這種產品中任取一件為次品”,則P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得現(xiàn)在是63頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-26設在n(n>1)張彩票中有1張獎券,

甲、乙兩人依次摸一張彩票,

分別求甲、乙兩人摸到獎券的概率.解

設A表示“甲摸到獎券”,B表示“乙摸到獎券”.現(xiàn)在目的是求P(A),P(B),

顯然P(A)=1/n.因為A是否發(fā)生直接關系到B的概率,即于是由全概率公式得

這個例題說明,購買彩票時,不論先買后買,中獎機會是均等的,這就是所謂的“抽簽公平性”.現(xiàn)在是64頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是65頁\一共有455頁\編輯于星期五貝葉斯(Bayes)公式

設A1,A2,…,An是樣本空間的一個完備事件組（或劃分）,

B是任一事件,且P(B)>0,則例1-27

在例1-24的條件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.注：Bayes公式求的是條件概率.【盒中有5個白球3個黑球,

連續(xù)不放回地從中取兩次球,

每次取一個,

求第二次取球取到白球的概率.】現(xiàn)在是66頁\一共有455頁\編輯于星期五解使用例1-24解中記號,設A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,則所求概率為,由貝葉斯公式可求注意到現(xiàn)在是67頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-28

在例1-25的假設下,若任取一件是廢品,分別求它是甲、乙、丙生產的概率.解由貝葉斯公式，【在某工廠中有甲、乙、丙三臺機器生產同一型號的產品,它們的產量各占30%,35%,35%,并且在各自的產品中廢品率分別為5%,4%,3%.求從該廠的這種產品中任取一件是廢品的概率.】現(xiàn)在是68頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-29

針對某種疾病進行一種化驗,患該病的人中有90%呈陽性反應,而未患該病的人中5%呈陽性反應.設人群中有1%的人患這種病.若某人做這種化驗呈陽性反應,則他換這種疾病的概率是多少?解

設A表示“某人患這種病”，B表示“化驗呈陽性反應”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得本題的結果表明，化驗呈陽性反應的人中，只有15%左右真正患有該病.現(xiàn)在是69頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是70頁\一共有455頁\編輯于星期五2、全概率公式及其應用(求無條件概率)小結3、貝葉斯公式及其應用(求條件概率)1、條件概率及乘法公式；現(xiàn)在是71頁\一共有455頁\編輯于星期五定義1

若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立,簡稱A,B獨立.性質2

若A與B相互獨立,則A與B,A與B,A與B都相互獨立.1.5.1兩事件獨立性質1

設P(A)>0,則A與B相互獨立的充分必要條件是P(B)=P(B|A).設P(B)>0,則A與B相互獨立的充分必要條件是P(A)=P(A|B).§1.5

獨立性回憶：現(xiàn)在是72頁\一共有455頁\編輯于星期五以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。由性質2知，事件A與B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關.現(xiàn)在是73頁\一共有455頁\編輯于星期五獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.現(xiàn)在是74頁\一共有455頁\編輯于星期五由此可見兩事件互斥但不獨立.又如：兩事件相互獨立.兩事件互斥現(xiàn)在是75頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-29兩射手彼此獨立地向同一目標射擊,設甲射中目標的概率為0.9,乙射中目標的概率為0.8,求目標被擊中的概率.解設A表示“甲射中目標”,B表示“乙射中目標”,C表示“目標被擊中”,則C=A∪B,A與B相互獨立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用對偶律亦可.注：A，B相互獨立時,概率加法公式可以簡化,即當A與B相互獨立時P(A∪B)=1-P(A)P(B)現(xiàn)在是76頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-30

袋中有5個白球3個黑球,

從中有放回地連續(xù)取兩次,

每次取一個球,

求兩次取出的都是白球的概率.解

設A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A與B是相互獨立的,所求概率為例1-31

設A與B相互獨立,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).即解得解由題意，P(AB)=P(AB)，因為A與B相互獨立，則A與B，A與B都相互獨立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，現(xiàn)在是77頁\一共有455頁\編輯于星期五定義2

若三個事件A、B、C滿足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨立,簡稱A、B、C獨立.1.5.2多個事件的獨立現(xiàn)在是78頁\一共有455頁\編輯于星期五

一般地,設A1,A2,…,An是n個事件,如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n,具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)則稱n個事件A1,A2,…,An相互獨立。思考：1.設事件A、B、C、D相互獨立，則2.三個事件相互獨立和兩兩獨立的關系.AB與CD獨立嗎？現(xiàn)在是79頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-32

3人獨立地破譯一個密碼,他們能單獨譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.求此密碼被譯出的概率.解法1

設A,B,C分別表示3人能單獨譯出密碼，則所求概率為P(A∪B∪C)，且A,B,C獨立，P(A)=1/5

，P(B)=1/3

，P(C)=1/4.于是現(xiàn)在是80頁\一共有455頁\編輯于星期五解法2用解法1的記號，

比較起來,解法1要簡單一些,對于n個相互獨立事件A1,A2,…,An,其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通過下式計算：現(xiàn)在是81頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-33

3門高射炮同時對一架敵機各發(fā)一炮,它們的命中率分別為0.1,0.2,0.3,求敵機恰中一彈的概率。解設Ai表示“第i門炮擊中敵機”,i=1,2,3,B表示“敵機恰中一彈”,則現(xiàn)在是82頁\一共有455頁\編輯于星期五例1-34

用步槍射擊飛機，設每支步槍命中率是0.004，求（1）現(xiàn)用250支步槍同時射擊一次，飛機被擊中的概率；（2）若想以0.99的概率擊中飛機，需多少支步槍同時射擊一次？現(xiàn)在是83頁\一共有455頁\編輯于星期五小結1、兩個事件的獨立性；2、多個事件的獨立性.現(xiàn)在是84頁\一共有455頁\編輯于星期五本章小結1、基本概念：概率條件概率獨立性2、主要公式：古典概型幾何概型

條件概率公式乘法公式全概率公式貝葉斯公式3、計算：事件運算概率計算現(xiàn)在是85頁\一共有455頁\編輯于星期五第二章隨機變量及其分布§2.1隨機變量及分布函數§2.2離散型隨機變量§2.3連續(xù)型隨機變量及概率密度函數§2.4隨機變量函數的分布現(xiàn)在是86頁\一共有455頁\編輯于星期五定義1

設E是隨機試驗，樣本空間為Ω，如果對每一個結果（樣本點）ω∈Ω，有唯一確定的實數X(ω)與之對應，這樣就得到一個定義在Ω上的實值函數X=X(ω)稱為隨機變量.隨機變量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,...§2.1隨機變量及分布函數

隨機變量現(xiàn)在是87頁\一共有455頁\編輯于星期五

關于隨機變量的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數學有別于初等數學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量?，F(xiàn)在是88頁\一共有455頁\編輯于星期五隨機變量的特點:

1、X的全部可能取值是互斥且完備的2、

X的部分可能取值描述隨機事件隨機變量的分類：隨機變量現(xiàn)在是89頁\一共有455頁\編輯于星期五

定義2

設X是隨機變量，對任意實數x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數，記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實數a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.1.2隨機變量的分布函數現(xiàn)在是90頁\一共有455頁\編輯于星期五

1、單調不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、規(guī)范性：對任意實數x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數x，反之，具有上述三個性質的實函數，必是某個隨機變量的分布函數。故該三個性質是判別一個函數是否是分布函數的充分必要條件。分布函數的性質現(xiàn)在是91頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-1判斷函數是否為某一隨機變量的分布函數？解由于F(x)單調不減且右連續(xù)，且有從而，F(xiàn)(x)是某一隨機變量的分布函數?，F(xiàn)在是92頁\一共有455頁\編輯于星期五定義2

若X為離散型隨機變量，可能取值為x1,x2,…,xn,…，稱§2.2

離散型隨機變量或為X的概率分布列，簡稱分布列，記為2.2.1離散型隨機變量的分布列與分布函數定義1

若隨機變量X只能取有限多個或可列無限多個值，則稱X為離散型隨機變量?，F(xiàn)在是93頁\一共有455頁\編輯于星期五反之，若一個數列{pi}具有以上兩條性質，則它必可作為某離散型隨機變量的分布列（律）。（1）非負性：（2）規(guī)范性：分布列{pk}的性質：現(xiàn)在是94頁\一共有455頁\編輯于星期五X012P0.2C0.3求常數C.解：由規(guī)范性知，0.2+C+0.3=1，從而C=0.5由離散隨機變量的分布列很容易寫出其分布函數分布函數例2-2設離散型隨機變量X的分布列為現(xiàn)在是95頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-3某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9，求他兩次投籃投中次數X的概率分布列與分布函數。解：X的可能取值為0,1,2.分布列為現(xiàn)在是96頁\一共有455頁\編輯于星期五分布函數為2.2.2

常見的離散分布1、單點分布（退化分布）如果隨機變量

X只取一個值a，即分布列為則稱隨機變量

X服從單點分布現(xiàn)在是97頁\一共有455頁\編輯于星期五若隨機變量X只取兩個可能值0，1，且P{X=1}=p，P{X=0}=1-p，則稱X服從參數為p的兩點分布，或0-1分布。2、兩點分布現(xiàn)在是98頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是99頁\一共有455頁\編輯于星期五其中

0<p<1,

q=1-p,

則稱

X

服從參數為n，p

的二項分布，簡記為X~b(n,p).3、二項分布注：設將試驗獨立重復進行

n

次，每次試驗中，事件

A

發(fā)生的概率均為

p

，則稱這

n

次試驗為

n

重伯努利試驗.

若以

X

表示

n重貝努里試驗事件

A

發(fā)生的次數，則稱

X

服從參數為

n,p的二項分布！若隨機變量

X

的可能取值為0，1，2，...,n,

而

X

的分布列為現(xiàn)在是100頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-5

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數不少于2的概率。解

設X表示400次獨立射擊中命中的次數，則X～b(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=0.996981現(xiàn)在是101頁\一共有455頁\編輯于星期五4、超幾何分布現(xiàn)在是102頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是103頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是104頁\一共有455頁\編輯于星期五其中，則稱X服從參數為的泊松分布，簡記為5、泊松分布注：把每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件．泊松分布可以作為描述稀有事件發(fā)生次數概率分布的一個數學模型，也可以作為研究某段時間內陸續(xù)到來的質點流概率分布的數學模型．設隨機變量X的可能取值為0,1,2,...,n,...,而X的分布列為現(xiàn)在是105頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-7美國西部每周發(fā)生地震的次數服從參數為2的泊松分布，求兩周內至少發(fā)生3次地震的概率．解：泊松定理

設隨機變量Xn~b(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

現(xiàn)在是106頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-8

已知某種疾病的發(fā)病率為0．001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數超過10的概率有多大？現(xiàn)在是107頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1、隨機變量與分布函數的概念；2、離散型隨機變量及其分布列；3、四個重要分布:單點分布、0-1分布、二項分布、泊松分布小結現(xiàn)在是108頁\一共有455頁\編輯于星期五

連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數§2.3連續(xù)型隨機變量及概率密度函數現(xiàn)在是109頁\一共有455頁\編輯于星期五注：連續(xù)型隨機變量X在某一指定點取值的概率為0.即因為離散型隨機變量X在某一指定點取值的概率不一定為0.現(xiàn)在是110頁\一共有455頁\編輯于星期五密度函數的性質：這兩條性質是判定一個函數是否為概率密度的充要條件0xf(x)面積為1現(xiàn)在是111頁\一共有455頁\編輯于星期五利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內的概率0xf(x)ab現(xiàn)在是112頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是113頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是114頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是115頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是116頁\一共有455頁\編輯于星期五

三種重要的概率分布：均勻分布、指數分布、正態(tài)分布.常見的連續(xù)型分布1、均勻分布現(xiàn)在是117頁\一共有455頁\編輯于星期五1現(xiàn)在是118頁\一共有455頁\編輯于星期五設即則例2-11

公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內任一時刻到達汽車站是等可能的，求乘客候車時間在1至3分鐘內的概率?，F(xiàn)在是119頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是120頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-12

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)以7:00為起點0，以分為單位現(xiàn)在是121頁\一共有455頁\編輯于星期五所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.

從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站。為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.現(xiàn)在是122頁\一共有455頁\編輯于星期五2、指數分布現(xiàn)在是123頁\一共有455頁\編輯于星期五指數分布的概率密度和分布函數圖像如下1現(xiàn)在是124頁\一共有455頁\編輯于星期五

服從指數分布的隨機變量X通?？山忉尀槟撤N壽命,如果已知壽命長于S年,則再活t年的概率與年齡S無關,亦稱指數分布具有“無記憶性”.現(xiàn)在是125頁\一共有455頁\編輯于星期五

關于概率統(tǒng)計論中服從指數分布的隨機變量X具有無記憶性。

具體來說：如果X是某一元件的壽命，已知元件已經使用了S小時，它總共能使用至少S＋T小時的條件概率，與從開始使用時算起它至少能使用T小時的概率相等。這就是說，元件對它已使用過S小時沒有記憶。

人生中，很多時候我們總是對過去的失敗耿耿于懷。這種經歷使我們不敢面對現(xiàn)實，如果我們能從指數分布受到啟發(fā)，運用“無記憶性”原則，那么我們的今天和明天將會更加美好。因為即使我們人生中的S小時已經失敗，但我們面前的成功仍然還有S+T，和我們S小時前的成功幾率一樣。

指數分布在人生中模式是：忘記過去，努力向前，向著標桿勇往直前。現(xiàn)在是126頁\一共有455頁\編輯于星期五X的分布函數為解例2-14

設某類日光燈管的使用壽命X服從參數為

λ=的指數分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

現(xiàn)在是127頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是128頁\一共有455頁\編輯于星期五指數分布的重要性質:“無記憶性”.現(xiàn)在是129頁\一共有455頁\編輯于星期五3、正態(tài)分布定義4現(xiàn)在是130頁\一共有455頁\編輯于星期五

習慣上,稱服從正態(tài)分布的隨機變量為正態(tài)隨機變量,又稱為正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線.正態(tài)分布曲線的性質如下：現(xiàn)在是131頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是132頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是133頁\一共有455頁\編輯于星期五標準正態(tài)分布現(xiàn)在是134頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是135頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是136頁\一共有455頁\編輯于星期五標準正態(tài)分布的分位數：現(xiàn)在是137頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是138頁\一共有455頁\編輯于星期五結論現(xiàn)在是139頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是140頁\一共有455頁\編輯于星期五由此看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是,但它的值落在的概率為0.9973幾乎是肯定的,這個性質被稱為正態(tài)分布的“規(guī)則”.現(xiàn)在是141頁\一共有455頁\編輯于星期五4、

伽馬分布現(xiàn)在是142頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是143頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1、連續(xù)型隨機變量的分布函數與密度函數；2、三個重要分布:均勻分布、指數分布、正態(tài)分布、伽馬分布小結現(xiàn)在是144頁\一共有455頁\編輯于星期五2.4.1離散型隨機變量函數的分布設X

一個隨機變量，分布列為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…g(x)是一給定的連續(xù)函數，稱Y＝g(X)為隨機變量X

的一個函數，顯然Y

也是一個隨機變量.§2.4隨機變量函數的概率分布現(xiàn)在是145頁\一共有455頁\編輯于星期五一般地XPkY=g(x)的可能取值為注意中可能有相等的情況.Y

P現(xiàn)在是146頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-18

設隨機變量X的分布律為XP-10120.20.10.30.4求:(1)Y=X3的分布律.(2)Z=X2的分布律.解

(1)Y的可能取值為-1，0，1，8.由于現(xiàn)在是147頁\一共有455頁\編輯于星期五YP-10180.20.10.30.3從而Y的分布律為(2)Z的可能取值為0，1，4.從而Z的分布律為ZP0140.10.50.4現(xiàn)在是148頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-19

設隨機變量X的分布律為解

因為所以Y只能取值-1,0,1,而取這些值的概率為現(xiàn)在是149頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是150頁\一共有455頁\編輯于星期五故Y的分布律為YP例2-20

現(xiàn)在是151頁\一共有455頁\編輯于星期五2.4.2連續(xù)型隨機變量函數的概率分布現(xiàn)在是152頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-21現(xiàn)在是153頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是154頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是155頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-23解現(xiàn)在是156頁\一共有455頁\編輯于星期五例2-24此分布稱為對數正態(tài)分布.現(xiàn)在是157頁\一共有455頁\編輯于星期五

以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是應用定理,故稱為“公式法”.需要注意的是,它僅適用于“單調型”隨機變量函數,即要求y=g(x)為單調函數.如果y=g(x)不是單調函數,求Y=g(X)的概率密度較復雜.現(xiàn)在是158頁\一共有455頁\編輯于星期五解則現(xiàn)在是159頁\一共有455頁\編輯于星期五

例2-25中求隨機變量函數的概率密度的方法稱為“直接變換法”,它同樣適應于非單調型隨機變量的情況.當然例2-25也可以直接利用定理中的公式求解.現(xiàn)在是160頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是161頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是162頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1、離散型隨機變量函數的分布列；2、連續(xù)型隨機變量函數的密度函數與分布函數。小結現(xiàn)在是163頁\一共有455頁\編輯于星期五第三章多維隨機變量及其概率分布§3.1二維隨機變量及其分布函數§3.2邊緣分布§3.3條件分布§3.4隨機變量的獨立性§3.5

二維隨機變量函數的分布現(xiàn)在是164頁\一共有455頁\編輯于星期五3.1.1二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數§3.1二維隨機變量及其分布函數現(xiàn)在是165頁\一共有455頁\編輯于星期五幾何意義：分布函數F(x,y)在(x,y)處的函數值就是隨機點(X,Y)落在以(x,y)為頂點、位于該點左下方的無窮矩形D內的概率,見下圖.yx(x,y)0D現(xiàn)在是166頁\一共有455頁\編輯于星期五

利用分布函數及其集合意義不難看出,隨機點(X,Y)落在矩形域{x1<X≤

x2,y1<Y≤y2}內(如下圖)的概率為：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)現(xiàn)在是167頁\一共有455頁\編輯于星期五回憶:分布函數F(x)的性質.現(xiàn)在是168頁\一共有455頁\編輯于星期五聯(lián)合分布函數的性質現(xiàn)在是169頁\一共有455頁\編輯于星期五例3-1解現(xiàn)在是170頁\一共有455頁\編輯于星期五定義3

若二維隨機變量(X,Y)只能取有限多對或可列無窮多對(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.

設二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值為(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各個可能取值的概率為：P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)稱P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)為(X,Y)的聯(lián)合分布列，簡稱分布列。3.1.2二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列現(xiàn)在是171頁\一共有455頁\編輯于星期五(X,Y)的分布列可以寫成如下列表形式：XYy1y2

…yj

…x1x2…xi…p11

p12…p1j

…p21

p22…p2j

…pi1

pi2…pij

…………………現(xiàn)在是172頁\一共有455頁\編輯于星期五(X,Y)的分布列具有下列性質:回憶：分布列{pk}的性質.(1)

0

≤pk

≤1；(2)

p1+p2+

…+pk+…

=1.(1)

0

≤pij

≤1(i,j=1,2,…);反之,若數集{pij}(i,j=1,2,…

)

具有以上兩條性質,則它必可作為某二維離散型隨機變量的分布律.現(xiàn)在是173頁\一共有455頁\編輯于星期五例3-2設(X,Y)的分布律為XY123

12求常數a的值.現(xiàn)在是174頁\一共有455頁\編輯于星期五解由分布列性質知，現(xiàn)在是175頁\一共有455頁\編輯于星期五例3-3

設(X,Y)的分布律為XY123

00.10.10.3

10.2500.25求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}.現(xiàn)在是176頁\一共有455頁\編輯于星期五解

(1){X=0}={X=0,Y=1}{X=0,Y=2}{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}兩兩互不相容,P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.所以，現(xiàn)在是177頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是178頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是179頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是180頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是181頁\一共有455頁\編輯于星期五

一維連續(xù)型隨機變量X的可能取值為某個或某些區(qū)間，甚至是整個數軸.二維隨機變量(X,Y)的可能取值范圍則為XOY平面上的某個或某些區(qū)域，甚至為整個平面，一維隨機變量X的概率特征為存在一個概率密度函數f(x)，滿足：

二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度現(xiàn)在是182頁\一共有455頁\編輯于星期五定義4的分布函數則稱是連續(xù)型的二維隨機變量,函數或X與Y的聯(lián)合密度使對于對于二維隨機變量（X,Y)的概率密度

,隨機變量任意有如果存在非負的函數函數.現(xiàn)在是183頁\一共有455頁\編輯于星期五概率密度函數f(x,y)的性質：判斷一個二元函數是否可做為概率密度函數的依據.（3）設D為XOY面上的區(qū)域，則隨機點(X,Y)在區(qū)域D內取值的概率為：現(xiàn)在是184頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是185頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是186頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是187頁\一共有455頁\編輯于星期五3.1.4常見的二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度現(xiàn)在是188頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是189頁\一共有455頁\編輯于星期五yx0.5y=xx+y=1現(xiàn)在是190頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是191頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是192頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是193頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1、二維隨機變量的聯(lián)合分布函數；2、二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列；3、二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度；4、二維均勻分布和正態(tài)分布。小結現(xiàn)在是194頁\一共有455頁\編輯于星期五3.2.1邊緣分布函數

定義1

(X,Y)的兩個分量X與Y各自的分布函數分別為二維隨機變量(X,Y)關于X與關于Y的邊緣分布函數,記為FX(x)與FY(y).邊緣分布函數可由聯(lián)合分布函數來確定.如下§3.2

邊緣分布現(xiàn)在是195頁\一共有455頁\編輯于星期五解：由邊緣分布函數的定義，可知現(xiàn)在是196頁\一共有455頁\編輯于星期五定義2

對于離散型隨機變量(X,Y)，分量X(或Y)的分布列稱為(X,Y)關于X(或Y)的邊緣分布列，記為Pi.

(i=1,2,…)(或P.j

(j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.事實上，3.2.2離散型隨機變量的邊緣分布現(xiàn)在是197頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是198頁\一共有455頁\編輯于星期五將邊緣分布列放在聯(lián)合分布列表中，如下現(xiàn)在是199頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是200頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是201頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是202頁\一共有455頁\編輯于星期五則(X,Y)的分布列與邊緣分布列為：XY現(xiàn)在是203頁\一共有455頁\編輯于星期五則(X,Y)的分布列與邊緣分布列為：XY現(xiàn)在是204頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是205頁\一共有455頁\編輯于星期五3.2.3連續(xù)型隨機變量的邊緣分布現(xiàn)在是206頁\一共有455頁\編輯于星期五所以現(xiàn)在是207頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是208頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是209頁\一共有455頁\編輯于星期五即現(xiàn)在是210頁\一共有455頁\編輯于星期五現(xiàn)在是211頁\一共有455頁\編輯于星期五本節(jié)課主要講授：1、二維隨機變量的邊緣分布函數；2、二維離散型隨機變量的邊緣分布列；3、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布密度。小結現(xiàn)在是212頁\一共有455頁\編輯于星期五§3.3

條件分布3.3.1

離散型隨機變量的條件分布列定義1

設隨機變量

X

與Y

的聯(lián)合分布列為(X,Y

)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，X

和Y

的邊緣分布列分別為現(xiàn)在是213頁\一共有455頁\編輯于星期五為Y＝y(tǒng)j

的條件下隨機變量X

的條件分布列;若對固定的j,

p.j>0,則稱同理，對固定的i,

pi.

>0,稱為X＝xi

的條件下隨機變量Y

的條件分布列現(xiàn)在是214頁\一共有455頁\編輯