圓面積公式的各種證明方法-劉曉麗、李小龍

/圓面積公式的各種證明方法證明方法１：轉(zhuǎn)化(小學(xué)段）（1）拼成平行四邊形，4份,8份,16份.（２)拼成長(zhǎng)方形.近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半，寬等于圓的半徑。長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬圓的面積＝πr×r所以,圓的面積公式是：S＝πｒ2(3)拼成兩層平行四邊形（兩層)近似平行四邊形的面積＝底×高圓的面積=EＱ\F（1,2）C×２r=EQ\F(1,2）πr×2ｒ所以,圓的面積公式是：S=πｒ2（4)用三角形（?。┢慈切蔚拿娣e=EＱ\Ｆ（1，2)×底×高圓的面積=EQ＼F（1，2）×(ＥQ\Ｆ（1，１6）×C）×r×16所以，圓的面積公式是：S=πｒ2（５）拼成梯形梯形的面積=EＱ\F(1，2)(上底+下底)×高圓的面積=EＱ＼Ｆ（1,2）×（EQ＼F(5，１６)+ＥQ\F（3,1６））×C×２r所以，圓的面積公式是：S＝πｒ2拼成三角形（大）（６）三角形的面積=ＥＱ＼F（1，２）底×高圓的面積=EQ＼F(１,2）×（ＥQ\F（１,４)×C）×4r所以,圓的面積公式是:S=πr2證明方法２:半徑為ｒ的圓的圓周長(zhǎng)為2πr?1．先將圓周等分成n份:每份長(zhǎng)為2πｒ／n.

２.連接每個(gè)分點(diǎn)與圓心,并且連接各個(gè)分點(diǎn)，組成三角形.?3．那么，根據(jù)三角形面積公式，該圓的面積近似等于：（n—１)·r·（2πr）／n/２．（因?yàn)樵趎充分大時(shí)，各個(gè)三角形的高近似等于r，并且有n-１個(gè)三角形，所以有該公式）?取極限：ｌｉｍ（n→+∞)（n-1)·r·(2πｒ）/n／２，因?yàn)閘ｉm（n→＋∞）（n—１）／n=1?所以lｉｍ（n→+∞）(n—1）·r·(２πr)/n/2=πr^2證明方法3：極限法(高中段：以圓的正n邊形表示圓的面積：設(shè)圓的半徑為r,內(nèi)接一個(gè)正n邊形，它的任意一邊所對(duì)的圓心角為2π/ｎ，先算出其中一個(gè)三角形的面積(用兩邊夾角的公式S＝（1/2）ａ*b＊sinC)，然后得到這個(gè)正n六邊形的面積:Ｓn=（ｎ/2）r2sin（２π/n）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，內(nèi)接正n邊形的形狀無(wú)限接近于圓，它的面積也無(wú)限接近圓的面積。求這個(gè)極限要用一高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的極限公式（函數(shù)的極限）:當(dāng)x→0時(shí)，liｍ［（ｓinx)/x］=1［題外話:這個(gè)極限的幾何意義是,當(dāng)ｘ無(wú)限減小時(shí)，y=ｓinx的圖象與直線y=x是重合的，在這種情況下,我們可以用x的值來(lái)代替ｓiｎx,以在某些領(lǐng)域做近似計(jì)算]把Sn變形：Sn＝πr2lim［ｓin(2π/n）／(2π/n）］于是，當(dāng)n→∞時(shí),２π／n→0liｍ[ｓin（２π/n）/（２π／n)]=１Sn=πr2證明方法4：極坐標(biāo)法設(shè)圓的極坐標(biāo)方程Ｒ（θ）=Ｒ圓心角為dθ扇形的面積ｄA=1/２R^2ｄθ.則圓的面積為Ａ＝∫（０－２π）ｄA=∫（0－２π）1/2Ｒ^2dθ=πR^2在極坐標(biāo)系中，圓心在原點(diǎn)，圓的半徑r。取一微小的圓心角ｄθ,對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)rdθ，由于rｄθ極短，可以看成直線，則這個(gè)微小的扇形可以看成是一直角三角形，面積ds=（1/2)＊r*r＊ｄθ。對(duì)ｄs積分就得到圓面積：S=∫ｄｓ=（1／2）∫（r^２)dθ(積分下限為0,上限為2π)，所以Ｓ＝πｒ^2證明方法5：微積分一個(gè)圓可以看成是無(wú)數(shù)個(gè)同心圓環(huán)組成，設(shè)所求圓的半徑為R，任取某一個(gè)內(nèi)徑為r,外徑為r+dr的同心圓環(huán)，由于dr很小,可以認(rèn)為將圓環(huán)沿徑向剪開(kāi)后,展開(kāi)得到的是一個(gè)長(zhǎng)為2πｒ,寬為d