微積分發(fā)展歷程

微積分發(fā)展歷程（一）一、數(shù)學(xué)無窮發(fā)展的萌芽介紹一下數(shù)學(xué)中無窮思想發(fā)展的歷程早在遠(yuǎn)古時(shí)代，無限的概念就比其它任何概念都激動(dòng)著人們的感情，而且遠(yuǎn)在兩千年以前，人們就已經(jīng)產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)無窮的萌芽認(rèn)識(shí)。3.14159263.1415927當(dāng)時(shí)就已接近了微積分的邊緣。一個(gè)光輝的起點(diǎn)。雖說，古人對(duì)無窮已有了較深刻認(rèn)識(shí)，然而人們對(duì)無限的認(rèn)識(shí)是缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)的?？梢哉f，對(duì)于只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點(diǎn)。芝諾，公元前五世紀(jì)中葉古希臘哲學(xué)家。他提出的四個(gè)悖論雖是哲學(xué)命題。但卻對(duì)數(shù)學(xué)無窮思想的發(fā)展產(chǎn)生了直接且深遠(yuǎn)影響。這里僅舉其悖論之一。AA1A1A2依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠(yuǎn)在乙后面而追不上乙。自己的推理之外了。芝諾悖論就這樣一直困惑著人們，問題的癥結(jié)何在呢？這里我們不得不提到一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家（物理學(xué)家）——阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)，多數(shù)學(xué)難題。微積分發(fā)展歷程（二）微積分學(xué)的誕生微積分的發(fā)展無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進(jìn)行的。B.Taylo、麥克勞林C.Maclaurin棣莫弗A.deMoivr、斯特林J.Stirlin）等。泰勒1685_1731）做過英國皇1715年出版的《正的和反的增量方法》一書中，陳述了他早在1712年就已獲得的著名定理xzvxv1

.. v2122

v3x 其中1232xvzx

z

為常數(shù)，從而上述公式相當(dāng)于現(xiàn)代形式的“泰勒公式”：fxhfxhfxh22!

fx 。力武器。但泰勒對(duì)該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性。x=0代微積分教科書中一直把x=0（1698_1746）是牛頓微積分學(xué)說的竭力維護(hù)者，他在這方面的代表性著作《流了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說中弱點(diǎn)的束動(dòng)下蓬勃發(fā)展起來。積分技術(shù)與橢圓積分18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無限小算法施行到各在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯。18布?伯努利在求雙紐線（r22cos2）弧長時(shí)，得到弧長積s

r a2

dr。在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長計(jì)算則引導(dǎo)到積分sat

0 a4r4k2t2

dr。歐拉在

1774 年處理彈性問題時(shí)也得到積分0 1t2 1k2t2a4xa4xx22x0

（PxRx等表示出來PxRx18世紀(jì)，法尼亞諾、歐拉、拉格朗日和勒讓德等還就特殊類型的橢圓積分積累了大量結(jié)果。對(duì)橢圓積分的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比分別獨(dú)立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)理論。3pox23p2o2xp3o32dqoydq2o2abpo0o除之，得3px23p2xop3o22dqydq2oabp0這時(shí)牛頓指出“其中含o 的那些項(xiàng)為無限小略去這些無限小，得3px22dqyabp0即所求的速度p與q的關(guān)系。牛頓對(duì)所有的多項(xiàng)式給出了標(biāo)準(zhǔn)的算法，即對(duì)多項(xiàng)式fx,y

xiyj0，問題（a）的解為

ip

jq

xiyj0ij x y ij對(duì)于問題（b，牛頓的解法實(shí)際上是問題（a）的解的逆運(yùn)算，并且也是逐步分基本定理的：ffcqaybxp=Idegab=x,△abc=y為已知曲線qfxd∥a⊥ad∥be=p=。cbe以單位速度向右移動(dòng)時(shí)，eb掃出面積abed=xdxdt

p1；cb掃出面積△abc=ydyqdxpdy/dxqqfx，dt dt dt dt p這就是說，面積y在點(diǎn)x處的變化率是曲線在該處的q值。這就是微積分基本定理。利用問題（b）的解法可求出面積y。作為例子，牛頓算出縱坐標(biāo)為yxn

曲線下的面積是xn1；反之，縱坐標(biāo)n1xn1為 的曲線真切線斜率為xn。當(dāng)然《簡論》中對(duì)微積分基本定理的論述并不n1不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)的較為清楚的證明。在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓則從確定面積的在《流數(shù)簡論》的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長、求積、求引力與引力中心等16類問題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性。流數(shù)術(shù)的發(fā)展166710月當(dāng)選為三一1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，它們分別是：（DeAnalysiperAequationesTerminorumInfinita1669年；（MethodusFluxionumetSerierumInfinitarum，1671年；（TractatusdeQuadraturaCurvarum1691年。這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程，并且可以看到，牛頓對(duì)于微積分的基礎(chǔ)先后給出了不同的解釋。1668年蘇格蘭學(xué)者麥卡托（N.Mercator）發(fā)表了對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)的結(jié)果，這促使牛頓公布自微積分本身yfx下m y

nz

m

xmn

/n。牛頓在論證中取x而不是時(shí)間t的無限小增量“瞬”為o，以xo代x，zoy代z，則zoy mn

xomn/no除兩邊，略去oyxmn。反過來就知m yxnz

m

xmn

/n。牛頓接著給出了另一條法則：若y值積分定理。由上述可知，牛頓《分析學(xué)》以無限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了《流數(shù)簡論》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將“瞬”看成是靜止的無限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。1666年《流數(shù)簡論》的直接發(fā)展。牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原形的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)（fluxion作了如下解釋：《流數(shù)法》以清楚明白的流數(shù)語言表述微積分的基本問題為：“已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系”。流數(shù)語言的使用，使牛頓的微積分算法在應(yīng)用方面獲得了更大的成功。po，qoox，y的瞬則是某種不依賴于時(shí)間的固定的無限小微元。1780oyxnxxoxn則變?yōu)閚xo

xnnoxn1

o2xn22

xox 1

，然后“設(shè)增量o消逝，它們的最終xo1

xn

nxn1n

n2

xn2o比就是

nxn1

xxn的流數(shù)之比。限，因而成為極限方法的先導(dǎo)。. . .xz的一次流數(shù)（導(dǎo)數(shù)

，

，表z示三次流數(shù)，等等。

x y z

x y z170417111736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世。牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Philosophiaenaturalisprincipia理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。微積分發(fā)展歷程（四）《〈原理》與微積分1章開頭部分通過一組引理（11條）建立了“首16.6acEAa，AEAacE中內(nèi)接任意個(gè)數(shù)的矩Ab，Bc，Cdakbl，bLcm，cMdn，…。牛頓首先設(shè)所有的AB，BC，CD，DE，…皆相等，證明了“當(dāng)這些矩形的寬無限縮小而它們的個(gè)數(shù)無限增加時(shí)，……內(nèi)接形AkbLcMdD，外接形AalbmcndoEabcdE（如圖設(shè)最大寬度為AF）但AB以及相應(yīng)的弦和切線段，當(dāng)點(diǎn)AaaKl fLcMndoABF CDE牛頓預(yù)見到首末比方法可能遭受的批評(píng)，并意識(shí)到爭論的焦點(diǎn)將在于“最終盡管《原理》表現(xiàn)出以極限方法作為微積分基礎(chǔ)的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著2genitum）的瞬，等于生成經(jīng)的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)bABCABaBbAa a n n nm的瞬等于naAn1的瞬等于n 一般冪Am的瞬等于aAm等等。An1 m《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對(duì)微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。萬有引力定律等在內(nèi)有一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力?！对怼分械奈⒎e分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓166418、牛頓者。181727遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價(jià)保存了牛頓的手稿?，F(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)部分就達(dá)5000微積分發(fā)展歷程（五）6）牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們時(shí)代的巨人。就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、（微分運(yùn)算。應(yīng)該說，微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響，1687168416861687《原理》中首次發(fā)布他的流數(shù)方法時(shí)，他在前言中作了這樣一段說明：這可以說是對(duì)微積分發(fā)明權(quán)問題的客觀評(píng)述，遺