對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用 論文

對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用1引言隨著科技的發(fā)展與社會的進步，世界上各國之間的競爭演變?yōu)槿瞬诺母偁?，所以我國的教育在不斷地進行改革，學校要培養(yǎng)的是德智體美全面發(fā)展的社會主義事業(yè)的建設者和接班人，其中對人才的智力要求也很高。在中學，提高學生智力水平的一個有效途徑就是一題多解，而對稱思想也提供了一種解題方法，并且“對稱”這個詞來源于生活，貫穿于生活、自然界以及各級各類的學科之中。在中學數(shù)學中，知識體系的難度逐漸加深，各類知識也是逐級抽象的，運用對稱思想解決數(shù)學問題，會使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，這在中學數(shù)學課本中都有所體現(xiàn)，對稱思想的應用十分廣泛，例如：奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及它們的單調性問題、求函數(shù)極大值極小值的問題、平面幾何中圖形的對稱及依據對稱原理解決一些實際問題、數(shù)列問題、方程問題、概率問題等。對稱思想在中學數(shù)學中的應用十分廣泛，運用對稱思想進行解題，可以提高解題速度，容易掌握解題技巧，還能培養(yǎng)學生的學習興趣，有助于學生養(yǎng)成勤思考、多動腦的習慣，進而更容易提高學生的智力水平。2對稱及對稱思想的概述“對稱”這個詞在生活中有兩種含義，一種是對稱意味著均勻和協(xié)調，另外一種對稱意味著結合成一個整體的幾個部分之間的和諧和優(yōu)美。關于這個概念，我們每個人也都不陌生，因為我們所生存的這個大自然本身就是對稱的。從圖1到圖4可以看出大自然是對稱的，包括我們人類本身也是對稱的。受自然界中對稱性的影響，人類創(chuàng)造出不計其數(shù)的對稱美。古老的陜西商代青銅器，趙州橋這類石拱橋建筑，故宮、天安門、四合院等這些古老的房屋建筑物，不僅這些，在古詩詞如“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”、“草草杯盤共笑語，昏昏燈火話平生”等詩句中也體現(xiàn)了對稱美；音樂作品中的音譜和歌詞中也都展現(xiàn)了對稱美。1宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用此外，對稱還應用在各級各類的學科之中，尤其是在數(shù)學和物理中最為常見，我們把在數(shù)學和物理等各個學科中運用對稱性解決問題的方法稱為對稱思想方法。不管是在我們國家還是外國，許多數(shù)學家和物理學家研究過對稱思想。希臘數(shù)學家泰勒斯在預測金字塔的高度時運用到對稱思想，赫爾曼的對稱思想體現(xiàn)在他的著作《對稱》一書中；在我國《周易》中有對稱思想的描述，還有許多數(shù)學家和教育學家像張奠宙教授在研究“中學教材中的數(shù)學文化”以及代欽教授在研究“中國傳統(tǒng)數(shù)學中的美學思想方法”時都研究過對稱思想方法。在中學數(shù)學中，說到對稱，最容易想到的就是軸對稱、中心對、對稱式等，將對稱思想方法運用到中學數(shù)學中會有意想不到的效果，下面看一看對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用。圖1圖2圖3圖43對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用 在中學數(shù)學中，學過的數(shù)學思想方法有很多，有對稱思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、分類討論思想、整體思想、建模思想等，其中對稱思想在中學數(shù)學解2宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用題中的應用十分廣泛，貫穿于中學數(shù)學的各個領域?，F(xiàn)在就對稱思想在函數(shù)、數(shù)列、數(shù)式、解析幾何這幾個方面的應用進行舉例說明。3.1對稱思想在函數(shù)中的應用

函數(shù)是中學數(shù)學中一個很重要的部分，是中學數(shù)學的核心成分，同時函數(shù)概念也是整個中學數(shù)學的基礎，在中學數(shù)學教學中發(fā)揮著主導的作用。函數(shù)這一概念反映了變量之間相互依賴的關系，這一概念的教學，能讓中學生知道世界上的一切事物都是在不斷地改變的，并且事物之間也是相互依存相互牽制的，這有助于學生養(yǎng)成看問題一分為二的思想，進而提高學生解決實際問題的能力。在教學中，關于函數(shù)性質的研究占有較大的篇幅，函數(shù)有很多性質，其中對稱性是函數(shù)的一個基本性質。并且利用對稱思想解決函數(shù)中的一些問題，可以讓復雜的問題簡單化，讓繁瑣的問題變得清晰明了，從而讓函數(shù)問題更容易解決。3.1.1函數(shù)yg圖象自身的對稱性（1）函數(shù)yg的圖像關于直線xmn對稱2xgx2ngmxgnxgmn（2）函數(shù)yg的圖像關于點m,n對稱gmg2ng2mxgmx3.1.2兩個函數(shù)圖象的對稱性（1）函數(shù)yg和函數(shù)yg的圖像關于y軸對稱。（2）函數(shù)ygaxn和函數(shù)ygmax的圖象關于直線xmn對稱，2a注意：函數(shù)yfxm和函數(shù)yfmx的圖象關于直線xm對稱（3）函數(shù)yf的圖象關于直線xm對稱的函數(shù)表達式為yf2mx。（4）函數(shù)yf的圖象關于點m0,對稱的函數(shù)表達式為yf2mx。3.1.3奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質

（1）定義函數(shù)yf中，如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x，都有ff，則稱函數(shù)f為奇函數(shù)；如果ff，則稱f為偶函數(shù)。3宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用（2）性質①滿足定義式子ff—奇函數(shù)，ff—偶函數(shù)。②在原點處有定義的奇函數(shù)有f0。③奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，

奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，

奇函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)④任何一個函數(shù)f都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。⑤奇函數(shù)一般都有反函數(shù)，并且其反函數(shù)仍然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)。⑥函數(shù)圖象關于y軸對稱的的函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)。⑦如果函數(shù)f是偶函數(shù)，則有fmxnfmxn如果f是奇函數(shù)，則有fmxnfmxn3.1.4利用對稱思想解函數(shù)題目例1已知gsinx5gsinx6sinxcosx，x,，試求函數(shù)g的解析式。分析：因為函數(shù)sinx為奇函數(shù)，所以sinsin，函數(shù)cosx為偶函數(shù)所以coscosx，并且x,，則有x,，x的定義域與x的定義域相同，題目中給出了gsinx與gsinx的一個關系式，如果用x替換x，可以得到另外一個gsinx與gsinx的關系式，那么將兩個關系式聯(lián)立，可以解出gsinx，進而可以得出g的解析式。解：因為sinsin，將x替換x，由題目的條件知gsinx5gsinx6sinxcosx(1)4宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用gsinx5gsinx6sinxcosx(2)(1)×5-(2)得24gsinx36sinxcosx所以gsinx3sinxcosx3sinx1sin2x與22gsinxgsinx的因為x,所以sinx1,1，則有f3x12x，x1,12在這個題目中，容易想到利用x與x的對稱性，對應對稱性，從而得到gsinx關于sinx的關系式，進而得到f關于x的解析式。在解答問題的時候運用了對稱的思想，從而讓題目顯得簡單。這個問題之所以能夠用對稱思想解決，還在于函數(shù)定義域x(,)是關于原點對稱的，如果題目中自變量x,0，就不能用對稱思想解決題目了。例2已知yf是偶函數(shù)，并且在上單調遞減，判斷yf在b，上的單調性，并證明。分析：yf是偶函數(shù)，由偶函數(shù)關于y軸對稱，可以判斷yf在b，單調性。解：因為yf在上單調遞減，因為偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，所以由對稱性知yf在b，單調遞。證明：設x1,x2b0,并且x1x2，則x1,x2且x1x2yf在單調遞減，fx1fx2，又f是偶函數(shù)，5宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用fx1f1 x2f2 ，f1 f2 ，f在b，上單調遞增。這個題目運用偶函數(shù)的對稱性，直接判斷出函數(shù)在另一區(qū)間上的單調性，做題的時候節(jié)省時間。如果是一個判斷題，不要求寫出證明過程，可以利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的對稱性畫出簡圖，更加清晰，一目了然。對稱思想在函數(shù)中的應用很普遍，在求函數(shù)的表達式、判斷函數(shù)的單調性、求函數(shù)的最大值和最小值、作函數(shù)圖象等方面都有應用。在中學，函數(shù)問題比較復雜，但是把握住函數(shù)的對稱性質進行解題，通常會達到事半功倍的效果。在中學的學習中，我們知道函數(shù)式是一個等式，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，利用數(shù)列的通項公式和題目中的關系式，我們可以把一個數(shù)列表示成一個類似于函數(shù)關系式的形式。那么在數(shù)列中應該也具有某些對稱關系，下面來看一下數(shù)列中的對稱性及對稱思想在數(shù)列中應用的例子。3.2對稱思想在數(shù)列中的應用

在數(shù)列的教學中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種特殊的數(shù)列，等差數(shù)列刻畫的是一種絕對均勻的算術級數(shù)的變化趨勢，等比數(shù)列刻畫的是一種相對均勻的幾何級數(shù)的變化趨勢，所以在等差數(shù)列和等比數(shù)列中有許多的性質，其中對稱性也是一個重要的性質，不管是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，都蘊含著豐富的對稱美，即等差數(shù)列或等比數(shù)列中的項關于某一項的對稱性。年少的高斯準確快速地算出12341005050的故事，至今都被傳為數(shù)學佳話，原因在于他觀察出數(shù)列的對稱性，靈活地應用了我們所學的等差數(shù)列前n項和公snna1an

，這個公式體現(xiàn)了折中、均衡的特征;實際上，對于2任意一個等差數(shù)列n 如果mnpq則amanapaq;這一結論運用等差數(shù)列通項公式ana1n1d就可以得證;這是等差數(shù)列中兩項的情況，在三項、四項、n項情形下這種對稱性依然成立即若m1m2m3mkn1n2n3nk則am1am2am3amkan1an2an3ank成立。6宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用3.2.1數(shù)列的對稱性

性質1一般地，在數(shù)列中，如果某項an的前后兩項與an之間的距離相等，即它們之間的關系可以表示為：aa、aa，如果該數(shù)列是等差數(shù)列，則有anaananana也可以表示為2ananana如果該數(shù)列是等比數(shù)列，則有anananana也可以表示為an2anaana性質2

下標之和相等的兩項和（等差數(shù)列）或者兩項乘積（等比數(shù)列）相等。即如果mnpq，則在等差數(shù)列中，有anapaqam在等比數(shù)列中，有amanapaq性質3如果m1m2m32mkn1n2n3nk，在等差數(shù)列中，則有am1amam3amkan1an2an3ank在等比數(shù)列中，則有am1am2am3amkan1an2an3ank性質4如果n1n2n3n4nkkm，則在等差數(shù)列中，有7宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用an1an2an3an4ankkam在等比數(shù)列中，有an1an2an3an4ankm3.2.2數(shù)列對稱性在題目中的應用例3在等差數(shù)列n 中，a2a5a8，求cosa3a7的值解法一：由等差數(shù)列的性質得則a，所以a2a5a83a553a3a72a523則有coaa1372解法二：由等差數(shù)列求和公式得那么有a2a5a8a1da14da17d3a112d3a14dad，所以136d2a18d2a14d2a3a7a12da13所以coaacos21例4已知數(shù)列3732a68，a1a10的值為多n 是等比數(shù)列，且a4a72，a5少?解法一：由等比數(shù)列的對稱性:mnpqamanapaqa5a681或q32及題目中的條件n 是等比數(shù)列，4756，得a4a7聯(lián)立兩個等式有a4a78，解得a4a74或a4a72,所以q3

a4a722428宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用q31時，a1a10a4a4q64412

7當q31222當q32時，a1a10a4a4q627q32a4q32綜上所述，a1a107。2，a5a68，所以解法二：因為a4a7a1q3a1q6a1q3q3（1）a1q4a1q5a12q9a1q3q3a42q38（2）由（2）式知q38，將其帶入（1）式得a4

182，化簡得2aa42a42a4480，解得a42或a44，所以a4a74或a4a72,從而得q31或q32242當q31時，a1a10a4a4q64412

7q31222當q32時，a1a10a4a4q627q32所以，a1a107。例3和例4是數(shù)列中很常見的題型，上面在解答例3和例4時都用了兩種不同的方法。在例3中解法一運用等差數(shù)列對稱性質解題，解法二運用等差數(shù)列求和公式解題；在例4中，解法一運用等比數(shù)列對稱性質解題，解法二運用等比數(shù)列的通項公式解題。通過兩個題目的過解題過程，我們可以看出，解法一更簡潔，解法二相對來說就比較繁瑣了，所以運用對稱思想解題可以讓問題變得更簡單，解題過程更簡潔。3.3對稱思想在數(shù)式中的應用9宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用例5已知二次函數(shù)fax22xc的值域為0，，求acc21a21最小值。解法一：對稱法由二次函數(shù)fax22xc的值域為0，知a04ac0，即a0ac1，4由式子a1和ac

21的結構知a和對稱，cca1ac1取得最小值時，必有c222ac成立，則有ac1，當ac1時，ca1c112a2為所求的最小值。解法二：常數(shù)代換法由題目條件知a04ac0，即a0ac1，所以ac2ac2。所以4ca1ac1c2aacacacaac acaac222a2c2 a2c22ac2aca2c1acacac中a和對稱的c當且僅當ac1時取等號。關于這個題目，解法一用了對稱法，抓住式子ca1ac221結構特征進行解題，簡化解題過程，使結果一目了然，節(jié)省時間。解法二運用常數(shù)代換法，比較常規(guī)的方法，但是解題過程比較繁瑣，需要對ac進c21a21行幾次變換，在變換的過程中容易出錯。比較這兩種方法，顯然對稱法更加簡便。例6設x,,zR，求證：y2x2z2y2x2z20。zxxyyzx2y2證明：令Ay2x2z2y2x2z2，By2z2z2x2zxxyyzzxxyyz則有10宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用ABy2x2z2y2x2z2

y2z2z2x2x2y2

zxxyyzzxxyyzy2 zzx2y2z2zx

yyz2 xzy2z2x2

x2z2x2y2

xyxyyzyzxx0ABy2x2z2y2x2z2

y2z2z2x2x2y2

zxxyyzxxyyzy2x2x2y2

z2y2y2z2

x2z2z2x2

zxyzxyzxyzxyyxyxzyzyxzxzyzxy0zxyzxyzx所以ABAB2A0，則A0。這個題目利用多項式y(tǒng)2x2z2y2x2z2中對稱的結構形式，構造出與zxxyyz之對稱的多項式y(tǒng)2z2z2x2x2y2，通過這兩個多項式之間的加減運算得zxxyyz出結論。在這個題目的證明過程中，對稱思想起到了關鍵的作用。3.4對稱思想在解析幾何中的應用例7已知圓C位于拋物線x22y與直線y3圍成的封閉區(qū)間的內部（包含圖象的邊界），圓C半徑的最大取值是多少？解：如果圓C的半徑取得最大值，那么圓C和拋物線x22y以及直線y3都相切，且與拋物線左側和右側各有一個切點，根據圖形的對稱性設圓心為,0a，圓的半徑為，因為圓rC和直線y3相切，所以圓的半徑r3a，因為圓和拋物線都是關于y軸對稱的，圓與拋物線有兩個切點，所以這兩個切點關于y軸對稱，根據題目條件建立方程組如下：xx22ya3a2y化簡這個方程組可得11宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用y222ay6a90因為圓與拋物線的兩個切點關于y軸對稱，所以兩個切點的縱坐標相同，即方程y222ay6a90有兩個相同的實數(shù)根，所以b24ac22a46a90解得r61。 這個題目抓住了圓與拋物線相切這一關鍵點，又根據拋物線的對稱性，推及到兩個切點的對稱關系，進而簡便解題。例8已知橢圓方程為x2y21，求以點P為中點并且與橢圓相交的弦94所在的直線方程。解法一：設直線與橢圓的一個交點為x1,y1，由于P為弦的中點，由對稱性知，直線與橢圓的另外一個交點為4x12,y1則有x

9

1

2

y4

1

2

4x11y112 94將兩式相減并化簡得8x1y125 （1）

這個方程可以改寫為84x12y125（2）由（1）和（2）知點x1,y1和點4x12,y1都滿足方程8xy25所以所求直線的方程為8xy25。解法二：因為P是弦的中點，設直線的斜率為k，則直線的方程為y1kx2，聯(lián)立直線與橢圓的方程有12宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用由y1kx2知：ykx11，將此式帶入橢圓方程并化簡得22k236k22049k92k4由韋達定理知x1x92k4k249k2又因為P是弦的中點，則x1x292k4k449k2解得k89所以直線方程為y18x2，整理得8xy259這個題目，解法一運用了兩點關于某一個點對稱的性質解題，解題思路清晰計算簡便；解法二是常規(guī)的方法，解法二在聯(lián)立直線和橢圓的方程時運算量比較大，并且在化簡的過程中容易出錯。4運用對稱思想解題的意義

在上面，我從函數(shù)、數(shù)列、形式對稱的式子這三個方面論述了對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用。其實，在數(shù)學中，對稱思想所涉獵的范圍遠不止函數(shù)、數(shù)列、形式對稱的式子這三方面。對稱思想還存在于方程、定積分、微積分、不等式等各個領域，運用對稱思想解題給我們帶來了便利，下面總結一下運用對稱思想解題的意義。在中學數(shù)學教學中，運用對稱思想解題是數(shù)學教學方法的一種創(chuàng)新，通過上面的問題求解，可以看出：利用對稱思想解題能夠讓復雜的問題變得簡單，讓繁瑣的問題變得容易，讓抽象的問題變得具體形象；并且利用對稱思想能夠有效地提高學生的解題速度與效率，還能夠鍛煉學生的數(shù)學思維能力，最終達到提高學生智力的效果。 對稱思想方法作為中學數(shù)學教學中的一種教學方法，能夠吸引學生的注意力，提高學生學習數(shù)學的興趣，進而能夠改善中學數(shù)學教學的質量。13宿州學院畢業(yè)論文對稱思想在中學數(shù)學解題中的應用結束語對稱不僅是一種思想，也是分析問題、解決問題的一種策略和方法，所以只要對稱用的好，問